第一章 集合与逻辑（单元复习 12类重点题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第一册）

第一章 集合与逻辑知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01、集合 （1）集合及其表示 ①定义：概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集； ②记法：集合通常用大写字母、、、…来表示； ③常用数集及表示符号：数学上，常常需要用到数的集合；数的集合简称数集； 数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集 记法 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物； （2）元素 ①定义：集合所含的各个对象叫做该集合的元素； ②记法：通常用小写字母、、、…来表示； ③性质：确定性、互异性 、无序性. （3）元素与集合的关系 ①属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . ②不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. （4）集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同 (即中的元素都是的元素，中的元素也都是的元素)，则称这两个集合相等；记作； （5）集合的分类 ①有限集:含有有限个元素的集合 ②无限集:含有无限个元素的集合 ③空集:不含有任何元素的集合，记作； 知识点02、集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】应用列举法表示集合时应关注以下四点：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物； （2）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法． （3）区间的概念及表示 ①区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 ②含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 知识点03、集合间的基本运算 （1）交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 图形语言 交集的性质：,,,,. （2）并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 图形语言 并集的性质：,,,,. （3）全集 ①定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集； ②记法：全集通常记作； （4）补集 ①文字语言：设为全集，是全集的一个子集，则由中不属于的所有元素组成的集合，称为在中的补集（complementary set），记作：； ②符号语言： ③图形语言： （5）补集的性质 ①∪()＝；②∩()＝；③＝，＝，＝； ④∩＝；⑤＝； 知识点04、命题 （1）命题的概念 把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（proposition）； 【注意】在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题；特别提醒：（1）判断一个语句是否为命题的两个要素：（2）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； （2）命题的分类 其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可； 命题真假 “若则”为真 “若则”为假 表示方法 读法 推出 不能推出 （3）命题的表示方法 命题通常写成“若，则”的形式；其中陈述句称为命题的条件，称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足满足； 【注意】命题的表示形式，在其他参考书上也有表示为： “若，则”，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论； （4）子集与推出关系 如果命题“若，则”是真命题，那么我们就称推出，记作（或）. 知识点05、充分条件与必要条件 （1）充分条件，必要条件的概念 对于两个陈述句是，如果⇒，则称是的充分条件，或称是的必要条件； 【注意】①充分条件与必要条件的理解 命题真假 “若则”是真命题 “若则”是假命题 推出关系 ⇒ 条件关系 是的充分条件 是的必要条件 不是的充分条件 不是的必要条件 ②的含义： ①“若，则”形式的命题为真命题；②由条件可以得到结论；③是的充分条件或的充分条件是；是的必要条件或的必要条件是；④只要有条件，就一定有结论，即对于是充分的，对于的成立是必要的；⑤为得到结论，具备条件就可以推出； 显然，是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即，只是说法不同而已； （2）充要条件的概念 对于两个陈述句是，如果既有⇒，又有⇒，我们就称是的充分必要条件，简称充要条件；记作：⇔；读作“与等价”或“成立当且仅当成立”； （3）充分条件，必要条件，充要条件与集合交汇 ① 记集合，，若是的充分不必要条件，则， i. 若是的必要不充分条件，则； ② 记集合，，若，则是的充分条件， i. 若，则是的必要条件， ii. 若，则是的充要条件； 知识点06、反证法 （1）反证法的定义 反证法是指“证明某个命题时，首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出已知条件或（已学）定理相矛盾的结论，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的；这样的证明方法叫反证法； （2）反证法的步骤 ①假设原命题的结论不成立；（假设） ②从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪） ③因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论） 【注意】用反证法证明结论是的命题；其思路是：假定不成立，则的反面成立，然后从的反面成立的假定出发，利用已知事实、公理、定义、定理、法则、公式等作出一系列正确的推理，最后推出矛盾的结果，若同时承认这个结果与题设条件，则与学过的公理、定理或定义矛盾，这矛盾只能来自“的反面成立”这个假设，因此必定成立；可见反证法的步骤是：否定结论→推出矛盾→否定假设→肯定结论，其中推出矛盾是证明的关键. 03 题型归纳 题型一　集合的概念 例题1．（24-25高一上·上海·课前预习）下列所给对象不能组成集合的是 ． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 题型二 集合的表示方法　 例题1．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合用列举法表示为 . 例题2．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为 . 2．（23-24高一上·上海松江·期中）定义集合运算，设集合，则集合 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 题型三　根据元素与集合的关系求参数 例题1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设全集，集合，若，则实数的取值范围是 . 例题2．（23-24高一上·上海静安·期中）已知集合，如果且，那么 例题3．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合，且． （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足的的值． 巩固训练 1．（2024高一·全国·课后作业）若，则a的值为 . 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合． 3．（2024高一·上海·专题练习）已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 题型四 根据集合中元素的个数求参数　 例题1．（2024高一·上海·专题练习）若集合只有一个元素，则实数的取值范围是 ． 例题2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知集合，记集合中的元素个数为，若，则实数 . 例题3.（23-24高一上·上海金山·期中）已知集合， (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求的值，并写出此时的集合； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海金山·阶段练习）用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）集合有且仅有2个子集，则的取值集合为 3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 题型五 集合的基本关系 例题1．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 例题2．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（    ） A．11 B．12 C．15 D．16 巩固训练 1．（23-24高一上·上海松江·期中）若集合，集合与集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型六 根据集合的包含关系求参数　 例题1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若，，，则的取值范围是 例题2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，若，求的取值范围 例题3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）设集合，且中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为 巩固训练 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，，若，则实数组成的集合 . 2．（2024高一·上海·专题练习）已知，，且，则a的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，集合，设关于的不等式的解集为B，若，则实数的取值范围为 题型七 集合的基本运算　 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）集合，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，或，则 ． 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）设全集为，集合，，或，求，，． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）集合，，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，，则 ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，，求，，． 题型八 根据集合的运算结果求参数　 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 例题2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 例题3．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求； (3)若，求实数的取值范围； 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 3．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 题型九 命题　 例题1．（24-25高一上·上海·课前预习）判断下列命题的真假，并用“”写出下列命题． (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线，则． 例题2．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海长宁·阶段练习）若是全集的真子集，则下列四个命题：①；②；③④⑤中与命题等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 题型十 充分条件和必要条件的判断 例题1．（2024高三·上海·专题练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（2024·北京密云·一模）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3．（2024高一·上海·专题练习）是的 条件． 巩固训练 1．（2024·上海徐汇·二模）对于实数，，，且是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设，则“”是“”的 条件． 3．（2024高一·上海·专题练习）“或”是“”成立的 条件. 题型十一根据充分性和必要性求参数 例题1．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 例题2．（23-24高三上·上海·期中）已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 例题3．（2024高一·上海·专题练习）已知集合． (1)由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合的偶数． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合或，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 2．（2024高一·上海·专题练习）（1）设：，：，若是的充分非必要条件，求实数a的取值范围； （2）设集合 ，集合，若，求实数a的取值范围． 3．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知或，或，若是的充分条件，求实数m的取值范围． 题型十二反证法 例题1．（23-24高一上·上海·阶段练习）用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 例题2．（23-24高一上·上海·期中）命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为 ． 例题3．（2023高一·上海·专题练习）设,,是由三个整数组成的非空集，已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，如果,，则，证明：,,中必有两个集合相等． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）用反证法证明命题“如果，可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容应是 ． 2．（23-24高一上·上海奉贤·期末）设、. “若，则或”是一个真命题.用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即： . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：是无理数．（提示：已知为无理数） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与逻辑知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01、集合 （1）集合及其表示 ①定义：概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集； ②记法：集合通常用大写字母、、、…来表示； ③常用数集及表示符号：数学上，常常需要用到数的集合；数的集合简称数集； 数集 自然数集 整数集 有理数集 实数集 记法 注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物； （2）元素 ①定义：集合所含的各个对象叫做该集合的元素； ②记法：通常用小写字母、、、…来表示； ③性质：确定性、互异性 、无序性. （3）元素与集合的关系 ①属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . ②不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. （4）集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同 (即中的元素都是的元素，中的元素也都是的元素)，则称这两个集合相等；记作； （5）集合的分类 ①有限集:含有有限个元素的集合 ②无限集:含有无限个元素的集合 ③空集:不含有任何元素的集合，记作； 知识点02、集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】应用列举法表示集合时应关注以下四点：①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物； （2）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法． （3）区间的概念及表示 ①区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 ②含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 知识点03、集合间的基本运算 （1）交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 图形语言 交集的性质：,,,,. （2）并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 图形语言 并集的性质：,,,,. （3）全集 ①定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集； ②记法：全集通常记作； （4）补集 ①文字语言：设为全集，是全集的一个子集，则由中不属于的所有元素组成的集合，称为在中的补集（complementary set），记作：； ②符号语言： ③图形语言： （5）补集的性质 ①∪()＝；②∩()＝；③＝，＝，＝； ④∩＝；⑤＝； 知识点04、命题 （1）命题的概念 把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（proposition）； 【注意】在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题；特别提醒：（1）判断一个语句是否为命题的两个要素：（2）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； （2）命题的分类 其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； 【注意】真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可； 命题真假 “若则”为真 “若则”为假 表示方法 读法 推出 不能推出 （3）命题的表示方法 命题通常写成“若，则”的形式；其中陈述句称为命题的条件，称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足满足； 【注意】命题的表示形式，在其他参考书上也有表示为： “若，则”，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论； （4）子集与推出关系 如果命题“若，则”是真命题，那么我们就称推出，记作（或）. 知识点05、充分条件与必要条件 （1）充分条件，必要条件的概念 对于两个陈述句是，如果⇒，则称是的充分条件，或称是的必要条件； 【注意】①充分条件与必要条件的理解 命题真假 “若则”是真命题 “若则”是假命题 推出关系 ⇒ 条件关系 是的充分条件 是的必要条件 不是的充分条件 不是的必要条件 ②的含义： ①“若，则”形式的命题为真命题；②由条件可以得到结论；③是的充分条件或的充分条件是；是的必要条件或的必要条件是；④只要有条件，就一定有结论，即对于是充分的，对于的成立是必要的；⑤为得到结论，具备条件就可以推出； 显然，是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即，只是说法不同而已； （2）充要条件的概念 对于两个陈述句是，如果既有⇒，又有⇒，我们就称是的充分必要条件，简称充要条件；记作：⇔；读作“与等价”或“成立当且仅当成立”； （3）充分条件，必要条件，充要条件与集合交汇 ① 记集合，，若是的充分不必要条件，则， i. 若是的必要不充分条件，则； ② 记集合，，若，则是的充分条件， i. 若，则是的必要条件， ii. 若，则是的充要条件； 知识点06、反证法 （1）反证法的定义 反证法是指“证明某个命题时，首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出已知条件或（已学）定理相矛盾的结论，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的；这样的证明方法叫反证法； （2）反证法的步骤 ①假设原命题的结论不成立；（假设） ②从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪） ③因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论） 【注意】用反证法证明结论是的命题；其思路是：假定不成立，则的反面成立，然后从的反面成立的假定出发，利用已知事实、公理、定义、定理、法则、公式等作出一系列正确的推理，最后推出矛盾的结果，若同时承认这个结果与题设条件，则与学过的公理、定理或定义矛盾，这矛盾只能来自“的反面成立”这个假设，因此必定成立；可见反证法的步骤是：否定结论→推出矛盾→否定假设→肯定结论，其中推出矛盾是证明的关键. 03 题型归纳 题型一　集合的概念 例题1．（24-25高一上·上海·课前预习）下列所给对象不能组成集合的是 ． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【答案】（1）（3） 【分析】结合集合中元素的“确定性”、“互异性”逐一分析即可. 【详解】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合； 某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合； “大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合； 某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合； 故答案为：（1）（3） 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 【答案】(1)不能，不满足确定性 (2)能，为无限集 (3)能，为空集 (4)能，为有限集 (5)能，为无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据题意，结合集合的定义，以及集合中元素的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为接近于0的数的全体，标准不明确，不符合集合元素的确定性，所以不能构成集合； （2）解：因为平面上到点的距离等于2的点的全体，构成以圆心，半径为的圆，符合集合的概念，且是无限集； （3）解：因为方程在实数范围内无解，所以方程的解集为空集； （4）解：由720的所有正约数，满足元素的确定性和互异性，可以构成集合，且为有限集； （5）解：所有大于小于1的实数，可以构成一个集合，且为无限集. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)能组成集合，为无限集 (3)能组成集合，为 (4)不能组成集合，理由见解析 【分析】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型. 【详解】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集. （2）所给对象确定，能组成集合，为无限集. （3）所给对象确定，能组成集合，为空集. （4）所给对象不确定，不能组成集合. 题型二 集合的表示方法　 例题1．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】由，，即可求出的值构成的集合． 【详解】，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 集合， 故答案为：． 例题2．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 【答案】17 【分析】从定义出发，抓住a，b的奇偶性对16进行分拆，当a，b同是奇数或偶时，将16分拆为两个同奇偶数的和；若a，b一奇一偶时，将16分拆为一个奇数与一个偶数的积，再计算组数即可. 【详解】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16； 当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个. 故答案为：17. 例题3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和． 【答案】21 【分析】首先求集合中的元素，再求和. 【详解】因为，所以中的元素有： ，，，，（舍去），，（舍去），， 所以， 所以中的所有元素数字之和为21． 巩固训练 1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则中元素的个数为 . 【答案】 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】由， 因为， 所以当时，由， 当时，由， 时，，不满足 综上所述：中元素的个数为， 故答案为： 2．（23-24高一上·上海松江·期中）定义集合运算，设集合，则集合 . 【答案】 【分析】结合已知条件，利用列举法即可求解. 【详解】由题意可知， ①当时，则； ②当，时，； ③当，时，. 综上所述，. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示； （2）解方程组，解集为有限，用列举法表示； （3）元素有限个，所以用列举法表示. 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 题型三　根据元素与集合的关系求参数 例题1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设全集，集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先写出，将代入解不等式即可. 【详解】由得， 因为，所以，即. 故答案为： 例题2．（23-24高一上·上海静安·期中）已知集合，如果且，那么 【答案】或 【分析】根据元素与集合之间的关系，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】因为且， 则当，即时，集合，满足题意； 当，即或时，集合或， 显然当时，不满足题意，时，满足题意， 综上所述，或. 故答案为：或. 例题3．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合，且． （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足的的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析，． 【分析】（1）设，然后计算可得； （2）设，计算出，由（1）得的值，然后代入一一检验可得； （3）设，计算可证，在时可得，结合（2）可得值． 【详解】（1）证明：若,则， 所以 ， 因为， 所以原式， 因为，所以偶数，原式得证． （2）因为，且， 则，所以， 设，， 由（1）可知，即， 所以或． 当时，代入可得， 此时，不满足，所以不成立． 当时，代入解得，若，则，不满足，所以不成立；若，则，满足． 综上，可知． （3）证明:因为，所以可设，且， 则 所以 ， 即成立， 对于，不等式同时除以可得， 由（2）可知，在范围内，， 所以， 即． 巩固训练 1．（2024高一·全国·课后作业）若，则a的值为 . 【答案】 【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答. 【详解】因为，则当，即，此时，矛盾， 若，解得，此时，，符合题意，即， 而，即， 所以a的值为. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，求集合． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，列方程，解方程求出，再根据元素互异性，即可确定集合B. 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 3．（2024高一·上海·专题练习）已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在这样的，理由见解析；（3）是，证明见解析. 【分析】（1）根据题意得，，，故； （2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案； （3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可. 【详解】解：（1）因为若，则，， 所以，，， 所以. （2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合， 则，即：， 由于，故该方程无解， 所以不能是仅含一个元素的单元素集. （3）因为，，则，则， 所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可. 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等. 所以集合中含元素个数一定是个. 【点睛】本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题. 题型四 根据集合中元素的个数求参数　 例题1．（2024高一·上海·专题练习）若集合只有一个元素，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，结合根的判别式即可得解. 【详解】解：当时，方程为一元一次方程， 只有一个实根，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， 若要使集合只有一个元素，需使方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：． 例题2．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知集合，记集合中的元素个数为，若，则实数 . 【答案】或或 【分析】由，得或，分、讨论集合中的解，结合判别式可得答案. 【详解】因为，，解得或者， 时，即只有一个元素， 当只有一个解而无解时， 即，解得， 当只有一个解而无解时， 即，不存在， 时，有三个元素， 当只有一个解而有2个不同解时， 即，不存在， 当只有一个解而有2个不同解时， 即，解得或者， 综上所述， 或或. 故答案为：或或. 例题3.（23-24高一上·上海金山·期中）已知集合， (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求的值，并写出此时的集合； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，；当，；当， (3) 【分析】（1）利用判别式研究方程根的个数即可； （2）当时，符合，当时，利用判别式研究方程根的个数即可； （3）当时，符合，当时，利用判别式研究方程根的个数即可； 【详解】（1）若是空集，则，解得； （2）若中至多有一个元素 当时，，符合 当时，若，解得，此时            若，得，此时. 综合得：当时，；当，；当，. （3）若中至少有一个元素 当时，，符合 当时，若，解得且 综合得. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海金山·阶段练习）用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值，即可得出的值. 【详解】由题意可知，集合的真子集个数为，解得， 由题中定义可得，或. 由题意可知，为关于的方程的一根. 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时，方程无实根，则满足条件； 当时，则关于的方程有三个根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得. 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得. 当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 因此，，即. 故选：D. 【点睛】以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．在解本题中，在求出实数的取值后，要代回原集合进行检验，以免产生错解. 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）集合有且仅有2个子集，则的取值集合为 【答案】 【分析】根据集合子集个数确定集合中元素个数，分和求解即可. 【详解】因为集合有且仅有2个子集，所以集合只有一个元素， 所以方程即只有一个根， 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，原方程化为，所以， 解得，经检验，符合题意，所以的取值集合为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】确定得到，，得到，解得答案. 【详解】集合中只有一个整数元素， 则，，即，此时，故，解得. 故. 故答案为：. 题型五 集合的基本关系 例题1．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据条件，列举出满足条件的集合，即可求解. 【详解】由题意可知，,,,,, ，共有6个集合满足条件. 故选：C 例题2．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（    ） A．11 B．12 C．15 D．16 【答案】A 【分析】由题意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解. 【详解】当中有元素时，， 当中有元素时，， 所以， 所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合， 故满足题意的集合有，共11个. 故选：A. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海松江·期中）若集合，集合与集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，该集合为有理数集，当时，该集合包含无理数，即可判断答案. 【详解】当时，； 当时，包含无理数，即， 故选：D. 2．（23-24高三上·上海·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过变形得到，，，再利用集合间包含关系的判断方法即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又，所以， 因为，则，而为奇数，所以， 故选：C. 题型六 根据集合的包含关系求参数　 例题1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若，，，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据和讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】，，且， 当，即时，符合题意； 当，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，若，求的取值范围 【答案】或 【分析】根据给定条件，按集合是空集和非空集合，结合集合的包含关系列式求解作答. 【详解】依题意，当时，，解得，此时有，则， 当时，由，得或，解得或， 所以的取值范围是或. 故答案为：或 例题3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）设集合，且中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为 【答案】45 【分析】将集合按照除以5的余数分为5个集合，中最多可以选择1个，和中只能选择一个集合中的元素，和中只能选择一个集合中的元素，得到答案. 【详解】将集合按照除以5的余数分为： ，，，， ， 有21个元素，有22个元素，有22个元素，有21个元素，有21个元素， 中最多可以选择1个， 和中只能选择一个集合中的元素，最多22个， 和中只能选择一个集合中的元素，最多22个， 综上所述：中选择1个，和中的全部元素，共45个. 故答案为：45. 【点睛】关键点睛：本题考查了子集的元素个数问题，意在考查学生的综合应用能力，其中将元素按照除以5的余数分类，再根据余数的可加性是解题的关键. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，，若，则实数组成的集合 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】由解得，或，所以， 当时，方程无解，则，满足题意； 当时，由解得，所以或7，解得或， 综上，实数组成的集合. 故答案为： 2．（2024高一·上海·专题练习）已知，，且，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和讨论结合条件即得结果． 【详解】由题意，集合， 当时，即，解得，此时满足， 当时，要使得，则或或   当时，可得，即，此时，满足； 当时，可得，即，此时，不满足； 当时，，无解. 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，集合，设关于的不等式的解集为B，若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】求出集合B，根据建立不等式求解即可. 【详解】由可得， 当时，不等式无解，即,不符合. 当时，由不等式解得，即， 由则需，解得， 所以， 当时，由不等式解得，即 由则需，解得. 综上，或. 故答案为： 题型七 集合的基本运算　 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）集合，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，或，则 ． 【答案】 【分析】（1）列举集合的元素，再求解并集； （2）（3）根据集合的特征，结合并集的定义，即可求解. 【详解】（1），所以; （2），， 则； （3）集合，或， 所以 故答案为：；；R 例题2．（24-25高一上·上海·课堂例题）设全集为，集合，，或，求，，． 【答案】，或，． 【分析】根据交，并，补的定义，结合数轴，即可求解. 【详解】将集合分别表示在数轴上，如图所示． ∵，， ，或， 又或，或， 又,. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）集合，，则 ； （2）集合，，则 ； （3）集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据两集合的定义计算出答案； 【详解】因为集合，，则； 又因为集合，，则，消元解得； 因为根据二次函数的值域可得集合，，则； 故答案为：；；； 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，，求，，． 【答案】，， 【分析】先求出,再结合交集及补集运算求解即可. 【详解】因为, 所以，，. 题型八 根据集合的运算结果求参数　 例题1．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； （2）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； 【详解】（1）由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以， 解得，， 综上所述，实数的取值范围为. （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以，解得， 或无解； 综上所述，实数的取值范围为． 例题2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求； （2）由全集为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a 【详解】（1），，由得， 当，则； 当，则； 当，则. 综上可得实数a组成的集合为； （2）由全集为A，，即得， ∴，∴，∴. 综上， 例题3．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）设集合； (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求； (3)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可； （3）根据集合B元素情况分类求解即可. 【详解】（1）由题意得，因为，所以， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足，所以或. （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以. （3）因为，且， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解； 综上，. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可； （2）由题意得，从而可求出的取值范围． 【详解】（1）①当时，，∴，∴． ②当时，要使，必须满足，解得． 综上所述，的取值范围是． （2）∵，，或， ∴，解得， 故所求的取值范围为． 2．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意可得，可得出关于实数的等式，解出实数的值，结合进行检验，即可得解； （2）分析可知，，对集合中的元素个数进行分类讨论，可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 由题意可知，，则，即，解得或， 当时，，此时，，合乎题意； 当时，，此时，，合乎题意. 综上所述，或. （2）解：因为，则， 若，对于方程， ，解得； 若中只有一个元素，则，解得，此时，，合乎题意； 若中有两个元素，则，无解. 综上所述，. 3．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合间的基本关系可得，对集合是否为空集进行分类讨论即可求得实数的取值范围； （2）由中只有一个整数可得，限定出与的范围即可求得结果. 【详解】（1）集合， 由可得； ①当时，，解得，符合要求； ②当时，需满足，解得； 综上，实数m的取值范围是 （2）由集合可得或； 若中只有一个整数，则必有，即，可得； 且，解得，即； 因此实数的取值范围是. 题型九 命题　 例题1．（24-25高一上·上海·课前预习）判断下列命题的真假，并用“”写出下列命题． (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线，则． 【答案】(1)真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形 (2)假命题， 两个三角形的周长相等两个三角形全等 (3)假命题， (4)真命题，平面内两条直线和均垂直于直线 【分析】根据题意，结合平行四边形的性质，全等三角形的性质，以及一元二次方程的解和平行线的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）解：真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形. （2）解：假命题，两个三角形的周长相等两个三角形全等. （3）解：假命题，由方程，解得或，所以命题为假命题， 即. （4）解：真命题，平面内两条直线和均垂直于直线. 例题2．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分、讨论可得答案； （2）求出命题①、②都为真命题时的取值范围，再求其补集可得答案. 【详解】（1）命题①函数的图象总在轴上方为真命题，则 当时，符合题意； 当，由求得， 故的取值范围为：； （2）若方程有两个不相等的实数根， 则，解得， 若命题①、②都是真命题，则； 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围为或. 巩固训练 1．（23-24高一上·上海长宁·阶段练习）若是全集的真子集，则下列四个命题：①；②；③④⑤中与命题等价的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论． 【详解】∵，则①符合题意； ∵，则②不符合题意； ∵，则③符合题意； ∵，这与是全集的真子集相矛盾，则④不符合题意； ∵，则⑤符合题意； 与命题等价的有①③⑤，共3个 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【答案】(1)是命题，且是假命题 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是命题，且是真命题 (6)是命题，且是假命题 【分析】根据命题的概念、命题的真假判断即可. 【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题． （3）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （4）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （5）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （6）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 题型十 充分条件和必要条件的判断 例题1．（2024高三·上海·专题练习）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】，或， 所以前者可以推得后者，后者不能推得前者， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 例题2．（2024·北京密云·一模）已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】，不能得到， 成立也不能推出，即可得到答案. 【详解】因为x，， 当时，不妨取，， 故时，不成立， 当时，不妨取，则不成立， 综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题. 例题3．（2024高一·上海·专题练习）是的 条件． 【答案】充分非必要 【分析】利用作差法找出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由可得， ， ， 所以，. 充分性：若，则，，，从而，充分性成立； 必要性：取，，则成立，但不成立，即必要性不成立. 因此，是的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要条件. 【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法： （1）定义法； （2）集合法； （3）转化法. 巩固训练 1．（2024·上海徐汇·二模）对于实数，，，且是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若“且”则“”成立， 当，时，满足，但且不成立， 故且”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设，则“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】利用不等式的性质证明充分性，举反例否定必要性即可. 【详解】若，则，故充分性成立， 令，满足，但不满足，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 3．（2024高一·上海·专题练习）“或”是“”成立的 条件. 【答案】必要不充分 【分析】利用逆否命题的等价性，转化后，判断充分，要条件. 【详解】，不能推出且，反过来，且能推出，所以是且的必要不充分条件，利用逆否关系的等价性可知或是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用逆否命题的等价性，判断充分，必要条件，即“或”是“”成立的条件，就是是且成立的条件. 题型十一根据充分性和必要性求参数 例题1．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据必要条件的定义可得到两集合的包含关系，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】是的必要条件     ，解得：， 即的取值范围为. 故答案为： 例题2．（23-24高三上·上海·期中）已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】利用充要条件与集合的关系，结合集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）设或，或， 因为是的充分条件，所以， 当时，即，此时，不满足题意； 当时，即，有，解得； 综上：m的取值范围为. （2）因为是的必要条件，所以， 当时，即，此时，成立； 当时，即，有，无解. 综上：m的取值范围为. 例题3．（2024高一·上海·专题练习）已知集合． (1)由于，所以8属于集合，判断9，10是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合的偶数． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据集合元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）讨论和同为奇数和偶数及和一奇一偶时，满足集合的偶数即可得出答案. 【详解】（1）由于，所以， 假设，，，则， 且，∵或， ∴或，显然不满足整数解条件，∴. （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于， 又，而， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件. （3）集合，成立， ①当和同为奇数和偶数时，，均为偶数，所以为4的倍数， ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数， 综上所述：所有满足集合的偶数为． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合或，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】根据题目条件可得，对进行分类讨论求出实数的取值范围. 【详解】∵“”是“”的必要条件，∴， 当时，，则； 当时，根据题意作出如图所示的数轴， 由图可知，或， 解得或， 综上可得，实数的取值范围为或． 2．（2024高一·上海·专题练习）（1）设：，：，若是的充分非必要条件，求实数a的取值范围； （2）设集合 ，集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）（2） ． 【分析】（1）先根据α是β的充分不必要条件分析集合之间的关系，再分别讨论集合为空集和不为空集两种情况分别求解即可； （2）先分析集合之间的关系，再分别讨论集合为空集和不为空集两种情况分别求解即可． 【详解】解：（1）因为α是β的充分非必要条件，所以． ①当 时， ，，满足题意； ②当 ， ，即 ，解得， 综上所述，a的取值范围为． （2）因为 ，所以分如下两种情况： ①当 时， ，解得，满足题意， ②当 时，即 ，a＞1， 综上所述，a的取值范围为． 3．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知或，或，若是的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】利用充分条件的概念和集合间的包含关系即可求解. 【详解】因为是的充分条件， 所以或或， 故，解得， 从而实数m的取值范围为. 题型十二反证法 例题1．（23-24高一上·上海·阶段练习）用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 【答案】D 【分析】根据反证法的性质进行判断即可. 【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有” 故选：D 例题2．（23-24高一上·上海·期中）命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为 ． 【答案】且 【分析】由或的否定为且，从而可得结果. 【详解】因为或的否定为且，所以反证法证明时应假设“且”. 故答案为：且. 例题3．（2023高一·上海·专题练习）设,,是由三个整数组成的非空集，已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，如果,，则，证明：,,中必有两个集合相等． 【答案】证明见解析 【分析】首先用反证法的思想证明在某个集合中有0，不妨设，则对任意，有，所以包含于，对于任意，有，所以包含于，所以. 【详解】由,，则，故，则三个集合中都有非负整数， 若三个集合都没有0，则取中最小的正整数a， 不妨设，取中的最小正整数b，不妨设，这时， （否则b不可能大于a，只能等于a，所以，矛盾）； 但是，这样就导致，且，与b为中的最小正整数矛盾． ∴三个集合中必有一个集合含有0． ∵三个集合中有一个集合含有0，不妨设，则，有， ∴包含于，对于任意，有， ∴包含于，则． 综上所述，这三个集合中必有两个集合相等． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）用反证法证明命题“如果，可被5整除，那么，中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容应是 ． 【答案】，都不能被5整除 【分析】根据反证法的特点求解即可. 【详解】用反证法证明时，应先假设命题的结论不成立，则假设的内容应是，都不能被5整除. 故答案为：，都不能被5整除 2．（23-24高一上·上海奉贤·期末）设、. “若，则或”是一个真命题.用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即： . 【答案】且 【分析】否定结论即可. 【详解】“若，则或”是一个真命题. 用反证法证明这个命题是真命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即“且”. 故答案为：且. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：是无理数．（提示：已知为无理数） 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法证明. 【详解】证明：假设是有理数，则令，为有理数， 两边平方得，由此可得， 因为为无理数，为有理数，则这与“有理数和无理数是不可能相等”相矛盾， 所以假设不成立，即是无理数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$