上册 微素养·专题突破7 垂径定理的应用-【精彩练习】2024-2025学年九年级全一册数学同步评价作业教师用书课件PPT（浙教版）

第3章　圆的基本性质 九年级·上册 微素养·专题突破 七 垂径定理的应用 1 类型1　构造直角三角形计算 【例1】 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(　　) 【解析】 如图，过点O作OH⊥CD于点H，连结OC. ∵OH⊥CD，∴CH＝DH. ∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8， C 类型1　构造直角三角形计算 类型1　构造直角三角形计算 【变式】 如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D，且OD＝DC.P为⊙O上任意一点，连结PA，PB，若⊙O的半径为 ，则S△PAB的最大值为(　　) A 类型1　构造直角三角形计算 类型2　垂径定理在证明中的应用 类型2　垂径定理在证明中的应用 ∵OM＝ON，∴∠M＝∠N， ∴∠PEM＝∠QFN. 又∵∠AEF＝∠PEM，∠AFE＝∠QFN， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形． 类型2　垂径定理在证明中的应用 【变式】 如图，M，N分别是⊙O的弦AB，CD的中 点，AB＝CD.求证：∠AMN＝∠CNM. 证明：如图，连结OM，ON. ∵点O为圆心，M，N分别为弦AB，CD的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥CD. ∵AB＝CD，∴OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM. ∵∠AMN＝90°－∠OMN，∠CNM＝90°－∠ONM，∴∠AMN＝∠CNM. 类型3　常用辅助线：连半径，作弦心距 【例3】 如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦 AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的半 径为______．   【变式】 如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)， N(0，－10)，反比例函数y＝ (x<0)的图象过点P，则k 的值为______． 20 28 ——跟踪巩固训练—— D ——跟踪巩固训练—— 2．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是(　　) C ——跟踪巩固训练—— 3．如图所示，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，则BC的值为(　　) D ——跟踪巩固训练—— 4．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.已知AB＝8，CD＝2.则CE的长为(　　) B ——跟踪巩固训练—— ——跟踪巩固训练—— ——跟踪巩固训练—— 5．如图，平面直角坐标系中有一点A(4，2)，在以M(0，3)为圆心，2为半径的圆上有一点P，将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，则点P的坐标是_______________________． ——跟踪巩固训练—— 6．已知：如图，在⊙O中， .求证：弦AB∥CD. ——跟踪巩固训练—— 7．已知吃刀深度h为2 mm时，能在直径 是d(mm)的轴上铣出宽40 mm的一块平面 (如图). (1)求d的值． (2)若吃刀深度增加到4 mm，求轴上铣出平面的宽度． 解：(1)设圆心为O，过点O作OC⊥AB于点C，OC的延 长线交⊙O于点D，连结OA， ——跟踪巩固训练—— ∵OC⊥AB，AB＝40，∴AC＝BC＝20. ∵CD＝2， 设OA＝r，∴OC＝r－2， 根据勾股定理得，AC2＋OC2＝OA2， 即202＋(r－2)2＝r2， 解得r＝101， ∴直径d＝2r＝202(mm)，即直径d的值为202 mm. ——跟踪巩固训练—— 本课结束！ A． B． 2 C． 2 D． 8 ∴OA＝4，∴OP＝OA－AP＝2. 在Rt△OPH中， ∵∠OPH＝∠APC＝30°， ∴OH＝OP＝1. 在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1， ∴CH＝＝， ∴CD＝2CH＝2. A． B． C． D． 【解析】 连结OA，如图， ∵OC⊥AB，∴AD＝BD， ∵OD＝DC.∴OD＝OA＝， ∴AD＝＝，AB＝2AD＝3. 当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大， 此时PD＝PO＋OD＝＋＝， ∴△APB的面积的最大值为AB·PD＝×3×＝. 【例2】 如图，AB，AC是⊙O的两条弦，M，N分别为的中点， MN分别交AB，AC于点E，F.判断△AEF的形状并给予证明． 解：△AEF是等腰三角形． 证明：如图，连结OM，ON，分别交AB，AC于点P，Q. ∵M，N分别为的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠MPE＝∠NQF＝90°， ∴∠PEM＝90°－∠M，∠QFN＝90°－∠N. 1．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若CD＝，则AB的长为(　　) A． B． C． D． A． B． C． D． A．3 B． C． D．6 A．8 B．2 C．3 D．2 【解析】 ∵在⊙O中，OD⊥弦AB， ∴AC＝BC＝AB. ∵AB＝8， ∴AC＝BC＝4. 设OA为x，则OD＝OA＝x， ∵CD＝2， ∴OC＝x－2， 在Rt△ACO中，AC2＋OC2＝AO2， ∴42＋(x－2)2＝x2， 解得x＝5，∴OA＝5. 如图，连结BE， ∵OA＝OE，AC＝BC， ∴OC∥BE且OC＝BE， ∴∠EBA＝∠OCA＝90°. ∵OC＝OD－CD＝5－2＝3，∴BE＝6. 在Rt△ECB中，BC2＋EB2＝EC2， ∴42＋62＝EC2，∴EC＝2. (，4)或(－，4) 证明：如图，过点O作OE⊥AB， 交⊙O于点E， (2)当CD＝4时，则OC＝r－4＝97， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC， 根据勾股定理得，AC2＋OC2＝OA2， 即AC2＋972＝1012， 解得AC＝6， ∴AB＝12， ∴轴上铣出平面的宽度为12 mm. $$