第1章 专题3 二次函数的综合问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件(浙教版)

数 学 九年级全一册 ZJ 1 2 3 第1章 二次函数 4 专题3 二次函数的综合问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 动态问题 1.【2024浙江温州鹿城区调研，较难】如图，直线交轴于点，交 轴于点，抛物线经过点，，且交轴于另一点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 7 （1）写出点，， 的坐标及抛物线的表达式； 【解】，令，得，，令，得 ， 解得，.把， 两点坐标代入抛物线表达式得 解得 抛物线的表达式为 .令 ，得，解得或， 点，， 的坐 标分别为，，，抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 8 （2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标； 【解】 连结，如图（1）.设 ，则 ， 当 时，四边形面积最大，其最大值为 ， 此时的坐标为， . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 9 （3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转 得到线段，若线段 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求 的取值范围. 【解】 将线段绕轴上的动点顺时针旋转 得 到线段 ，如图（2）, ，，， . 当 在抛物线上时， ，解得；当点 在抛物线上 时，有，解得， 当 或 时，线段 与抛物线只有一个公共点. 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 10 类型2 存在性问题 2.【2024浙江杭州上城区调研，较难】如图，已知抛物线 与轴相交于，两点，与轴相交于点 ， 若已知点的坐标为 . 易错警示 （3）若 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类 讨论，逐一计算，避免漏解. 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 11 （1）求抛物线的表达式及它的对称轴； 【解】 抛物线经过点 ， ，解得， 抛物线表达式为 ， 抛物线对称轴为 直线 . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 12 （2）连结，，求点的坐标及线段 所在直线的表达式； 【解】 在中，令，得，；令 ，即 ，整理得，解得或， .设 直线的表达式为.把， 的坐标分别代入表达式， 得解得 线段所在直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使 为等腰三角形？若存在，求出 符合条件的 点坐标；若不存在，请说明理由. 【解】 存在， 抛物线的对称轴为直线， 可设点 ， ，，， . ①当时，有，即 ，解 得， ； 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 14 ②当时，有，，此方程无实数根， 此时 不能为等腰三角形； ③当时，有，整理得 ，解得 ， 点坐标为或.综上所述，存在点 使 为等腰三角形，点的坐标为或或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 15 类型3 新定义问题 3.【2024浙江宁波海曙区期中，较难】定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍， 则称这个点为“纵三倍点”.已知二次函数（ 为常数）. 思路分析 （2）由题意得，“纵三倍点”所在的直线为，将二次函数 在的图象上存在两个“纵三倍点”转化为在 内 的图象和 的图象有两个交点，求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 16 （1）若 是该二次函数图象上的一点. ①也是该二次函数图象上的一点，则 ______“纵三倍点”（填“是”或 “不是”）. 不是 【解析】 是二次函数（ 为常数）图象上的一点， ， 二次函数表达式为 也是该二次函数图象上的 一点，，， 不是“纵三倍点”.故答案为不是. ②求出该二次函数图象上的“纵三倍点”. 【解】把代入，得，即 ， 解得或， 该二次函数图象上的“纵三倍点”为和 . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 17 （2）若该二次函数在的图象上存在两个“纵三倍点”，则 的取值范 围是____________. 【解析】 由题意得，“纵三倍点”所在的直线为.在 的范围内， 二次函数的图象上存在两个“纵三倍点”，即在 的范 围内，二次函数的图象和 的图象有两个交点，令 ，整理得，则，解得 .把 代入得，代入得， ， 解得；把代入得，代入得 ， ，解得.综上，的取值范围为 .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 1 2 3 18 $$