精品解析：山西省吕梁市孝义市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年第二学期八年级期末质量监测试题（卷） 数学 说明：1.本试卷满分为100分，考试时间为90分钟. 2.书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分.否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分. 一、选择题（在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑.每小题2分，共20分.） 1. 下列选项中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据，，，的方差是3，那么另一组数据，，，的方差是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列曲线中能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，三角尺的顶点，分别在矩形的边，上，，，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 6. 学校准备给篮球队全体队员购买篮球运动鞋，下表是全体队员运动鞋尺码统计表，下列说法错误的是（ ） 尺码 25 26 27 学生数 1 3 9 6 3 A. 运动鞋尺码中位数是 B. 运动鞋尺码的平均数是 C. 运动鞋尺码的众数是 D. 学校篮球队队员共22人 7. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，下列三角形的顶点都在格点上，则下列三角形中是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是对角线上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析.下列结论正确的是（ ） … 0 1 … … 4 1 … A. 随的增大而增大 B. 一次函数的图象经过第一、二、四象限 C. 点在此函数的图象上 D. 一次函数的图象与轴交于点 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与（，为常数，，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使代数式有意义，则的取值范围是___________. 12. 某校名学生参加诗词大赛，他们的得分情况如下表所示，则这名学生所得分数的众数是___________分. 分数 人数 13. 如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点处，经过测量此时绳子底端到旗杆底部的距离是5米，则旗杆的高度为___________米 14. 如图，点是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为___________． 15. 某水果店以元千克的价格批发回千克苹果，以元千克的价格出售，已知在销售的过程中会有%的损耗，则将这批苹果全部售完后的总利润（元）与的函数关系式为___________. 三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 17. 学科实践：体育测试数据分析 为增强中学生身体素质，某校对七年级学生进行了体育测试，测试项目有三项，分别是：跑步，立定跳远，坐位体前屈.下表是小宇和小彬体育测试成绩表（各项成绩均为百分制） 七年级学生体育测试表 七年级学生体育测试表 姓名 小宇 班级 2301 年龄 13 姓名 小彬 班级 2301 年龄 13 性别 男 身高 体重 51kg 性别 男 身高 体重 54kg 测试项目 成绩 测试项目 成绩 跑步 95 跑步 85 立定跳远 80 立定跳远 95 坐位体前屈 100 坐位体前屈 95 （1）若跑步、立定跳远、坐位体前屈的成绩按的比例确定综合成绩，则小宇和小彬谁的综合成绩高？请通过计算说明理由； （2）数学兴趣小组在本校七年级学生中随机抽取了部分学生的综合成绩进行了整理和分析，并绘制了如下条形统计图和扇形统计图（不完整）。说明：综合成绩分为优秀，70分综合成绩分为良好，60分综合成绩分为及格，综合成绩分为不及格． ①数学兴趣小组随机抽取了___________名学生； ②请补全条形统计图； ③随机抽取的这部分学生综合成绩的中位数在___________等级；（填“不及格”或“及格”或“良好”或“优秀”） ④若该学校七年级共800名学生，请估计其中综合成绩在及格以上（即综合成绩大于等于60分）的学生约有多少. 18. 如图，已知在中，，点为的中点 实践与操作：以为对角线，作菱形，使点在斜边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 推理与证明：连接，求证：是的中位线 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的解析式为：，直线（，为常数，）交轴于点，交轴于点，直线与交于点. （1）求直线的解析式； （2）直接写出满足的的取值范围. 20. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证法多样，毕达哥拉斯用下图证明了勾股定理，他的思路是：已知图1是由边长为和的两个正方形，和宽、长分别是、的两个矩形组成；如图2，将两个矩形沿对角线剪开，得到编号分别为①②③④的直角三角形，直角三角形的两直角边分别为，，斜边为；如图3，将图2中的四个直角三角形拼成图3中的大正方形．由拼图过程可以看出图1与图3的面积相等，从而可以证明勾股定理． 任务一：请你根据材料中的思路证明勾股定理； 任务二：如图4，在矩形与矩形中，，，点在上，点在上，与交于点，则长为__________． 21. 跨学科学习：研究光的折射现象 学科背景：光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射. 学习目标1：光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系； 学习过程1：如图1，当光从空气斜射入水中，折射光线向法线偏折，折射角小于入射角.改变入射角的大小，记录折射角的大小. 数据记录： 入射角（度） 折射角（度） 学习目标2：什么池水看起来比实际浅. 学习过程2：如图2，因为池底点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，逆着折线光看去，就会感觉这一点升高了. 如图3，以水面所在直线为轴，所在直线为轴，它们的交点为原点，建立平面直角坐标系.已知眼睛的坐标为，点的坐标为，点的坐标为.（1个单位长度表示1米） 解决问题： （1）光从空气斜射入水中时，入射角和折射角否存在一次函数关系？___________（填“是”或“否”）； （2）求人眼睛看到池底处的点比实际的点处高多少？（即的长度） 22. 综合与实践 问题情境： 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，将直角三角形的直角顶点放在点处，使直角边经过点，另一条直角边与交于点 问题解决： （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，交于点，当时，连接．求证：四边形是菱形； （3）如图3，当与的延长线交于点时，若正方形边长4，，请直接写出的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第二学期八年级期末质量监测试题（卷） 数学 说明：1.本试卷满分为100分，考试时间为90分钟. 2.书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分.否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分. 一、选择题（在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，请选出并在答题卡上将该项涂黑.每小题2分，共20分.） 1. 下列选项中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的概念把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的概念即可得出答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； C、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； D、和是同类二次根式，能合并，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 一组数据，，，的方差是3，那么另一组数据，，，的方差是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了方差，解题关键是掌握当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变．因为方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加了2，所以波动不会变，方差不变． 【详解】解：∵数据，，，的方差是3， ∴，，…，的方差不变，还是3； 故选：B． 3. 下列曲线中能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了结合图象理解函数概念根据函数的概念进行辨别即可． 【详解】解：∵选项A中的图象，描述了对于自变量x取值范围内的每一个值，都有唯一的y值与其对应，而选项B、C、D中都有一个x值对应多个函数值的情况， ∴选项B，C，D不符合题意，选项A符合题意， 故选：A． 4. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，运算错误，不符合题意； B、，运算错误，不符合题意； C、，运算错误，不符合题意； D、，运算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟知运算法则是解本题的关键． 5. 如图，三角尺的顶点，分别在矩形的边，上，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据平行线的性质得出，根据三角形内角和定理得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 6. 学校准备给篮球队全体队员购买篮球运动鞋，下表是全体队员运动鞋尺码统计表，下列说法错误的是（ ） 尺码 25 26 27 学生数 1 3 9 6 3 A. 运动鞋尺码的中位数是 B. 运动鞋尺码的平均数是 C. 运动鞋尺码的众数是 D. 学校篮球队队员共22人 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位线，众数，平均数，根据中位线，众数和平均数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：学校篮球队队员共（人），故D正确，不符合题意； 将22名队员的运动鞋尺码从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为：， ∴运动鞋尺码的中位数是，故A正确，不符合题意； 运动鞋尺码的平均数是： ，故B错误，符合题意． 22名队员的运动鞋尺码最多的是， ∴运动鞋尺码的众数是，故C正确，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，下列三角形的顶点都在格点上，则下列三角形中是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】A、，，则三角形不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； B、，，，，则三角形不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； C、，，，三角形是直角三角形，故该选项正确，符合题意； D、，，，则三角形不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，，是对角线上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当时， ∴， ∴四边形是平行四边，故B选项不合题意； 当时，同理可得，故C选项不合题意， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 当时，， ∴， ∴，则四边形是平行四边，故D选项不合题意 当时不能证明三角形全等，无条件证明四边形平行四边，故A选项符合题意， 故选：A． 9. 一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析.下列结论正确的是（ ） … 0 1 … … 4 1 … A. 随的增大而增大 B. 一次函数的图象经过第一、二、四象限 C. 点在此函数的图象上 D. 一次函数的图象与轴交于点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解： A、由表格可得，y随x的增大而减小，故选项A不正确，不符合题意； B、当时，，可知，y随x的增大而减小，可知，则该函数图象经过第二、三、四象限，故选项B不正确，不符合题意； C、∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴， 当时，，则点不在此函数的图象上，故选项C不正确，不符合题意； D、当时，，解得：， ∴一次函数的图象与x轴交于点，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与（，为常数，，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根据一次函数中的符号判定函数图像的性质，根据一次函数中，的符号判定函数图像的性质，由此即可求解． 【详解】解：A.有一条直线经过原点，则或，不合题意，故A选项不正确，不符合题意； 当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限；则函数图像的图像经过第一、二、三象限； 当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；则函数图像的图像经过第一、二、四象限； 当时，一次函数的图像经过第一、二、四象限；则函数图像的图像经过第一、三、四象限； 当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；则函数图像的图像经过第二、三、四象限； 故B选项符合题意，C，D选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使代数式有意义，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数大于等于零进行解答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 某校名学生参加诗词大赛，他们的得分情况如下表所示，则这名学生所得分数的众数是___________分. 分数 人数 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查众数，根据表格及众数的定义可直接进行求解． 【详解】解：由表格可得：这名学生所得分数为分的人数最多，为人，则众数为 故答案为：． 13. 如图1，在综合实践小组测量旗杆高度活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点处，经过测量此时绳子底端到旗杆底部的距离是5米，则旗杆的高度为___________米 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则米，米，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米，米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为12米， 故答案为：12． 14. 如图，点是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求得，进而求得，根据中位线的性质求得，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∵点是矩形的对角线的中点，为的中点． ∴，，， 在中，， ∴的周长为， 故答案为：． 15. 某水果店以元千克的价格批发回千克苹果，以元千克的价格出售，已知在销售的过程中会有%的损耗，则将这批苹果全部售完后的总利润（元）与的函数关系式为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数的表达式，根据题意列式即可． 【详解】解：与的函数关系式为， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 学科实践：体育测试数据分析 为增强中学生身体素质，某校对七年级学生进行了体育测试，测试项目有三项，分别是：跑步，立定跳远，坐位体前屈.下表是小宇和小彬体育测试成绩表（各项成绩均为百分制） 七年级学生体育测试表 七年级学生体育测试表 姓名 小宇 班级 2301 年龄 13 姓名 小彬 班级 2301 年龄 13 性别 男 身高 体重 51kg 性别 男 身高 体重 54kg 测试项目 成绩 测试项目 成绩 跑步 95 跑步 85 立定跳远 80 立定跳远 95 坐位体前屈 100 坐位体前屈 95 （1）若跑步、立定跳远、坐位体前屈的成绩按的比例确定综合成绩，则小宇和小彬谁的综合成绩高？请通过计算说明理由； （2）数学兴趣小组在本校七年级学生中随机抽取了部分学生的综合成绩进行了整理和分析，并绘制了如下条形统计图和扇形统计图（不完整）。说明：综合成绩分为优秀，70分综合成绩分为良好，60分综合成绩分为及格，综合成绩分为不及格． ①数学兴趣小组随机抽取了___________名学生； ②请补全条形统计图； ③随机抽取的这部分学生综合成绩的中位数在___________等级；（填“不及格”或“及格”或“良好”或“优秀”） ④若该学校七年级共800名学生，请估计其中综合成绩在及格以上（即综合成绩大于等于60分）的学生约有多少. 【答案】（1）小宇的综合成绩高；理由见解析 （2）①40；②见解析；③良好；④740 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数计算公式进行计算即可； （2）①根据优秀的学生人数和所占的百分比求出抽取的学生总数即可； ②求出及格的人数，然后补全条形统计图即可； ③根据中位线的定义进行判断即可； ④用样本根据总体即可． 【小问1详解】 解：小宇的综合成绩为：， 小彬的综合成绩为：， ∵， ∴小宇的综合成绩高； 【小问2详解】 解：①数学兴趣小组随机抽取的学生人数为： （名）； ②及格的人数为：（名）， 补全条形统计图，如图所示： ③将随机抽取的这部分学生的综合成绩从小到大进行排序，排在第20和21的两个数都在良好的等级上； ④综合成绩在及格以上的人数约为： （名）． 【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合应用，求加权平均数，中位线，画条形统计图，解题的关键是理解题意，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点． 18. 如图，已知在中，，点为的中点 实践与操作：以为对角线，作菱形，使点在斜边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 推理与证明：连接，求证：是的中位线 【答案】作图见解析，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，菱形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的判定；作的垂直平分线交与点，以为圆心，的长为半径作弧，在的上方交于点，连接，则菱形即为所求，根据是的中点，是的中点，即可得证 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交与点，以为圆心，的长为半径作弧，在的上方交于点，连接，则菱形即为所求； ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的解析式为：，直线（，为常数，）交轴于点，交轴于点，直线与交于点. （1）求直线的解析式； （2）直接写出满足的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，根据函数图象求不等式的解集； （1）把点A和点B的坐标代入，即可求出的解析式； （2）先求得点的坐标，根据图象，找出的图象低于的图象且在轴的上方，自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解∶把，代入得： ∴解得 ∴直线解析式为． 【小问2详解】 解：联立，解得： 则 由图可知，当时，． 20. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理的证法多样，毕达哥拉斯用下图证明了勾股定理，他的思路是：已知图1是由边长为和的两个正方形，和宽、长分别是、的两个矩形组成；如图2，将两个矩形沿对角线剪开，得到编号分别为①②③④的直角三角形，直角三角形的两直角边分别为，，斜边为；如图3，将图2中的四个直角三角形拼成图3中的大正方形．由拼图过程可以看出图1与图3的面积相等，从而可以证明勾股定理． 任务一：请你根据材料中的思路证明勾股定理； 任务二：如图4，在矩形与矩形中，，，点在上，点在上，与交于点，则的长为__________． 【答案】任务一：见解析；任务二： 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，矩形的性质，勾股定理的应用； 任务一：由拼图过程可以看出图1与图3的面积相等，从而可以证明勾股定理． 任务二：勾股定理求得，进而勾股定理求得，根据相等建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：任务一：图1的正方形的面积为， 图3的面积为 ∴ ∴； 任务二：如图所示，连接， 设，则， 在中，， ∴， 在中， 在中， 在中， ∴ 解得： 即， 故答案为：． 21. 跨学科学习：研究光的折射现象 学科背景：光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射. 学习目标1：光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系； 学习过程1：如图1，当光从空气斜射入水中，折射光线向法线偏折，折射角小于入射角.改变入射角的大小，记录折射角的大小. 数据记录： 入射角（度） 折射角（度） 学习目标2：为什么池水看起来比实际浅. 学习过程2：如图2，因为池底点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，逆着折线光看去，就会感觉这一点升高了. 如图3，以水面所在直线为轴，所在直线为轴，它们的交点为原点，建立平面直角坐标系.已知眼睛的坐标为，点的坐标为，点的坐标为.（1个单位长度表示1米） 解决问题： （1）光从空气斜射入水中时，入射角和折射角是否存在一次函数关系？___________（填“是”或“否”）； （2）求人眼睛看到池底处的点比实际的点处高多少？（即的长度） 【答案】（1）否；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据表格数据当入射角度增加相同的度数，而折射角增加的度数不相等，据此，即可求解； （2）根据题意求得直线的解析式，进而求得点，即可求解． 【详解】解：（1） ， ∴入射角和折射角不存在一次函数关系， 故答案为：否． （2）设直线的解析式为，的坐标为，点的坐标为， ∴ 解得： ∴直线解析式为 当时，，即 ∵点的坐标为. ∴ 答：人眼睛看到池底处的点比实际的点处高米． 22. 综合与实践 问题情境： 如图1，在正方形中，点是对角线上一点，将直角三角形的直角顶点放在点处，使直角边经过点，另一条直角边与交于点 问题解决： （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，交于点，当时，连接．求证：四边形是菱形； （3）如图3，当与的延长线交于点时，若正方形边长4，，请直接写出的长 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，再由四边形内角和定理，可得，从而得到，即可求证； （2）由（1）可得，从而得到，，再由，可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证； （3）过点P作于点G，设交于点H，证明，可得，再由三角形内角和定理，可得，从而得到，进而得到，由，可得，是等腰直角三角形，从而得到，，在中，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：如图，过点P作于点G，设交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类思想讨论解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$