第07讲 热点题型精讲—全等三角形-2024-2025学年苏科版八年级数学上册同步培优

苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第07讲 热点题型精讲—全等三角形 · 学习目标 1. 掌握全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算； 2. 掌握三角形全等的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）的综合应用； · 思维导图 · 知识详解 知识点1：全等三角形的性质 文字语言 图形语言 符号语言 对应边相等， 对应角相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 知识点2：全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 知识点3：常考的全等几何模型 模型 基本图形 平移型 轴对称型 旋转型 倍长中线型 一线三等角型 手拉手型 · 典型例题 题型1 平移全等模型问题 如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 题型2 旋转全等模型问题 如图，已知， (1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） (2)选择（1）中的一种情况进行证明． 题型3 轴对称全等模型问题 在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．（只填序号） 问题：已知：如图，、相交于点O．且 ， ，求证： ． 题型4 倍长中线型 小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现． 请根据小雨的探究过程，解答下面的问题． 如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明． 题型5 一线三等角型全等问题 如图，，，于点，于点，其中． （1）若，，求的长； （2）连接，取的中点为，连接，，判断的形状，并说明理由． 题型6 手拉手型全等问题 如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． · 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．如图，，若，，则（    ） A． B． C． D． 第1题 第2题 2．如图，，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）． A． B． C． D． 第3题 第4题 4．如图，已知，点A在线段上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，厘米，，厘米，点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（秒）．设点Q的运动速度为v厘米/秒，如果与全等，那么v的值为（   ） A．2 B．3 C．2或 D．1或3 6．如图，点、、、在同一条直线上，且，下列判断错误的是 （    ） A． B． C． D． 第6题 第7题 7．如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．3 8．如图，在中，，垂足分别为D，E，与交于点F，已知，则的长是（    ） A． B．1 C． D．2 二、填空题（本大题共10小题） 9．如图，在和中，，则 ． 第9题 第10题 10．如图，已知，要使，可以添加一个条件是 ．（只填一种情况即可） 11．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）． 第11题 第12题 12．如图，，为的中点，若，，则 ． 13．在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 第13题 第14题 14．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长是 ． 15．如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙、，其中木块墙＝，＝．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离 ． 第15题 第16题 16．如图，在中，延长到E，使得，连接，过点A作，且．连接与的延长线交于D点，则的长为 ． 17．如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 第17题 第18题 18．如图，、相交于点E，点F在线段的延长线上，平分，，，，若，，则的长度为 ． 三、解答题（本大题共10小题） 19．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 20．如图，已知线段，相交于点E，连接，，，． (1)请你添加一个条件，使得与全等，并且写出证明过程． (2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由． 21．如图，在中，，，点在线段上运动（与、不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，________°，_______°；点从向的运动过程中，逐渐变________（填“大”或“小”）． (2)当等于多少时，？ (3)在点的运动过程中，什么时候与的长度相等？求出此时的度数． 22．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 23．如图， ，，．求证：． 以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 24．如图所示，，都是等边三角形，与相交于点O，连接并延长交于点G． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)求证：或． 25．如图，是AB中点，平分． (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 26．如图，，于点D，，平分交于点F． (1)求证： (2)直接写出图中所有全等三角形（除外）． 27．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充证明（1）中“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点E，使． （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是___________； 【小结】将上面题中“，”改为，，且”，则的取值范围是__________（用m，n的代数式表示） 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 28．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第07讲 热点题型精讲—全等三角形 · 学习目标 1. 掌握全等三角形的性质，并能进行简单的推理和计算； 2. 掌握三角形全等的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）的综合应用； · 思维导图 · 知识详解 知识点1：全等三角形的性质 文字语言 图形语言 符号语言 对应边相等， 对应角相等； 全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等． 知识点2：全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 知识点3：常考的全等几何模型 模型 基本图形 平移型 轴对称型 旋转型 倍长中线型 一线三等角型 手拉手型 · 典型例题 题型1 平移全等模型问题 如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 题型2 旋转全等模型问题 如图，已知， (1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） (2)选择（1）中的一种情况进行证明． 【答案】(1)②或③（任选一个填即可） (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；分析条件，可得一边与一角对应相等，若用判定，则选择②；若用判定，则选择③，从而可完成两问的解答． 【详解】（1）解：②或③（任选一个填即可） （2）选择② 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； 选择③ 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； 题型3 轴对称全等模型问题 在，，这三个条件中，选择其中两个作为条件，一个作为结论补充在下面的问题中，并完成解答．（只填序号） 问题：已知：如图，、相交于点O．且 ， ，求证： ． 【答案】①；②；（答案不唯一） 【分析】观察图形，对于和来说，是公共边，即，选①和②，可以通过来证明，即可作答． 【详解】解：已知：如图，、相交于点O．且，，求证． ∵，，， ∴．（答案不唯一） 题型4 倍长中线型 小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现． 请根据小雨的探究过程，解答下面的问题． 如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了倍长中线法证明三角形的全等，根据延长到点，使得，连接，得出，且结合是的中线，得，证明，再通过等边对等角以及角的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接． ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 题型5 一线三等角型全等问题 如图，，，于点，于点，其中． （1）若，，求的长； （2）连接，取的中点为，连接，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE=13；（2）△QEF为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）利用AAS证出△BCE≌△CAF，可得CE=AF=5，BE=CF，求出CF即可求出BE的长； （2）根据平行线的判定证出BE∥AM，然后利用AAS证出△BEQ≌△AMQ，从而得出BE=AM，EQ=MQ，证出△FME为等腰直角三角形，然后根据三线合一和等腰三角形的判定即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴∠BEC=∠F=90° ∴∠BCE＋∠ACF=90°，∠A＋∠ACF=90° ∴∠BCE=∠A 在△BCE和△CAF中 ∴△BCE≌△CAF ∴CE=AF=5，BE=CF ∴CF=CE＋EF=13 ∴BE=13 （2）△QEF为等腰直角三角形，理由如下 延长AF、EQ交于点M，如下图所示 ∵∠BEF=∠AFC=90° ∴BE∥AM，∠MFE=180°－∠AFC=90° ∴∠EBQ=∠MAQ，∠BEQ=∠M 在△BEQ和△AMQ中 ∴△BEQ≌△AMQ ∴BE=AM，EQ=MQ ∵CE=AF，BE=CF ∴AM=CF ∴AM－AF=CF－CE ∴FM=FE ∴△FME为等腰直角三角形 ∴FQ⊥ME，∠QEF=45° ∴△QEF为等腰直角三角形 题型6 手拉手型全等问题 如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． （1）求证：EB＝DC； （2）若∠ADC＝115°，求∠BED的度数． 【答案】（1）见解析；（2）50° 【分析】（1）根据旋转的性质，可得AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°，从而得到∠BAE=∠CAD，可证得△BAE≌△CAD，即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得∠BEA=∠ADC=115°，再由等腰三角形的性质，可得 ，即可求解． 【详解】证明（1）∵将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合， ∴AD=AE，∠DAE=∠BAC＝50°， ∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD， ∵AB=AC， ∴△BAE≌△CAD， ∴EB=DC； （2）∵△BAE≌△CAD， ∴∠BEA=∠ADC=115°， ∵∠DAE=50°，AD=AE， ∴ ， ∴∠BED=∠BEA-∠AED=115°-65°=50°． · 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．如图，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形对应边相等、对应角相等是解题的关键． 首先计算出的度数，再根据全等三角形的性质可得，，根据等边对等角可得，进而可得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 2．如图，，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“全等三角形对应角相等，对应边相等”依次判断即可． 本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 故A选项正确； ∵中，， ， ， ∴， 故B选项正确； ∵中，， ， ， ， ， ∴， 故C选项正确； ∵， ， ， 故D选项错误． 故选：D 3．如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，根据全等三角形的性质可得，，然后求出，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可，熟记各性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【详解】解： ， ，， ， 在中，， ， ， ， 整理得， 故选：D． 4．如图，已知，点A在线段上，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的性质求得，最后根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】，， ， ， ，， ， ． 故选C． 5．如图，厘米，，厘米，点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（秒）．设点Q的运动速度为v厘米/秒，如果与全等，那么v的值为（   ） A．2 B．3 C．2或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，分情况讨论，当时，当时，，，再根据时间、路程、速度之间的关系即可求解． 【详解】解：分两种情况： 当时，可得：， ∵运动时间相同， ∴P，Q的运动速度也相同， ∴． 当时，，， ∴， ∴， ∴， 综上可知，v的值为2或， 故选C． 6．如图，点、、、在同一条直线上，且，下列判断错误的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．根据全等三角形的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：， ，，，， ，， 故A、C、D正确，B错误， 故选：B． 7．如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：∵，是的高线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，在中，，垂足分别为D，E，与交于点F，已知，则的长是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先利用等角的余角相等得到，则可根据证明，则，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题） 9．如图，在和中，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的两锐角互余得到，结合题意利用证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 10．如图，已知，要使，可以添加一个条件是 ．（只填一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． 由题意可得，又因为是公共边，添加，即可得出． 【详解】由题意得，， ， （AAS） 故答案为：． 11．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动时间为 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（）． 【答案】6或12或18 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质是解题关键． 此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， ∴的运动时间为秒； ②当在线段上，时，， 这时，因此时间为0秒（舍去）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为(秒)； ④当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为(秒)， ∴点的运动时间为6或12或18． 故答案为：6或12或18． 12．如图，，为的中点，若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定及性质，先根据平行线的性质求出，再由可求出，根据全等三角形的性质即可求出的长，再由即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 13．在中，、是高，、相交于，，连接，，的面积为7．则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形面积计算，先证明得到；；如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H，则可证明得到，根据三角形面积公式得到，进而得到，由此求解即可． 【详解】解：∵在中，、是高， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，，于点E，于点D，，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，再根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 15．如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙、，其中木块墙＝，＝．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； ，， ， 即：两堵木墙之间的距离为． 故答案为：． 16．如图，在中，延长到E，使得，连接，过点A作，且．连接与的延长线交于D点，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查了全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作，交的延长线于点，可证明，得，因为，所以以，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，交的延长线于点， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 17．如图，锐角 的面积为10， 的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】4 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接ME， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，BE取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为4， 故答案为：4． 18．如图，、相交于点E，点F在线段的延长线上，平分，，，，若，，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 在上截取，连接，首先证明出，得到，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】在上截取，连接 ∵平分， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：2． 三、解答题（本大题共10小题） 19．如图，于E，交的延长线于点F． (1)求证：平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理，证明是解题的关键． （1），则，根据角平分线的判定即可得到结论； （2）由（1）可得，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴平分； （2）解：由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 20．如图，已知线段，相交于点E，连接，，，． (1)请你添加一个条件，使得与全等，并且写出证明过程． (2)在（1）的条件下，当时，猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)或或（答案不唯一，任意写一种即可），证明见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定 ，等腰三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定和等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，，求解即可； （2）根据，得，从而得到，再证明，即可由等边三角形的判定得出结论． 【详解】（1）解：添加的条件：或或（答案不唯一，任意写一种即可） 证明：如图， 在和中， ； 在和中， ； 在和中， ； （注：答案不唯一，任意写一种即可） （2）解：由（1）得：， ， ， ， 为等边三角形． 21．如图，在中，，，点在线段上运动（与、不重合），连接，作，交线段于点． (1)当时，________°，_______°；点从向的运动过程中，逐渐变________（填“大”或“小”）． (2)当等于多少时，？ (3)在点的运动过程中，什么时候与的长度相等？求出此时的度数． 【答案】(1)20；120；小 (2)当时， (3)能； 【分析】（1）现根据邻补角的定义，得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理，得到，，又因为点从向的运动过程中，逐渐增大，所以逐渐变小； （2）利用三角形内角和定理，得到，根据平角的性质，得到，进而得到，再根据“”证明，即可得到答案； （3）根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得出，由三角形外角的性质，得到，进而得到，最后利用邻补角，即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， 点从向的运动过程中，逐渐增大， 逐渐变小； 故答案为：20；120；小； （2）解：当时，，理由如下： ， ， 又，， ， ， 当时， ， ， 在和中， ， ， 即当时，； （3）解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下： ， ， ， ， ，， ， ， ． 22．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明； （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，，根据全等三角形的性质可得，利用三角形面积公式可得，即可证明． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； （2）∵， ，， 又，， ， ， 即． （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即点A到边，所在直线的距离相等． 23．如图， ，，．求证：．    以下是合作小组三名同学关于此题的讨论： 小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘’证明两个三角形全等，从而得到．” 小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明．” 看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明． 【答案】见解析 【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； ①根据垂线的知识可得，在结合证明，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接，根据直角三角形的，证明，即可得出结论；③连接，证明，可得，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接，证明，得，，在利用证明，得出结论． 【详解】小丽方法： ，， ． 在和中， ，． ，即． 小颖方法： 连接． ，，， ． 在和中， ． ． 小雨方法： 连接． ， ． 在和中， ， ， ．即． 又，， ， ， ．    方法4：连接，    ，， ． 在和中， ，， ， 在和中， ， ． 24．如图所示，，都是等边三角形，与相交于点O，连接并延长交于点G． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)求证：或． 【答案】(1)； (2)证明详见解析． (3)证明详见解析． 【分析】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题； （1）由可以得到，再利用三角形内角和定理即可求解． （2）根据全等三角形对应边相等，面积相等，利用等面积法可以证明点A到和边的高相等，则平分，从而平分． （3）用截长补短法把几条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系． 【详解】（1），都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ，． ． （2）证明：过点A作于点M，于点N，如图所示． ， ，， ， ， 点A在的平分线上， ． 又∵，， ， 平分． （3）证明：结论：， 理由：在OD上截取，连接，如图所示． 由（1）（2）得，且， ， 是等边三角形， ，， ． 又， ， ． ． 25．如图，是AB中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，    ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2）解：如图：在上截取，连接．   平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 26．如图，，于点D，，平分交于点F． (1)求证： (2)直接写出图中所有全等三角形（除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定等知识点，由等腰三角形的性质得到，由角平分线定义得到，因此，然后根据即可证明结论； （2）本题主要考查了全等三角形的判定，由全等三角形的判定定理进行判断即可解答；灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，于点D， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中所有全等三角形有：，，，． 27．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充证明（1）中“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点E，使． （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是___________； 【小结】将上面题中“，”改为，，且”，则的取值范围是__________（用m，n的代数式表示） 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1）见详解（2）[小结] [问题解决]8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）运用证明，即可作答． （2）由（1）得出，再结合三角形的三边关系列式，进行化简，即可作答． [小结]与（2）同理，结合三角形的三边关系列式，进行化简得出。即可作答． [问题解决] 延长交于点F，得证结合得出是的垂直平分线，即可作答． 【详解】解：（1）如图： 延长   到点E，使    ． 因为D是 的中点 所以 在和中， ， （2）由可得：，， ， 即， ； [感悟]同理可得：上面题中“，”改为，，且”， 则的取值范围是； 故答案为： ； [问题解决] 如图3，延长交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是的垂直平分线， ∴ 28．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，容易发现： ①的度数为_______； ②线段、之间的数量关系为_______； 【类比探究】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接，试判断的度数以及线段、之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（3）如图3，，，，，则的值为_______． 【答案】（1）①；②；（2），，见解析；（3）2 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②由，根据全等三角形的性质证明结论； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）如图3，作辅助线构建全等三角形，由“”可证，可得，，可求，根据列方程可得x的值，最后由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：①；②； （2）， 理由如下：∵，和均为等腰直角三角形， ∴，，， ， 即， 在和中， ， ∴（）， ∴，； ； （3）如图3，过点C作，交的延长线于F，过点B作于E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，，， ∴ ∴， ∴，，， ∴在中，． 故答案为：2． 学科网（北京）股份有限公司 $$