第1章 集合与逻辑（单元分层自测·基础通关卷）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高一数学第1章集合与逻辑单元卷，以基础通关为定位，通过梯度化题型（填空12题54分、选择4题18分、解答5题78分）覆盖集合运算、逻辑条件等核心知识，融合新定义与几何情境，适配单元复习，发展抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|集合关系（第4题）、充要条件（第9题）|结合勾股定理考锐角三角形充要条件，体现数学眼光| |选择题|4/18|命题否定（第13题）、集合运算（第14题）|聚焦基础概念辨析，强化逻辑思维| |解答题|5/78|新定义（第21题“乘法封闭集”）、条件判断（第20题三角形）|设计分层探究（如20题三小题），培养创新意识与推理能力|

2026-2027学年高一数学单元自测 第1章 集合与逻辑·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知，求方程组的解集__________. 2．“”是“”的_______________条件． 3．已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 4．已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 5．已知且，集合，．若，则______． 6．已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 7．集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 8．集合，，则________． 9．设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 10．设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 11．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是________________. 12．设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．命题“，”的否定是（   ） A． B． C． D． 14．集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 16．若命题“，”是假命题，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第1章 集合与逻辑·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 2、必要不充分 3、3 4、 3 5、 5 6、 7、 8、 9、 10、 11、或 12、5或10 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 D C A B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1） 2分 当时， 4分 6分 （2）因为，当时，，即 8分 当时，，此时 11分 综上，实数m的取值范围为或． 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）由集合， 因为，可得，解得， 2分 若，可得，解得，则当，可得或， 4分 又因为且，可得，所以实数的取值范围为. 6分 （2）解：因为成立的充分不必要条件是成立， 又因为，所以是的真子集， 因为， 所以或， 9分 ①当，即时，此时，则，满足题意； 11分 ②当时，则满足或， 解得或 综上，实数的取值范围为. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 2分 命题为真命题时，有，或， 4分 因为两个命题都是真命题， 所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； 6分 （2）由（1）可知：当命题为假命题时，， 当命题为假命题时，， 8分 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 10分 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 12分 综上所述：实数的取值范围，或. 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1）由，得，即， 2分 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. 4分 （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； 6分 ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； 8分 ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. 10分 （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 13分 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 16分 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）设，则， 所以， 2分 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. 4分 （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 6分 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 8分 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. 10分 （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 13分 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 14分 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 18分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第1章 集合与逻辑·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知，求方程组的解集__________. 【答案】 【详解】由，解得， 所以方程组的解集为. 故答案为： 2．“”是“”的_______________条件． 【答案】必要不充分 【详解】“”，可以推出“”，满足必要性； “”，不能推出“”，不满足充分性； 故“”是“”的一个必要不充分条件． 3．已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 【答案】3 【详解】因为， 所以， 又，所以， 则集合中有3个元素. 4．已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 【答案】3 【详解】由题得，. 因为， 所以根据子集的定义，集合C必须含有元素2，5， 所以或或. 故答案为：3 5．已知且，集合，．若，则______． 【答案】5 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 6．已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 7．集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为，所以集合， 又因为集合，，且， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 8．集合，，则________． 【答案】 【详解】把代入得， 解得或（舍）， 则，或， 所以. 9．设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 【答案】 【详解】设，，分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是． 证明如下：必要性：在中，是锐角，作，为垂足，如图． 显然 ，即． 充分性：在中，，不是直角． 假设为钝角，如图作，交延长线于点． 则 ． 即，与“”矛盾． 故为锐角，即为锐角三角形． 故答案为： 10．设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 【答案】 【详解】由题可得，解得，则， 由，设，则，所以，又因为，，所以， 因为共个相同元素， 所以满足但的元素的个数为个. 故答案为：. 11．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是________________. 【答案】或 【解析】根据命题为假命题，转化为，恒成立，即可求解. 【详解】因为命题“，”且命题p是假命题， 可得命题“，”为真命题， 即，恒成立， 可得，即，解得或， 即实数a的取值范围是或. 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查了利用命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及恒成立问题的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 12．设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．命题“，”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】命题“，”的否定是“”. 14．集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解不等式得，即，与无公共元素， 故. 15．集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为，则， 当时，不成立，所以，所以满足， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 综上可知：. 故选：A. 16．若命题“，”是假命题，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】命题“，”是假命题， 可得，为真命题， 当时，不等式显然成立． 当时，由题可得函数图象恒在x轴下方， 则． 综上可得． 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【详解】（1） 2分 当时， 4分 6分 （2）因为，当时，，即 8分 当时，，此时 11分 综上，实数m的取值范围为或． 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 【详解】（1）由集合， 因为，可得，解得， 2分 若，可得，解得，则当，可得或， 4分 又因为且，可得，所以实数的取值范围为. 6分 （2）解：因为成立的充分不必要条件是成立， 又因为，所以是的真子集， 因为， 所以或， 9分 ①当，即时，此时，则，满足题意； 11分 ②当时，则满足或， 解得或 综上，实数的取值范围为. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【详解】（1）命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 2分 命题为真命题时，有，或， 4分 因为两个命题都是真命题， 所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； 6分 （2）由（1）可知：当命题为假命题时，， 当命题为假命题时，， 8分 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 10分 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 12分 综上所述：实数的取值范围，或. 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 20．在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【详解】（1）由，得，即， 2分 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. 4分 （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； 6分 ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； 8分 ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. 10分 （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 13分 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 16分 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【详解】（1）设，则， 所以， 2分 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. 4分 （2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 6分 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 8分 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. 10分 （3）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 13分 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 14分 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 18分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第1章 集合与逻辑·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知，求方程组的解集__________. 2．“”是“”的_______________条件． 3．已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 4．已知集合，，则满足条件⫋的集合C的个数为______. 5．已知且，集合，．若，则______． 6．已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 7．集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 8．集合，，则________． 9．设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是__． 10．设集合，并定义集合，集合，那么满足但的元素的个数为________． 11．已知命题，，若p是假命题，则实数a的取值范围是________________. 12．设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．命题“，”的否定是（   ） A． B． C． D． 14．集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 16．若命题“，”是假命题，则实数k的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. (1)证明：是一个“乘法封闭集”； (2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； (3)若是集合的一个“完美元素”，求的值. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $