第一章 集合与逻辑（压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第一章 集合与逻辑（压轴题专练） 01 填空题压轴 1．（23-24高一上·上海·期中）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和，可以表示下列集合中的 （填序号） ①；②；③. 2．（23-24高三上·上海浦东新·期中）是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ． 3．（2024高一·上海·专题练习）设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足： （1）对于任意，，若，则； （2）对于任意，，若，则 下列命题正确的是 填序号 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素. 4．（23-24高一上·上海徐汇·开学考试）已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝ ． 5．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知集合M，对于它的非空子集A，将A中每个元素k都乘以后再求和，称为A的“元素特征和”. 比如∶A={4}的“元素特征和”为×4=4，A={1，2，5} 的“元素特征和”为，那么： （平行班）集合的所有非空子集的"元素特征和"的总和为 （实验班）集合的所有非空子集的“元素特征和”的总和为 6．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合 . 7．（2024高一·上海·专题练习）则= ． 8．（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 10．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为 . 11．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知为正实数，关于的不等式的解集为，则当的值变化时，集合中的元素个数的最小值为 ; 12．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）设集合，对于中的任意两个元素，，记，设，若，则的最小值是 . 13．（23-24高一上·上海闵行·期中）设表示不超过的最大整数，用数组，，，，组成集合的元素的个数是 . 02 单选压轴题 1．（2024·上海宝山·一模）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（    ） A．37 B．39 C．48 D．57 3．（2024·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·上海徐汇·期中）对正整数，记．若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 5．（2024·浙江温州·三模）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知表示不超过的最大整数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 03 解答题压轴 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设整数集合，其中，且对于任意，若，则． (1)请写出一个满足条件的集合A； (2)证明：任意，． 2．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 3．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 5．（2024高一·上海·专题练习）已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质. (1)当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由； (2)若时， ①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由； ②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 6．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）对任意给定的不小于3的正整数，元集合均为正整数集的子集， 若满足: ①; ②; ③，则称互为等矩集. (1)若集合与互为等矩集，求的值; (2)证明: 如果集合互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合也互为等矩集； 7．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）记，，存在正整数n，且.若集合满足，则称集合A为“谐调集”. (1)分别判断集合、集合是否为“谐调集”； (2)已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由； (3)若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M. 8．（23-24高一上·北京朝阳·期末）设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． (1)当时，判断是否为U的子集，说明理由； (2)当时，若A为U的子集，求证：； (3)当时，若A为U的子集，求集合A． 9．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质M． (1)判断集合是否具有性质M； (2)已知集合A具有性质M，求证：； (3)已知集合A具有性质M，求A中元素个数的最大值，并说明理由． 10．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知，集合，对于，定义A与B之间的距离为：． (1)对任意的，请写出可能的值（不必证明）； (2)设，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值； (3)对，定义：．求证：对任意的，有以下结论成立： ①． ②三个数中至少有一个是偶数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与逻辑（压轴题专练） 01 填空题压轴 1．（23-24高一上·上海·期中）定义一种集合运算nand为：或，设全集为，给定集合与，则仅使用nand运算和，可以表示下列集合中的 （填序号） ①；②；③. 【答案】①②③ 【分析】根据新定义运算逐个判断即可. 【详解】由nand定义知的意义是集合的补集与补集的并集，即， 则或，或， 所以或 或， 所以， 综上，，， . 故答案为：①②③ 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求解决问题. 2．（23-24高三上·上海浦东新·期中）是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，先判断中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，，，从而求出，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案． 【详解】由题意可知：若，，则，，，均属于， 而事实上，若，中， 所以， 故，中有正整数， 从而中相邻两数不可能大于等于2， 故2，3，，， 若，，则有，与矛盾， 当时，， 当时，则， 所以，， 所以，2，，， 所以非空子集有个． 故答案为：． 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 3．（2024高一·上海·专题练习）设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足： （1）对于任意，，若，则； （2）对于任意，，若，则 下列命题正确的是 填序号 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素； 若有个元素，则有个元素. 【答案】④ 【分析】利用特殊集合验证排除选项，推出结果即可． 【详解】解：对于，令，， ，有个元素，错误． 对于，令，， ，有个元素，错误 对于，令，， ，有个元素，错误． 对于，由题可设其中，则且和分别为集合中最小和最大的元素， 由性质可知，且为集合中最大的元素，即，则， 同理可知，，即， 若，则 ，即，显然不合题意； 若即，则，，，即，则有个元素． 故答案为：． 4．（23-24高一上·上海徐汇·开学考试）已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝ ． 【答案】8 【分析】先通过，判断得，分类讨论与的情况，得到，，，再求的元素，进而得到，解得，故得答案． 【详解】由得，所以， 又因为，即，所以， （1）若， 因为，所以，此时，，， 即，故，从而， 所以，则，即或1，与矛盾； （2）若， 则，，即，所以， 从而，显然，即或1， 而与矛盾，故，， 又，故， 将，，代入，得到，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：8． 5．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知集合M，对于它的非空子集A，将A中每个元素k都乘以后再求和，称为A的“元素特征和”. 比如∶A={4}的“元素特征和”为×4=4，A={1，2，5} 的“元素特征和”为，那么： （平行班）集合的所有非空子集的"元素特征和"的总和为 （实验班）集合的所有非空子集的“元素特征和”的总和为 【答案】 【分析】根据集合元素个数可确定非空子集个数，并得到每个元素出现的次数，按照已知中的运算即得. 【详解】因为的所有非空子集共有个， 所以每个元素在集合的所有非空子集中都出现次， 所以所有非空子集的"元素特征和"的总和为： ； 因为的所有非空子集共有个， 每个元素在集合的所有非空子集中都出现次， 所以所有非空子集的"元素特征和"的总和为： ， 即为. 故答案为：；. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 6．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合 . 【答案】或或. 【分析】求得中所有元素之和后，根据中元素个数得到其元素所满足的关系式，依次判断中元素不同个数时可能的结果即可. 【详解】，中所有元素之和为； 若中仅有一个元素，设，则，解得：，不合题意； 若中有且仅有两个元素，设，则， 当，时，，； 若中有且仅有三个元素，设，则； 当，，时，， 若中有且仅有四个元素，设， 则， 当，，，时，，； 若中有且仅有五个元素，若，此时， 中最多能有四个元素； 综上所述：或或. 故答案为：或或. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过对中元素个数的分类讨论，依次从小至大排列中元素可能的取值，根据满足的关系式分析即可得到满足题意的集合. 7．（2024高一·上海·专题练习）则= ． 【答案】-1或5 【分析】由题意可得，一点有，再由，可得，进而可得结果. 【详解】设 两边同除，可得，所以 由，一定有，，即 ，则 或 代入可得或 所以或5 故答案为：-1或5 【点睛】关键点点睛：通过两个方程的关系可得，一点有，是解题的关键.本题考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题. 8．（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 【答案】 【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得. 【详解】由题意知，集合的“交替和”为. 集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集. 这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个， 设为； 则这个非空子集中含元素的集合，也共有个， 这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即. 对中的任意集合，记， 则“交替和”，其中， 由，则集合的“交替和”为 ， 则集合与集合的“交替和”之和为， 下面举例说明： 如集合与集合， 的“交替和”为， 的“交替和”为 ， 即集合与集合的“交替和”之和为. 综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和， 且每组中“交替和”之和都为，共有组. 故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可， 综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为 . 故答案为：. 【点睛】 “对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见. 9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④中，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故答案为：①②③④. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 10．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为 . 【答案】13 【分析】分析最小值分别为的子集个数，以及最大值分别为的子集个数，然后可解. 【详解】集合对M的非空子集共有个， 其中，最小值为1的子集可视为的子集与集合的并集，共有个， 同上可知，最小值为2的子集共有个，最小值为3的子集共有个，...，最小值为12的子集共有个. 最大值为12的子集可视为的子集与集合的并集，共有个， 同上可知，最大值为11的子集共有个，最大值为10的子集共有个，...，最大值为1的子集共有个. 所以，M的所有非空子集中的最小值之和为， 最大值之和为， 所以 . 故答案为：13 11．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知为正实数，关于的不等式的解集为，则当的值变化时，集合中的元素个数的最小值为 ; 【答案】 【分析】根据二次等式的解法，得到解集，再由基本不等式，得到解集的必有子集，则可得答案. 【详解】由方程，可解得，当且仅当时，等号成立， 则，即，由，则集合中的元素最少有个， 故答案为：. 12．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）设集合，对于中的任意两个元素，，记，设，若，则的最小值是 . 【答案】1010 【解析】由，可得，分析得中有2020个1，,2020个0，进而由可得最小值. 【详解】设， 因为，所以， 所以， ， 由，得， 所以中有2020个1，,2020个0， . 注意到只有时，，否则， 而中有2020个1，,2020个0，所以满足的最多有1010个， 所以， 故答案为：1010. 【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用进行运算，属于难题. 13．（23-24高一上·上海闵行·期中）设表示不超过的最大整数，用数组，，，，组成集合的元素的个数是 . 【答案】 【分析】首先，令（），分析当时，计算得到，取，即都是集合的元素，即共有个元素；另外，分析可知，，故数也是集合中的元素，共有个，两种情况作和即可得到答案. 【详解】令（）， 当时，即，解之得：，取， 此时，即都是集合的元素，共有个， 另外，，，， 所以数也是集合中的元素，共有个，， 所以集合中的元素共有个. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了集合中元素的个数，解题关键在于根据已知条件建立不等关系式，并进行计算，考查分析能力和逻辑思维能力，属于中档题. 02 单选压轴题 1．（2024·上海宝山·一模）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当其中且，或其中且.现有如下两个命题: ①；②集合.则下列选项中正确的是（    ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】C 【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且， 且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，， 因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，故①是假命题； 记， 当时，，因为，，，所以； 下面讨论元素与集合的关系， 当时，，当时，，，，所以， 当时，，，，所以， 当时，，，，所以，依次类推， 当时，，，，所以， 下面讨论时，集合中元素与集合的关系， 因为，有，，且，所以， 综上所述，，有， 即，故②是真命题. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解. 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（    ） A．37 B．39 C．48 D．57 【答案】A 【分析】根据题意得到集合的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素必为特征数的组成部分，又利用要使最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使最小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合中的元素，从而推得的取值范围，由此得解. 【详解】因为集合， 又因为集合中，每个集合恰有个元素，且有个元素， 所以集合中没有重复元素， 因为是集合中数值最小的元素，是集合中数值最大的元素， 所以在的特征数构成中，必有和，不妨设， 要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即， 所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素， 同理，不妨设，接着在中再次放置数值较小的元素，即， 则， 此时有最大值为，即； 要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即， 所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素， 同理，不妨设，接着在中再次放置数值较大的元素，即， 则， 此时有最小值为，即， 综上：， 显然，选项A不满足，故A正确； 选项BCD都满足，故BCD错误. 故选：A. 【点睛】关键点睛： 本题解题的关键在于理解特征数的组成中，一定含有最小数值的元素与最大数值的元素，从而推理得要使取得最值时，中的元素情况，由此得解. 3．（2024·上海普陀·一模）设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解. 【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意. ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可. 4．（23-24高三上·上海徐汇·期中）对正整数，记．若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，推出为破晓集相矛盾，再证满足要求，当时，，可以分成2个破晓集的并集去证明，当时，去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，从而得到答案. 【详解】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集， 假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，使．不妨设，则由于，所以，即， 同理可得，，．又推出，但，这与为破晓集相矛盾， 再证满足要求，当时，， 可以分成2个破晓集的并集， 事实上，只要取，， 则和都是破晓集，且．当时，集合中，除整数外， 剩下的数组成集合，可以分为下列2个破晓集的并：， 当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合， 可以分为下列2个破晓集的并：， 最后，集合中的数的分母都是无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，， 则和是不相交的破晓集，且． 综上，的最大值为14. 故选：B． 【点睛】思路点睛：先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，利用反证法推出为破晓集相矛盾，再证满足要求去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，本题考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题.. 5．（2024·浙江温州·三模）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A、B：不妨设，可得，根据集合的定义可得Y中至少有以上5个元素，不妨设，则集合S中至少有7个元素，排除选项A，若，则集合Y中至多有6个元素，所以，排除选项B；对C：对，则与一定成对出现，根据集合的定义可判断选项C；对D：取，则，根据集合的定义可判断选项D. 【详解】解：不妨设，则的值为， 显然，，所以集合Y中至少有以上5个元素， 不妨设， 则显然，则集合S中至少有7个元素， 所以不可能，故排除A选项； 其次，若，则集合Y中至多有6个元素，则，故排除B项； 对于集合T，取，则，此时，，故D项正确； 对于C选项而言，，则与一定成对出现，，所以一定是偶数，故C项错误. 故选：D. 6．（23-24高一上·湖南长沙·期中）已知表示不超过的最大整数，例如，，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，解绝对值不等式求出集合A，分类讨论的取值范围，求出集合B，由，列出满足条件的不等式组，解不等式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或 ， 所以或， 所以 ， 当时，，由， 则，解得； 当时，，此时不成立，故不取； 当时，， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、含参数的一元二次不等式的解法以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，属于中档题. 03 解答题压轴 1．（23-24高一上·北京·阶段练习）设整数集合，其中，且对于任意，若，则． (1)请写出一个满足条件的集合A； (2)证明：任意，． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可设，满足条件即可得解； （2）根据满足任意，要证的形式，考虑反证法即可证明. 【详解】（1）令，满足， 当时，若满足，则成立， 即可写出一个满足条件的集合. （2）假设存在一个使得， 令，其中且， 由题意，得， 由为正整数，得，这与为集合中的最大元素矛盾， 所以任意，． 【点睛】关键点点睛：利用反证法证明第二问，假设存在一个使得，首先把拆成是解题推理的关键，其次利用集合是整数构成的，且最大是解题的另外一个关键点. 2．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知集合为非空数集，定义. (1)若集合，请证明，并直接写出集合； (2)若且，集合，求的最小值； (3)若集合，且，求证：. 【答案】(1)见解析；； (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题目的定义，即可证明，再直接计算集合即可; （2）通过假设集合，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，即可得出答案. （3）根据集合相等的概念，证明即可； 【详解】（1）由， 集合，所以，所以， 因为， 所以. （2）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故n的最小值为675. （3）由于集合，， 则集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 3．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同） (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)1348 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，证明即可； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）因为集合，，， 所以由，可得， ，可得． （2）由于集合，， 则T集合的元素在0，，，，，，中， 且，， 而，故中最大元素必在中，而为7个元素中的最大者， 故即，故， 故中的4个元素为0，，，， 且，，与，，重复， 而，故即， 而，故，故或， 若，则，，与题设矛盾； 故即. （3）设满足题意，其中， 则， ∴，，∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为，， ∴，即，∴． 实际上当时满足题意， 证明如下：设，， 则，， 依题意有，即， 故m的最小值为674，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1348． 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 4．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 5．（2024高一·上海·专题练习）已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质. (1)当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由； (2)若时， ①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由； ②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质，理由见解析； (2)①集合具有性质，理由见解析；②，证明见解析. 【分析】（1）当时，，由题中所给新定义直接判断即可. （2）若时，则，①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证即可证明；②设集合有个元素，由①知： 任给，，则和中必有一个不超过，所以集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过，然后利用性质的定义进行分析可得，即解不等式即可求解. 【详解】（1）当时，， 不具有性质， 因为对于集合中任意不大于的正整数，都可以找到该集合中两个元素，使得成立， 具有性质. 取，对于该集合中任意一对元素，，都有， 所以集合不具有性质，集合具有性质. （2）若时，则， ①如果集合S具有性质P，那么集合一定具有性质， 因为，任取，其中， 因为，则，从而，即，所以， 由集合S具有性质，知存在不大于的正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 在集合中任取一对元素，， 其中，则由， 所以集合一定具有性质. ②设集合有个元素，由①知：若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质， 任给，，则和中必有一个不超过， 因此集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过， 不妨设中有个元素不超过，由集合S具有性质P， 知存在正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 于是一定有，又， 即，则集合中至少有个元素不在集合中， 因此，所以，解得：， 当时，取， 对于集合中任意两个元素都有，即集合S具有性质P，而此时集合中有个元素， 因此集合S中元素个数的最大值是. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键点是理解一个具有性质的含义，以及集合之间包含关系的判断，要求有较强的抽象思维能力，以及对数的分析. 6．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）对任意给定的不小于3的正整数，元集合均为正整数集的子集， 若满足: ①; ②; ③，则称互为等矩集. (1)若集合与互为等矩集，求的值; (2)证明: 如果集合互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合也互为等矩集； 【答案】(1)或. (2)证明见解析. 【分析】（1）由等矩集定义，列出关于和的方程组，求解即可； （2）利用等矩集的定义，只需证明和满足等矩集的三条定义即可； 【详解】（1）解：由等矩集定义，则，可得， 结合韦达定理可知，，为方程的两个根， 解得或，符合题意， 所以或； （2）证明：只需证明和满足等矩集的三条定义即可， ， 故满足定义①； ， 故满足定义②； 假设，则存在，，，可得，与矛盾， 所以， 故满足定义③． 综上所述，和也互为等矩集； 7．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）记，，存在正整数n，且.若集合满足，则称集合A为“谐调集”. (1)分别判断集合、集合是否为“谐调集”； (2)已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由； (3)若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M. 【答案】(1)E不是，F是 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义计算即可判断； （2）若存在符合题意的实数z，根据题意可得，求解后，检验，进而可判断； （3）不妨设A中所有元素满足，从而可得，进而可得，再分、、三种情况求解即可. 【详解】（1）因为，所以E不是“谐调集”， 因为，所以F是“谐调集”； （2）若存在符合题意的实数z，则， 所以，即，解得或或， 当时，则，，不符合题意； 当时，，， 由此，x、y是方程的实数解. 但，方程无实数解，所以不符合题意； 当时，同理，可得不符合题意， 综上，不存在符合题意的实数z； （3）不妨设A中所有元素满足， 则， 于是，， 即， 当时，则，∴，但无解，所以不存在符合题意的“谐调集”， 当时，则，∴，，，∴， 当时，∵，，，均为正整数，∴，，，. ∴， 又，∴，即， 但当时，，矛盾. 所以不存在符合题意的“谐调集” 综上，符合题意的“谐调集”为. 【点睛】关键点睛： 本题第三问关键是能够由，结合正整数的特点得到，再分、、三种情况求解. 8．（23-24高一上·北京朝阳·期末）设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． (1)当时，判断是否为U的子集，说明理由； (2)当时，若A为U的子集，求证：； (3)当时，若A为U的子集，求集合A． 【答案】(1)不是U的子集； (2)证明见解析； (3)集合. 【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集； （2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出； （3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可. 【详解】（1）当时，，，， 取，则，但，不满足性质②， 所以不是U的子集. （2）当时，A为U的子集， 则； 假设，设，即 取，则，但，不满足性质②， 所以，； 假设， 取，，且，则， 再取，，则， 再取，，且， 但与性质①矛盾， 所以. （3）由（2）得，当时，若A为U的子集，，，， 所以当时，， 若A为U的子集，，，； 若，取，，则，， 再取，，则，与矛盾， 则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 综上所述，集合. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 9．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质M． (1)判断集合是否具有性质M； (2)已知集合A具有性质M，求证：； (3)已知集合A具有性质M，求A中元素个数的最大值，并说明理由． 【答案】(1)具有 (2)证明见解析 (3)9，理由见解析 【分析】（1）根据所给性质及集合，全部元素验证所给即可得解； （2）由所给性质变形可得，利用累加相消法即可得解； （3）利用所给性质先放缩法确定确定，再同理可得，假设 可推出矛盾，当时，利用基本不等式证明成立，即可得出的最大值. 【详解】（1） 集合具有性质. （2）由题意，， 又， 所以， 可得：， 所以. 即. （3）由（2）知，，可得， 因此，同理，可得，. 又，可得，所以也均成立. 当时，取，则，可知. 又当时，，所以. 因此集合中元素个数的最大值为9. 【点睛】关键点点睛：根据，利用放缩法变为，先取，判断出，再分，时，与25 的大小即可，属于难题. 10．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知，集合，对于，定义A与B之间的距离为：． (1)对任意的，请写出可能的值（不必证明）； (2)设，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为，求的最大值； (3)对，定义：．求证：对任意的，有以下结论成立： ①． ②三个数中至少有一个是偶数． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）（2）由新定义计算， （3）由新定义与反证法证明， 【详解】（1）由题意得， ，则可能的值为， （2）设，4个元素中第1个位置共个，个0， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若要使最大，则，同理得第2，3，4个位置各有2个，2个0， 的最大值为， （3）①由题意得，， 若，则，，， 若，则，，， 故， ②由①可设，，， 则中有个1，中有个1， 设是使得成立的的个数， 则， 假设均为奇数，则为偶数，矛盾，故假设不成立， 故三个数中至少有一个是偶数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$