专题01 全等三角形重难点模型汇编-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题01 全等三角形重难点模型汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、标准“K”型图 1 类型二、做辅助线构造“K”型图 2 类型三、“K”型图与平面直角坐标综合 3 类型四、“手拉手”模型 4 类型五、“对角互补”模型 4 类型六“半角”模型 4 压轴能力测评（12题） 7 模型一 一线三垂直全等模型 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 模型二 一线三等角全等模型 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 图一 图二 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解 模型三 手拉手模型 应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题； ②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。 模型四 半角模型 作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG 结论：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF 类型一、标准“K”型图 【典例1】已知为等腰三角形，，直线过点（不经过点），过点作于点，过点作于点． (1)如图1，当点位于直线的同侧时，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，若点位于直线的两侧， ①（1）的结论是否还能成立，请说明理由； ②设与交于点，当时，判断与是否相等，并说明理由． 【变式1-1】已知：如图①，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）求证：； （2）当直线绕点C旋转到图②位置时，、、之间有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明， 【变式1-2】生活中的数学 (1)用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体边长为，③号正方体边长，则_________cm (2)用10块高度都是的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中于点于点，试判断的数量关系，并说明理由． 类型二、做辅助线构造“K”型图 【典例2】已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F． （1）如图1，当AB＝AD时 ①请直接写出BF与DF的数量关系：BF　＝　DF（填“＞”、“＜”、“＝”） ②求证：CE＝2AF （2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【变式2-1】如图，在中，，，．点从点出发沿的路径向终点运动，点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，设点的运动时间为．在某时刻，分别过点和作于点，于点． (1)如图1，当，且点在上，点在上时， ①用含的式子分别表示和：________，________． ②当时，与全等吗？请说明理由． (2)当时，与有没有可能全等？若有可能，直接写出符合条件的值；若不可能，请说明理由． 【变式2-2】（1）观察理解： 如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB． （2）理解应用： 如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点． （3）类比探究： ①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______； ②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ． 【变式2-3】【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 类型三、“K”型图与平面直角坐标综合 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是________； （2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值． 【变式3-1】（2022秋•葫芦岛期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限． （1）如图1，求点B的坐标； （2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM； （3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度． 【变式3-2】问题背景：（1）如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，请直接写出BD、CE、DE的数量关系． 拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系，并说明理由． 实际应用：（3）如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），求B点的坐标． 【变式3-3】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD． （1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD． ①求证：AC＝OD； ②求D点坐标． （2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度． 【变式3-4】在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．    （1）如图1，若+（a-2）2=0，求△ABO的面积； （2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE； （3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ． 类型四、“手拉手”模型 【典例4】如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【变式4-1】如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【变式4-2】如图，在和中，，，若，连接、交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值． 【变式4-3】如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式4-4】已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 【变式4-5】如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【变式4-6】（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 类型五、“对角互补”模型 【典例5】如图，在四边形中，于M，，．求证： (1)； (2)． 【变式5-1】已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是 ． 【变式5-2】如图，四边形中，平分，于点，．求证：． 类型六、“半角”模型 【典例6】在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明； 【变式6-1】问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________． 探索延伸： （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，判断上述结论是否仍然成立，并说明理由． 实际应用： （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 1．如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点， (1)求证：； (2)已知，，求的长． 2．已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 3.（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 4．在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)试说明：； (2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论； (3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）． 5．如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 6．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 7．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 ； （填“＞”，“＜”或“=”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； (2)如图3，若直线经过的外部，，请写出三条线段、、的数量关系的合理猜想 （不要求证明）． (3)拓展应用：如图④，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，与的面积之和是 ． 8．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，其中点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，交轴负半轴于点． (1)如图，点的坐标是，点的坐标是，直接写出点的坐标为________； (2)如图，交轴负半轴于点，连接，交于点． 求证：； 求证：点是的中点． 9．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，且是直角． (1)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第三象限，且，求点C的坐标． (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，，点P为y轴正半轴上一动点，连接交x轴于点E，点F是点E关于y轴为对称轴的对称点连接且延长交于点D，连接交于点G．点P在运动过程中是否存在，若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由（提示：作的平分线交于点H）． (3)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，是否存在为定值，若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 10． (1)如图（1），在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．求的值； (2)将直角三角形绕点P逆时针旋转，如图（2）两直角边与坐标轴交于点A和点B，求的值． (3)在图（2）的基础上，由点P引-条射线，如图（3），过点A作，过点B作，垂足分别为M，N，猜想之间的数量关系，并说明理由．    11．（1）问题背景． 如图1，在四边形中，，，、分别是线段、线段上的点．若，试探究线段、、之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明．再证明，可得出结论，他的结论应是____________． （2）猜想论证． 如图2，在四边形中，，，在线段上、在线段延长线上．若，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．      （3）拓展应用． 如图3，在四边形中，，，AD平分，，，且，求四边形的面积．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形重难点模型汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、标准“K”型图 1 类型二、做辅助线构造“K”型图 2 类型三、“K”型图与平面直角坐标综合 3 类型四、“手拉手”模型 4 类型五、“对角互补”模型 4 类型六“半角”模型 4 压轴能力测评（12题） 7 模型一 一线三垂直全等模型 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 模型二 一线三等角全等模型 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 图一 图二 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解 模型三 手拉手模型 应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题； ②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。 模型四 半角模型 作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG 结论：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF 类型一、标准“K”型图 【典例1】已知为等腰三角形，，直线过点（不经过点），过点作于点，过点作于点． (1)如图1，当点位于直线的同侧时，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，若点位于直线的两侧， ①（1）的结论是否还能成立，请说明理由； ②设与交于点，当时，判断与是否相等，并说明理由． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①成立，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据“”证明即可得出结论； （2）①仍然根据“”证明即可得出结论； ②根据全等三角形的性质以及题意证明，进而得出，则结论可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）（2）①成立， 同理可得， ∴； ②，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三等角”模型证明全等是解本题的关键． 【变式1-1】已知：如图①，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． （1）求证：； （2）当直线绕点C旋转到图②位置时，、、之间有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明， 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）由，得，而于，于，则，根据等角的余角相等得到，易得，所以，，即可得到． （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以． 【详解】（1）证明：， ，而于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）， 在和中， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角． 【变式1-2】生活中的数学 (1)用3块正方体积木搭建了一个立体模型，其主视图如图1，其中①号正方体边长为，③号正方体边长，则_________cm (2)用10块高度都是的长方体积木搭建了两个滑梯，其主视图如图2，其中于点于点，试判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6.5 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）利用证明，即可求解； （2）利用证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵①号正方体边长为，③号正方体边长， ∴，，， ∵②号正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：6.5； （2）解：， 理由：由题意知：，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 类型二、做辅助线构造“K”型图 【典例2】已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F． （1）如图1，当AB＝AD时 ①请直接写出BF与DF的数量关系：BF　＝　DF（填“＞”、“＜”、“＝”） ②求证：CE＝2AF （2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①＝； ②证明见解答过程； （2）成立，证明见解答过程． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，AB＝AD， ∴AC＝AE， ∵AH⊥CE， ∴∠CAH＝∠EAH， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAH+∠BAF＝90°，∠EAH+∠DAF＝90°， ∴∠BAF＝∠DAF， 在△BAF和△DAF中， ， ∴△BAF≌△DAF（SAS）， ∴BF＝DF， 故答案为：＝； ②∵AC＝AE，AH⊥CE， ∴CH＝EH＝CE， ∴CE＝2CH， ∵∠BAC＝∠AHC＝90°， ∴∠BAF+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°， ∴∠BAF＝∠ACH， ∵△BAF≌△DAF， ∴∠AFB＝∠AFD＝90°， ∴∠AFB＝∠CHA， 在△AFB和△CHA中， ， ∴△AFB≌△CHA（AAS）， ∴AF＝CH， ∴CE＝2AF； （2）成立，证明如下： 作BM⊥AF于点M，作DN⊥AF交AF的延长线于点N， ∴∠BMA＝∠N＝90°， ∴∠BAM+∠ABM＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAM+∠CAH＝90°，∠DAN+∠EAH＝90°， ∴∠ABM＝∠CAH，∠ADN＝∠EAH， ∵AH⊥CE， ∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°， 在△AMB和△CHA中， ， ∴△AMB≌△CHA（AAS）， ∴MB＝AH， 同理可证△AND≌△EHA（AAS）， ∴DN＝AH， ∴BM＝DN， 在△BMF和△DNF中， ， ∴△BMF≌△DNF（AAS）， ∴BF＝DF，MF＝NF， ∴AM＝AF﹣MF，AN＝AF+NF＝AF+MF， ∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF， ∵△AMB≌△CHA，△AND≌△EHA， ∴AM＝CH，AN＝EH， ∴CH+EH＝AM+AN＝2AF， ∵CE＝CH+EH， ∴CE＝2AF， 即BF＝DF，CE＝2AF． 【变式2-1】如图，在中，，，．点从点出发沿的路径向终点运动，点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，设点的运动时间为．在某时刻，分别过点和作于点，于点． (1)如图1，当，且点在上，点在上时， ①用含的式子分别表示和：________，________． ②当时，与全等吗？请说明理由． (2)当时，与有没有可能全等？若有可能，直接写出符合条件的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)① ②全等，理由见解析 (2)有可能，的值为1或3.5或12 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论． （1）①由题意得：：，，即可得出答案；②由证明即可； （2）分三种情况：①当点P在上，点Q在上时，则，，得；②当点P与点Q重合，与全等，然后计算出t的值即可；③当点Q到点A时停止，点P运动到上时，，即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得：，， 则，， 故答案为：； ②当时，与全等，理由如下： 当时，，， ∴， ∵， ∴， 又∵于E，于F， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）当时，与有可能全等，分三种情况： ①当点P在上，点Q在上时，，如图1所示：    则， ∴， 解得：； ②如图2所示：    ∵点P与点Q重合， ∴与全等， ∴， ∴． 解得：． ③当点P在上，点Q到点A时，，如图3所示：    则， ∴， ∴， 即满足条件的t值为或或． 【变式2-2】（1）观察理解： 如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB． （2）理解应用： 如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点． （3）类比探究： ①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______； ②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1 【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS证得△AEC≌△CDB，即可； （2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，从而得到EM=GN，可得到△EMI≌△GNI，从而得到EI=IG，即可求证； （3）①由（1）得：△AEC≌△CDB，可得CE=BD，AE=CD，即可；②过点C作CP⊥AD交AD延长线于点P，过点E作EQ⊥AD交AD延长线于点Q，根据旋转的性质可得根据题意得：∠CDE=90°，CD=DE，再由（1）可得△CDP≌△DEQ，从而得到DP=EQ，然后根据两平行线间的距离，可得AP=BC，进而得到PD=1，即可求解． 【详解】（1）证明：∵BD⊥l，AE⊥l， ∴∠AEC＝∠BDC＝90°， 又∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， 在△AEC和△CDB中， ∴△AEC≌△CDB（AAS）； （2）证明：分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N， 由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA， ∴EM＝AH，GN=AH， ∴EM=GN， 在△EMI和△GNI中， ∴△EMI≌△GNI（AAS）； ∴EI=IG， 即I是EG的中点； （3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB， ∴CE=BD，AE=CD， ∵ED=CD-CE， ∴ED=EA－BD ； 故答案为：ED=EA－BD ②如图，过点C作CP⊥AD交AD延长线于点P，过点E作EQ⊥AD交AD延长线于点Q， 根据题意得：∠CDE=90°，CD=DE， 由（1）得：△CDP≌△DEQ， ∴DP=EQ， 直角梯形ABCD中，，AB⊥BC， ∴AB⊥AD， ∴AB∥CP， ∴BC⊥CP， ∵BC=3， ∴AP=BC=3， ∵AD=2， ∴DP=AP-AD=1， ∴EQ=1， ∴△ADE的面积为． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，平行间的距离，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，平行间的距离，并利用类比思想解答是解题的关键． 【变式2-3】【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析； 【分析】（1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则 ． （3）①过点作于，过点作交的延长线于． 图3 由【模型呈现】可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ． ②由①可知，，， ， ， ， ， 由①得 ， ， ， ， ． 类型三、“K”型图与平面直角坐标综合 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上． （1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是________； （2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值． 【答案】（1）点C的坐标是；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据偶次幂的非负性以及算术平方根的非负性得出的值，过点作轴于点，然后证明，进而得出结论； （2）过点E作轴于点M，根据题意证明，在和中，根据三角形内角和定理可得结论； （3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，先证明可得BK＝BF＝b＋2，然后证明Rt△DAH≌Rt△DAK可得BK＝c＋a−2，进一步可得结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴, ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴, ∴， ∴点C的坐标是； （2）证明：过点E作轴于点M，依题意有， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又，即， ∴， ∴， 即，又，设与相交于点N， ∴在和中， ，， ∴； （3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K， 则DF＝DH＝2， ∵BD平分∠ABO，DF⊥y轴，DK⊥BA， ∴DF＝DK＝2， ∵，,， ∴, ∴DF＝DH＝DK，BK＝BF＝b＋2， 在Rt△DAH和Rt△DAK中， ， ∴Rt△DAH≌Rt△DAK（HL） ∴AK＝AH＝a−2， ∴BK＝c＋a−2， ∴c＋a−2＝b＋2， ∴a−b＋c＝4． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，偶次方与算术平方根的非负性的性质，根据题意构建出全等三角形是解本题的关键． 【变式3-1】（2022秋•葫芦岛期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限． （1）如图1，求点B的坐标； （2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM； （3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度． 【答案】（1）（3，﹣2）； （2）证明见解析； （3）． 【解答】（1）解：如图1，过B作BF⊥x轴于F， 则∠BFC＝90°， ∵点A（0，5），点C（﹣2，0）， ∴OA＝5，OC＝2， ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC，∠ABC＝45°，∠FCB+∠OCA＝90°， ∵∠COA＝90°， ∴∠OAC+∠OCA＝90°， ∴∠OAC＝∠FCB， ∵∠COA＝∠BFC＝90°， ∴△CFB≌△AOC（AAS）， ∴FB＝OC＝2，FC＝OA＝5， ∴OF＝FC﹣OC＝5﹣2＝3， ∴点B的坐标为（3，﹣2）； （2）证明：如图2，过B作BE⊥BC交x轴于E， 则∠CBE＝90°＝∠ACM， 由（1）得：BC＝CA，∠ECB＝∠MAC， ∴△BCE≌△CAM（ASA）， ∴CE＝AM，BE＝CM， ∵BN＝CM， ∴BE＝BN， ∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠DBE＝∠DBN＝45°， 又∵BD＝BD， ∴△BDE≌△BDN（SAS）， ∴DE＝DN， ∵CD+DE＝CE， ∴CD+DN＝CE， ∴CD+DN＝AM； （3）解：CP的长度不变化，CP＝，理由如下： 如图3，过E作EG⊥x轴于G， 则∠EGC＝90°＝∠COA， ∴∠GEC+∠GCE＝90°， ∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE＝90°， ∴CE＝AC，∠GCE+∠OCA＝90°， ∴∠GEC＝∠OCA， ∴△GEC≌△OCA（AAS）， ∴GC＝OA＝5，GE＝OC， ∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF＝90°， ∴OC＝CF，∠FCP＝90°， ∴GE＝CF，∠EGP＝∠FCP， 又∵∠EPG＝∠FPC， ∴△EPG≌△FPC（AAS）， ∴GP＝CP＝GC＝． 【变式3-2】问题背景：（1）如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，请直接写出BD、CE、DE的数量关系． 拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系，并说明理由． 实际应用：（3）如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），求B点的坐标． 【答案】（1）BD+CE＝DE； （2）BD+CE＝DE，理由见解析； （3）（1，4）． 【解答】解：（1）BD+CE＝DE，理由如下： ∵BD⊥AD， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴BD+CE＝AE+AD＝DE； （2）BD+CE＝DE，理由如下： 在△ABD中，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD， ∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD，∠BDA＝∠BAC， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴BD+CE＝AE+AD＝DE； （3）如图③，过A作AE⊥x轴于点E，过BBF⊥x轴于点F， ∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3）， ∴OC＝2，OE＝6，AE＝3， ∴CE＝OE﹣OC＝6﹣2＝4， 由（1）可知，△AEC≌△CFB（AAS）， ∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝4， ∴OF＝CF﹣OC＝3﹣2＝1， ∴点B的坐标为（1，4）． 【变式3-3】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD． （1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD． ①求证：AC＝OD； ②求D点坐标． （2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度． 【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形， ∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°， ∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O， ∴∠OBD＝∠CBA， ∴△OBD≌△CBA（SAS）， ∴AC＝OD； ②如图一、 ∵A（4，0），B（0，﹣3）， ∴OA＝4，OB＝3， 过点D作DF⊥y轴于F， ∴∠BOA＝∠DFB＝90°， ∴∠ABO+∠OAB＝90°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠ABO+∠FBD＝90°， ∴∠OAB＝∠FBD， ∵AB＝BD， ∴△AOB≌△BFD（AAS）， ∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4， ∴OF＝OB+BF＝7， ∴D（3，﹣7）； （2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F， 则∠DFB＝90°＝∠CBF， 同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS）， ∴DF＝OB，BF＝OA＝4， ∵OB＝BC， ∴BC＝DF， ∵∠DEF＝∠CEB， ∴△DEF≌△CEB（AAS）， ∴BE＝EF， ∴BF＝BE+EF＝2BE＝4， ∴BE＝2． 【变式3-4】在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，A（0，a），B（b，0）．    （1）如图1，若+（a-2）2=0，求△ABO的面积； （2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE； （3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ． 【答案】（1）△ABO的面积=4；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算； （2）作AF平分∠BAC交BD于F点，分别证明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质证明； （3）过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，证明△ACM≌△BAO，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案． 【详解】解：（1）∵+（a-2）2=0， ∴2a-b=0，a-2=0， 解得，a=2，b=4， ∴A（0，2），B（4，0）， ∴OA=2，OB=4， ∴△ABO的面积=×2×4=4；    （2）作AF平分∠BAC交BD于F点， ∵AB=AC，∠CAB=90°， ∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°， ∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°， ∴∠CAE=∠ABF， 在△ACE和△BAF中， ， ∴△ACE≌△BAF（ASA）， ∴CE=AF， 在△CED和△AFD中， ， ∴△CED≌△AFD（SAS） ∴∠CDE=∠ADB； （3）过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点， 则∠AMC=∠BOA=90°， ∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠CAM=∠ABO， 在△ACM和△BAO中， ， ∴△ACM≌△BAO（AAS）， ∴CM=AO=2，AM=BO=4， ∵A（0，2），P（0，-6）， ∴AP=8， ∴PM=AP-AM=4， 在△PCM和△QPN中， ， △PCM≌△QPN（AAS）， ∴NQ=PM=4， ∴四边形ONQB为平行四边形， ∴AP∥BQ．    【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，非负数的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 类型四、“手拉手”模型 【典例4】如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由(2)知△ABM≌△ACN， ∴AM=AN， ∵∠CAN=60°， ∴△AMN是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键． 【变式4-1】如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证； （2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案； （3）作于点于点，证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ， ， 即， ≌； （2）解：≌， ， ， ； （3）证明：如图，作于点于点， ， ， ，， ， ， ， 平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式4-2】如图，在和中，，，若，连接、交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)如图(2)，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 又∵，， ∴ （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形 ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，或 【变式4-3】如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出； （2）由得：，再根据，，得，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形是性质、三角形全等的判定与性质等知识，证明出是解题的关键． 【变式4-4】已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 【答案】(1)见解析 (2)①②；的度数会变化，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案； ②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出． 【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①在上取一点E，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； ②的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得，如图所示： 同理①的方法可证：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键． 【变式4-5】如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)BD＝AC，BD⊥AC，理由见解析 (2)不发生变化．理由见解析 (3)①BD＝AC；②能，BD与AC所成的角的度数为60°或120° 【分析】（1）可以证明△BDE≅△ACE，推出BD=AC ，BD⊥AC； （2）如图2中，不发生变化，只要证明△BED ≅△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE ，由∠DEC＝90°，推出∠ACE+∠EOC＝90°，因为∠EOC＝∠DOF，则∠BDE+∠DOF＝90°，可知∠DFO＝180°-90°＝90°，即可証明 ； （3）①如图3中，结论：BD＝AC，只要证明 △BED≅△AEC即可； ②能；由△BED≅△AEC可知，∠BDE＝∠ACE，推出 ∠DFC＝180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°-（60°+60°）＝60°， 即可解决问题． 【详解】（1）解：BD＝AC，BD⊥AC，理由如下， 延长BD交AC于F，如图所示， ∵AE⊥BC， ∴∠BED ＝∠AEC＝90°， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE， ∵∠BED＝90°， ∴∠EBD+∠BDE＝90°， ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF+∠CAE＝90°， ∴∠AFD＝180°-90°＝90°， ∴BD⊥AC； （2）不发生变化，理由如下：如图所示，DE与AC交于点O，BD与AC交于点F， ， ∵∠BEA＝∠DEC＝90°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE， ∵∠DEC＝90°， ∴∠ACE+∠EOC＝90°， ∵∠EOC＝∠DOF， ∴∠BDE+∠DOF＝90°， ∴∠DFO＝180°-90°＝90°， ∴BD⊥AC； （3）①如图3中，结论：BD＝AC， 理由如下： ∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴BD＝AC． ②能，∵△ABE和△DEC是等边三角形， ∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中， ∵， ∴△BED≌△AEC（SAS）， ∴∠BDE＝∠ACE， ∴∠DFC＝180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF） ＝180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF） ＝180°-（60°+60°） ＝60°， 即BD与AC所成的角的度数为60°或120°． 【点睛】本题考查几何变换综合题，等腰直角三角形的性 质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和 性质，学会利用“8字型”证明角相等． 【变式4-6】（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．证明见解析 【分析】（1）延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题； （2）由△ACE≌△BCD，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴AC=BC，CD=CE， ∴∠ACE=∠BCD， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD， ∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH， ∴∠BOH+∠CBD=90°． ∴∠AHB=90°， ∴AE⊥BD． 故答案为AE=BD，AE⊥BD； （2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD， 理由如下：如图2中， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠CDE=∠CED=45°， ∴∠AEC=180°-∠CED=135°， 由（2）可知：△ACE≌△BCD， ∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°， ∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°； 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， ∴CM=DM=ME， ∴DE=2CM， ∴AD=DE+AE=2CM+BD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 类型五、“对角互补”模型 【典例5】如图，在四边形中，于M，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先作辅助线，证明，再证明，最后用邻补角的定义和等量代换即可证明； （2）利用（1）中三角形全等，得出相等线段，再等量代换即可． 【详解】（1）证明：如图，过C点作，交的延长线于E点． ∵，， ∴， 在和中， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴． （2）由(1)知， ， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，通过添加辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 【变式5-1】已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是 ． 【答案】5 【分析】过D作，，交延长线于F，然后根据全等三角形的性质和角直角三角形的性质即可求解． 【详解】过D作，，交延长线于F， ∵AD平分，，， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形． 【变式5-2】如图，四边形中，平分，于点，．求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】如图所示（见详解），过点作的延长线于，平分，于点，可证，，可求出，可证，则有，，由此即可求证． 【详解】解：如图所示，过点作的延长线于， ∵平分，， ∴，为公共边， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴在，中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，本题难点在于要进行二次全等证明． 类型六、“半角”模型 【典例6】在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明； 【答案】(1)见解析 (2) (3)成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）在上方作，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （3）延长到，使，连接，证明和，得到答案； 【详解】（1）在上方作，使，连接， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ∴共线 ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 添加辅助线：在上方作，使，连接，成功了； （2）延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 故答案为：； （3）结论仍然成立， 证明：延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【变式6-1】问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是________． 探索延伸： （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，判断上述结论是否仍然成立，并说明理由． 实际应用： （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为．试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等； 问题背景：延长到点，使，连接，证明，在证明，得出，得到答案； 探索延伸：连接，延长相交于点，利用全等三角形的性质证明． 实际应用：如图3，连接，延长相交于点，首先证明，，利用结论求解即可． 【详解】解：（1）由题意： ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． （2）仍然成立． 理由：如图1，延长到点G，使，连接． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 图1 （3）如图2，连接，延长，相交于点C． ∵，， ∴． ∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 1．如图，在中，，，点是外部一点，连结，作，，垂足分别为点， (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的关系可得，，由“角角边”即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴，， 在中，， ∵,， ∴的长为． 2．已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)不成立． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． 在与中，， ∴， ∴， ∴． （2）不成立．． 理由：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 3.（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【详解】解：（1）如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 4．在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)试说明：； (2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论； (3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）． 【答案】(1)见讲解； (2)； (3)． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，同角的补角相等，平角的定义，熟练掌握以上知识点，找到条件证明三角形全等是解题的关键． （1）由同角的补角相等，结合题目给出的边相等，证明，由全等三角形的对应边相等，得证； （2）结合（1），证明； （3）结合（1），证明． 【详解】（1）， ， （2）猜想： 由（1）可知， ，， ， 得证； （3）当成立 由（1）可知， ，， ， 得证． 5．如图：在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） (2)如图，若在四边形中，，，分别是、上的点，且，（）中结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图，在四边形中，，，分别是边、延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)（）中的结论仍然成立，证明见解析； (3)结论不成立，结论：；证明见解析． 【分析】（）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （）（）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （）结论不成立，结论：．如图中，在上截取，使，连接，证明和即可求证； 本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：（）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）解：结论不成立，结论：． 证明：如图中，在上截取，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 7．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 ； （填“＞”，“＜”或“=”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； (2)如图3，若直线经过的外部，，请写出三条线段、、的数量关系的合理猜想 （不要求证明）． (3)拓展应用：如图④，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，与的面积之和是 ． 【答案】(1)①=，=；② (2) (3)6 【分析】（1）①求出，，根据证，推出，即可得出结果； ②求出，由证，推出，即可得出结果； （2）求出，由证，推出，即可得出结果； （3）由，的面积为，可求出的面积为6，再由证得，得出与的面积之和等于的面积，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：=，=； ②添加一个关于与关系的条件：，理由如下： 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：三条线段、、的数量关系的合理猜想为：，理由如下： ∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵的面积为，， ∴ ∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， 即， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、线段的和差关系，三角形的面积计算、三角形的外角性质等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型． 8．在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，其中点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，交轴负半轴于点． (1)如图，点的坐标是，点的坐标是，直接写出点的坐标为________； (2)如图，交轴负半轴于点，连接，交于点． 求证：； 求证：点是的中点． 【答案】(1)； (2)见解析；见解析． 【分析】（）过点作轴于点，证明，可得，，可得结论； （）证明，可得结论； 过点作，过点作，利用三次全等解决问题即可． 【详解】（1）如图，过点作于点， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴, ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 如图，过点作于点，过点作 于点， ∵， ∴，, ∴， 在和中， ， ∴, ∴， 同理可证， ∴， ∴, 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，且是直角． (1)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第三象限，且，求点C的坐标． (2)若点A的坐标为，点B的坐标为，，点P为y轴正半轴上一动点，连接交x轴于点E，点F是点E关于y轴为对称轴的对称点连接且延长交于点D，连接交于点G．点P在运动过程中是否存在，若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由（提示：作的平分线交于点H）． (3)若点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，是否存在为定值，若存在，请求出这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C点的坐标为 (2)存在点P，使，理由见解析 (3)存在为定值，其定值为 【分析】（1）过点C作轴于点M，可证明，进而求得结果； （2）作的平分线交于H，先证明，从而，进而证明，进一步得出结论； （3）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为N,K，可得△ACN≌△ABK，进而得出结果． 【详解】（1）过点C作轴于点M． ∵是直角， ∴ ∵轴， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∴C点的坐标为 （2）存在点P，使． 理由：作的平分线交PC于H． ∵，， ∴， ∵E，F关于y轴对称， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）存在为定值，其定值为． 过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为N、K． ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴存在为定值，其定值为． 【点睛】本题考查了直角坐标系中点的坐标与线段长之间的关系，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是利用等腰直角三角形构造全等三角形． 10． (1)如图（1），在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．求的值； (2)将直角三角形绕点P逆时针旋转，如图（2）两直角边与坐标轴交于点A和点B，求的值． (3)在图（2）的基础上，由点P引-条射线，如图（3），过点A作，过点B作，垂足分别为M，N，猜想之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)12 (2)12 (3) 【分析】（1）如图1，过作轴于轴于，则，求出，根据推出，即可得出答案； （2）如图 2，过作轴于轴于，求出，根据全等得出，求出，代入求出即可； （3）求出，根据全等得出即可证出； 【详解】（1）如图1，过作轴于轴于，    则， 在和中 （2）如图2，过作轴于轴于N，    则， 在和中 （3）， 则， ， 在和中 ， ； 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线并求出是解此题的关键 11．（1）问题背景． 如图1，在四边形中，，，、分别是线段、线段上的点．若，试探究线段、、之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明．再证明，可得出结论，他的结论应是____________． （2）猜想论证． 如图2，在四边形中，，，在线段上、在线段延长线上．若，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．      （3）拓展应用． 如图3，在四边形中，，，AD平分，，，且，求四边形的面积．    【答案】（1）；（2）结论不成立，结论：；（3）四边形的面积为21． 【分析】（1）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么； （3）如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，于．证明四边形是正方形即可解决问题． 【详解】解：延长到点．使，连接，     ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）结论不成立，结论：； 理由如下：证明：如图2中，在上截取，使，连接．     ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ， ， ． ， ． ． （3）如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，于．      ∵，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ，， ， ，，， ，， ， ，， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ． 故答案为：21． 【点睛】本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$