专题01 绝对值化简的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（苏科版2024）

专题01 绝对值化简的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用数轴化简绝对值 1 类型二、分类讨论化简 2 类型三、几何意义化简绝对值 3 类型四、非负性化简绝对值 4 压轴能力测评（13题） 5 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作． 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数． 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离． 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 类型一、利用数轴化简绝对值 【典例1】有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”连接这四个数：，，，； (2)填空： ， 填入“”、“”或“”； (3)化简：． 【变式1-1】数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知的大致位置如图所示：化简． 【变式1-3】如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 类型二、分类讨论化简 【典例2】请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【变式2-1】如果a，b，c为非零有理数且a + b + c = 0，那么的所有可能的值为（　　 A．0 B．1或- 1 C．2或- 2 D．0或- 2 【变式2-2】已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式2-3】如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 类型三、几何意义化简绝对值 【典例3】阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【变式3-1】同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【变式3-2】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有写出理由． (4)若表示一个有理数，求的最小值． 【变式3-3】在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 类型四、非负性化简绝对值 【典例4】若有理数m，n满足，则等于（　　） A． B．1 C．2 D． 【变式4-1】若则 ． 【变式4-2】若与互为相反数，则 ． 【变式4-3】已知，求的值为 ． 一、单选题 1．下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（    ） A． B． C．3 D．0 2．的值是（   ） A．1 B． C． D． 3．实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（　　） A． B．b C． D． 5．如图，数轴上点表示的数为，化简的结果为（    ） A． B． C． D．4 6．已知，两数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 二、填空题 7．如图，a、b、c是数轴上点表示的有理数计算： ． 三、解答题 8．小宇是七年级（1）班数学学习小组长，他想带领本小组同学一起复习绝对值的相关知识，整理了以下题目： (1)_______； (2)若，则x的值为_______； (3)若与互为相反数，则_______； (4)若，则所有符合条件的整数x的和为_______； (5)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_______；    (6)若你是学习小组成员，请针对绝对值的复习给大家提一条复习建议． 9．【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示，的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题： 【概念理解】 （1）表示数x和__________所对应的两点之间的距离； （2）当x逐渐变大时，式子的值如何变化? 【继续推理】 （3），推理的值为__________． 10．阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题： (1) (2)若，求x的值 (3)解决问题： ①若，利用数轴求出的整数值 ②取最小值时，相应 ，最小值是 ． 11．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示5与的两点之间的距离是 ； （2）①若，则x= ； ②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，求所有符合条件的整数的和． 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）若，求的值． 12．阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（）（）（）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式．综上所述，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解； 13．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数， 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，； 所以的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： （1）的最小值是______； （2）当为何值时，代数式的最小值是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值化简的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用数轴化简绝对值 1 类型二、分类讨论化简 3 类型三、几何意义化简绝对值 6 类型四、非负性化简绝对值 10 压轴能力测评（13题） 11 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作． 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数． 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离． 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 类型一、利用数轴化简绝对值 【典例1】有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”连接这四个数：，，，； (2)填空： ， 填入“”、“”或“”； (3)化简：． 【答案】(1) (2)， (3)0 【分析】本题考查有理数的大小比较、数轴、绝对值： （1）根据数轴上的点左边的数比右边的数小即可判断； （2）根据数轴和相反数的性质可得答案； （3）利用绝对值的性质即可解决问题． 解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：根据数轴得：； （2）解：由数轴可得，，， ，； 故答案为：，； （3）解：由图可知：，，，， 原式 ， ． 【变式1-1】数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算． 先确定的符合以及大小，然后再取绝对值即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 故选：B． 【变式1-2】已知的大致位置如图所示：化简． 【答案】 【分析】 此题考查绝对值，关键是根据数轴和绝对值化简解答．先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的和的大小关系，再根据有理数的加减法法则判断正负，利用绝对值的意义化去绝对值符号，加减得结论． 【详解】解：由数轴可得：， ， ． 【变式1-3】如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查数轴上两点距离关系，根据终端两线段列式求解即可得到答案； （2）本题根据数轴化简绝对值，根据数轴得到数字关系得到式子的正负，化简绝对值即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点B是线段的中点，数轴上点A，B，C，O分别表示有理数a，b，c，0， ∴b = ， 故答案为：； （2）解：由数轴可得， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 类型二、分类讨论化简 【典例2】请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 【变式2-1】如果a，b，c为非零有理数且a + b + c = 0，那么的所有可能的值为（　　 A．0 B．1或- 1 C．2或- 2 D．0或- 2 【答案】A 【分析】根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0 ∴a、b、c只能为两正一负或一正两负． ①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负， 原式=1+1+（-1）+（-1）=0， ②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负 原式1+（-1）+（-1）+1=0， 综上，的值为0， 故答案为：0． 【点睛】此题考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2-2】已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 【变式2-3】如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 类型三、几何意义化简绝对值 【典例3】阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【答案】(1)4，1 (2)5， (3)，，0，1，2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识， （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，得到x在到2之间，，即可得出结论． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； （2）表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； （3）表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 【变式3-1】同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有最小值，最小值是． 【分析】 本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． （）根据绝对值的性质即可求解； （）由可得表示到的距离与到的距离之和，根据即可得到一定在到之间，进而可求解； （）由可得表示的是到的距离与到的距离之和，进而可得当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，即可求解； 【详解】（1） 解：， 故答案为:； （2） 解：∵， ∴表示到的距离与到的距离之和， ∵， ∴一定在到之间， ∴符合条件的整数有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是． 理由如下： ∵， ∴表示的是到的距离与到的距离之和， 当位于和之间时，的值最小，即为到的距离， ∴ 有最小值为． 【变式3-2】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有写出理由． (4)若表示一个有理数，求的最小值． 【答案】(1)8；12 (2) (3)有最小值，最小值为4 (4)11 【分析】本题主要考查的是数轴、绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可； （2）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可； （3）根据题意可得表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和，即可； （4）根据题意可得表示数轴上x和的两点之间，x和5的两点之间与x和的两点之间距离和，即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：8；12． （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据题意得：表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和， ∵， ∴有最小值，最小值为4； （4）解：根据题意得：表示数轴上x和的两点之间，x和5的两点之间与x和的两点之间距离和， ∴当时，有最小值，最小值为． 【变式3-3】在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 【答案】(1)； (2)5， (3)，8 (4)E，40 【分析】本题考查有理数在数轴上对应的点、绝对值： （1）根据数轴上A、B两点之间的距离计算便可； （2）当x在表示数与1的两点及两点之间时，的值最小，求出此时的值便可； （3）根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值40； 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离表示为； 数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （2）解：当时，取最小值， 其最小值为：， 满足条件的整数x的和为 故答案为：5，； （3）解：表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为8， 故答案为：，8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， ∴当时，有最小值40， ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米， 故答案为：E，40； 类型四、非负性化简绝对值 【典例4】若有理数m，n满足，则等于（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．先运用非负数的性质求得m，n的值，再代入求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式4-1】若则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值非负性的知识，解题的关键是掌握绝对值非负性的应用，根据题意，则，解出，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的概念及绝对值的知识．根据互为相反数的两个数的和为0，可得与的和为0，再根据绝对值和偶次方的非负性即可分别求出，． 【详解】 与互为相反数 ， ， ， ． 故答案为：． 【变式4-3】已知，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，代入求值，先根据绝对值得非负性求出，的值，然后代入解题即可． 【详解】解：由题可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（    ） A． B． C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最大即为距离原点最远， 即可作答． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴距离原点最远的是3． 故选：C． 2．的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了化简绝对值．熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 根据化简绝对值求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 【点睛】 3．实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴判断式子符号，绝对值的意义，正确去绝对值符号是解题关键．由数轴可知，，，进而得到，据此去绝对值符号即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ， ， 故选：A． 4．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（　　） A． B．b C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的化简，根据数轴判断实数a，b的正负，以及，的正负，利用正数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，化简，即可解题． 【详解】解：由题知，，，且， ，， ， 故选：A． 5．如图，数轴上点表示的数为，化简的结果为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值； 根据数轴得出，可得，然后利用绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴， 故选：B． 6．已知，两数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴可得：，从而得出，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：， ，， ， 故选：A． 二、填空题 7．如图，a、b、c是数轴上点表示的有理数计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴和绝对值，正确得出各式的符号是解题关键．直接利用数轴得出，，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得： ， 所以，，， 故： ． 故答案为：． 三、解答题 8．小宇是七年级（1）班数学学习小组长，他想带领本小组同学一起复习绝对值的相关知识，整理了以下题目： (1)_______； (2)若，则x的值为_______； (3)若与互为相反数，则_______； (4)若，则所有符合条件的整数x的和为_______； (5)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是_______；    (6)若你是学习小组成员，请针对绝对值的复习给大家提一条复习建议． 【答案】(1)5； (2)； (3)1； (4)； (5)； (6)一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0． 【分析】本题考查了绝对值的相关知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用绝对值的性质直接求解即可． （2）利用绝对值的性质直接求解即可． （3）利用绝对值的非负性求解即可． （4）分情况讨论，化简绝对值求值即可． （5）根据数轴判断式子的正负，化简绝对值求值即可． （6）根据绝对值的性质求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：， ． （3）解：∵与互为相反数， ∴，， 解得：， （4）解： 当时，原式（舍去）， 当时，原式（舍去）， 当时，原式， ∴符合条件的整数x有 故所有符合条件的整数x的和为． （5）解：由数轴可知， （6）一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0． 9．【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示，的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题： 【概念理解】 （1）表示数x和__________所对应的两点之间的距离； （2）当x逐渐变大时，式子的值如何变化? 【继续推理】 （3），推理的值为__________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或 【分析】此题主要考查代数式的值、一元一次方程的求解，解题的关键是熟知数轴的特点、化简绝对值的方法即代数式的值的求解方法． （1）根据的数对应的两点之间的距离公式即可求解； （2）分分别化简，故可判断； （3）由（2）的化简结果，计算代入得到方程；根据数轴的特点分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）． （2）由题意可知，式子表示数x和所对应的两点之间的距离与数x和4所对应的两点之间的距离之和． 当x在的左侧，即时，．当逐渐变大，逐渐靠近时，值越来越小． 当在到4之间，即时，，值不变． 当在4的右侧，即时，，当逐渐变大，逐渐远离4时，值越来越大． 故答案为： 当时，随着的增大，式子的值逐渐变小； 当时，随着的增大，式子的值不变； 当时，随着的增大，式子的值逐渐变大． （3）由（2）得当时， 解得； 当时， 解得 故答案为：或； 10．阅读理解：小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3．请你根据他们的解题解决下面的问题： (1) (2)若，求x的值 (3)解决问题： ①若，利用数轴求出的整数值 ②取最小值时，相应 ，最小值是 ． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②， 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点距离； （1）直接去绝对值即可； （2）分情况讨，化简绝对值，然后解方程，即可求解； （3）①根据数轴的点到与的距离为，可得答案； ②①根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案； 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解：∵ 当时，即时，原方程为，解得：， 当时，即时，原方程为，解得：， ∴或； （3）①如图所示， ∵到的距离为， ∴，则 ∴的整数值为 ②当式子取最小值时，则相应的，最小值是4； 故答案为4，4． 11．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示5与的两点之间的距离是 ； （2）①若，则x= ； ②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，求所有符合条件的整数的和． 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）①1或；② （3）或 【分析】本题考查了有理数与数轴 （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）①根据题意可得方程或，求出的值即可； ②根据绝对值的几何意义可知，求出符合条件的整数即可； （3）根据绝对值的几何意义，分情况讨论即可． 【详解】解：（1）表示5和两点之间的距离是， 故答案为：； （2）①∵， ∴或， 解得或， 故答案为：1或； ②∵使所表示的点到表示和的点的距离之和为， ∴， ∵与的距离是， ∴， ∴所有符合条件的整数x的值为， ∴，即和为， 故答案为：； （3）∵， ∴，或，或，或， ∵或不成立， ∴或， 解得：或． 12．阅读下列材料并解决有关问题： 知道：现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（）（）（）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式．综上所述，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)求方程：的整数解； 【答案】(1)和 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，解题关键是“分类讨论思想”． （1）由即可求解． （2）分三种情况讨论当时，当时，当时化简即可． （3）根据（2）中化简结果即可求解． 【详解】（1）解∶ 和 和． （2）当时，； 当时，； 当时，． （3）， ， 整数解为∶． 13．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点分别表示数， 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，； 所以的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： （1）的最小值是______； （2）当为何值时，代数式的最小值是． 【答案】 （1）（2）为或 【分析】考查数轴上两点之间的距离． （1）把原式转化为看作是数轴上表示的点与表示和的点之间的距离最小值，即可求解； （2）根据原式的最小值为，得知此题为动点问题，因此通过数轴上表示的点的左边和右边，得到与的距离为的点即可． 【详解】（1）因为． 如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； （2）因为数轴上表示数的点到表示数的点的距离为，数轴上表示数的点到表示数的点的距离也为， 因此当为或时，原式的最小值是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$