第1章 二次函数全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件(浙教版)

数 学 九年级全一册 ZJ 1 2 3 第1章 二次函数 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 二次函数的图象和性质 1.【2023浙江宁波中考】已知二次函数 ，下列说 法正确的是( ) C A.点 在该函数的图象上 B.当且时， C.该函数的图象与 轴一定有交点 D.当时，该函数图象的对称轴一定在直线 的左侧 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 【解析】 二次函数， 当 时， ，，即点 不在该函数 的图象上，选项错误.当时，， 抛物线 的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大. ， 当时，有最大值为;当时， 有 最小值为,， 选项错误. ， 该函数图象与 轴一 定有交点，选项正确.当 时，抛物线的对称轴为直线 ， 该函数图象的对称轴一定在直线的右侧， 选项 错误.综上，说法正确的是C选项，故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 2.【2023山东日照中考】在平面直角坐标系中，抛物线 ， 满足已知点，，在该抛物线上，则，， 的大小 关系为( ) C A. B. C. D. 【解析】，,,, 抛物 线开口向上.,. 点,, 在该抛物 线上，,,的大小关系为 .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 3.【2023浙江台州中考】抛物线与直线交于 ， 两点，若，则直线 一定经过( ) D A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 【解析】 抛物线与直线交于， 两 点，，，，.当 ， 时，直线经过第一、三、四象限；当， 时，直线 经过第一、二、四象限.综上，直线 一定经过第一、四象限. 故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 4.【2023湖北孝感中考】已知二次函数的图象与 轴的一 个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中： ；②若 点，，均在该二次函数图象上，则；③若 为任 意实数，则；④方程的两实数根为 ， ，且，则， .正确结论的序号为( ) B A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①④ 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】 抛物线经过，，故①正确.， 抛物线开 口向下. 点，，均在该二次函数图象上，且点 到对 称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ，故②错误. ，， 二次函数的最大 值为， 若为任意实数，则 ， ，故③正确. 方程 的两实数根为 ，， 抛物线与直线的交点的横坐标为， .由抛物线对称性可得抛 物线与轴另一交点坐标为 抛物线开口向下，，， ， 故④正确.故选B. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 5. 【2023浙江绍兴中考】在平面直角坐标系 中，一个 图形上的点都在一边平行于 轴的矩形内部（包括边界），这些 矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函 数 的图象（抛物线中的实线部分），它 的关联矩形为矩形 .若二次函数 或 图象的关联矩形恰好也是矩形，则 _______ ____. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 【解析】 由可知，当时，， ， 四边形是矩形， . ①当抛物线经过，时，将点，代入 得 ； ②当抛物线经过，时，将点，代入 得 .综上所述，或，故答案为或 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 关键点拨 根据题意求得点，，，然后分两种情况：①当抛物线经过 ， 时，②当抛物线经过， 时，利用待定系数法求解即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 6.【2023浙江杭州中考】设二次函数，是实数 .已知函 数值和自变量 的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 1 1 … （1）若 ， ①求二次函数的表达式； 【解】把，代入二次函数表达式，得 解得 二次函数的表达式是 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 ②写出一个符合条件的的取值范围，使得随 的增大而减小. 【解】 ， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当时，随 的增大而减小.（答案不唯一） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 （2）若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求 的取值范围. 【解】 和时的函数值都是1， 抛物线的对称轴为直线 ，是顶点，和关于对称轴对称.若在，， 这 三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且 ，， 二次函数为 ， 且， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 7.【2023浙江丽水中考】已知点和在二次函数 ,是常数， 的图象上. 思路分析 （3）由抛物线过点，，可得.把， 代入 ，求得 ，故 . （1）当时，求和 的值； 【解】当时，二次函数的图象过点和 ， 解得 的值是，的值是 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 （2）若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当 时， 求 的取值范围； 【解】的图象过点和， 抛物线的对称轴为直 线的图象过点，，且点 不在坐标轴上， 由抛物线的对称性得，.， ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 （3）求证： . 【证明】 抛物线过，， 抛物线对称轴为直线 ， ，.把，代入 ，得 ，得， ， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 考点2 二次函数的应用 8.【2023浙江丽水中考】一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过 （秒）时球距离地面的高度（米）适用公式 ，那么球弹起后又回到 地面所花的时间 （秒）是( ) D A.5 B.10 C.1 D.2 【解析】令，得，解得或2， 球弹起后又回到地面所花 的时间是2秒.故选D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 9.【2023浙江湖州中考】某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水 鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量（千克）与销售价格 （元/千克） 存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格 （元/千克） 50 40 日销售量 （千克） 100 200 （1）试求出关于 的函数表达式. 【解】设关于的函数表达式为.将， 和 ，分别代入，得解得 关于的函数表达式是 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 （2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为 元，如果不考虑其他因素，求 当销售价格为多少时，日销售利润 最大.最大的日销售利润是多少元？ 【解】 .当 时， 取到最大值，最大值是2 250. 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2 250元. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 考点3 二次函数综合 10.【2023浙江湖州中考】如图（1），在 平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴的交点坐标 为，图象的顶点为.矩形 的顶 （1）求的值及顶点 的坐标. 【解】 二次函数的图象与轴的交点坐标为， ， ， 顶点的坐标是 . 点与原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 （2）如图（2），将矩形沿轴正方向平移个单位 得到对应的矩 形.已知边，分别与函数的图象交于点， ，连 结，过点作于点 . ①当时，求 的长； 【解】 在轴上，的坐标为， 点的坐标是.当时，， 的坐标分别是，.当时，，即点 的纵坐标 是2.当时，，即点的纵坐标是， 点 的纵坐标是1， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 ②当点与点不重合时，是否存在这样的，使得 的面积为1？若存在，求 出此时 的值；若不存在，请说明理由. 【解】 存在.的面积为1，， 设，则， . 如图（1），当点在点的上方时， ，此时 ，在 的范围内，符合题意. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 如图（2），当点在点 的下方时， ，此时，在 的范围内， 符合题意. 综上所述，存在使得的面积为1，此时的值为或 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 章测 一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 1.将二次函数 的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得二次 函数图象的表达式为( ) A A. B. C. D. 【解析】 的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，平移后函数图象 的表达式是 .故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 29 2.已知，，是抛物线 上的点，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对称 点为， 当时，随 的增大而增大. ， .故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 30 3.二次函数的图象与一次函数 在同一平面直角坐标 系中的图象可能是( ) A A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 31 【解析】A选项，由抛物线可知，，，，对称轴为直线 ， 由直线可知，，，直线经过点 ，本选项符合题意；B选项，由 抛物线可知，对称轴为直线，而直线不经过点 ，本选项不符合题 意；C选项，由抛物线可知，对称轴为直线，直线不经过点 ，本 选项不符合题意；D选项，由抛物线可知，对称轴为直线 ，而直线不经过 点 ，本选项不符合题意.故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 32 归纳总结 多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象，再根据函数图象得 到该函数表达式中的字母的特点，最后结合另一个函数的图象的特点进行分析， 得出结论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 33 4.【2024浙江湖州调研】如图是函数 的图象，通过观察图象得出了 如下结论：①当时，随 的增大而增大；②该函数图象与坐标 轴有三个交点；③该函数的最大值是6，最小值是 ；④当 时，不等式的解为 .以 上结论中正确的有( ) A A.①③ B.①③④ C.②④ D.①②③ 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 34 【解析】观察函数图象可知，当时，图象是向右上方延伸的，即随 的增大 而增大，故①正确；观察图象可知，该函数图象与轴有3个交点. ， 时，，此时函数图象与轴有一个交点， 该函数图象与坐标轴有 四个交点，故②错误；观察图象可知，当时，函数有最小值；当 时， 函数有最大值6，故③正确；观察图象可知，不等式 的 解为或 ，故④错误.故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 35 5.若二次函数在时的最大值为3，那么 的值是( ) C A.或 B.或 C.或 D.或 【解析】， 抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线 当，即时，当 时，函数最大值为3， ，解得；②当，即时，当 时，函数最大值 为3，，解得（舍去）；③当，即 时， 当时，函数最大值为3，，解得或 （舍去）. 综上所述，或 ，故选C. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 36 关键点拨 表示出对称轴，分三种情况，找出关于 的方程，解之即可得出结论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 37 6. 【2023山东菏泽中考】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为 “三倍点”，如：，，等都是“三倍点”.在 的 范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则 的取 值范围是( ) D A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 38 【解析】由题意得，“三倍点”所在的直线为.在 的范围内，二 次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，即在 的范 围内，抛物线和直线至少有一个交点.令 ， 整理得，则，解得.把 代入 得，代入得， ，解得 ；把代入得，代入得 ， ，解得.综上，的取值范围为 .故选D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 39 7.【2024浙江宁波镇海区期中】抛物线 与轴的一个交点为，与轴交于点，点 是抛物线的顶 点，对称轴为直线 ，其部分图象如图所示，则以下4个结 论：；， 是抛物线 A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 上的两个点，若，且，则 ；③在 轴上有一动点，当的值最小时，点的坐标为，；④若关于 的 方程无实数根，则的取值范围是 .其中正确 的结论有( ) 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40 【解析】 根据函数图象可知，，，，所以 ，故①错误.因为抛物线 的图象可由抛物线的图象沿轴向上平移 个单位 长度得到，所以的增减性与 的增减性一致.当 时，随的增大而减小.又因为，且，当 时， ，两点都在对称轴的左侧，此时 ，故②错误. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 41 如图，作点C关于轴的对称点，连结与轴交于点，连结 ，此时 的值最小.将代入二次函数表达式，得 .又因为 ，即，所以，所以.又因为抛物线与 轴 的交点坐标为，则，所以.当时， ，即 .设直线的函数表达式为 ，将点D坐标代入，得 ，解得，所以直线的函数表达式为 .将 代入，得，所以点的坐标为 ，故③正确. 将方程整理得 .因为方程没有实数 根，所以抛物线与直线 没有公共点，所以 ，则，解得.又因为，所以 ，故④ 错误.所以正确的只有③.故选A. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 42 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 8.【2023浙江杭州拱墅区质检】已知二次函数，当 时，随的增大而增大，则 的取值范围是_______. 【解析】 ， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，时，随增大而增大，，解得 ， 故答案为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 43 9.【2023浙江绍兴期末】已知二次函数 的图象与 轴有两个交点，当取满足条件的最小整数时将二次函数的图象在 轴下方的部分 沿轴翻折到 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线 有三个不同公共点时 的值是______. 1或 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 44 【解析】 函数 的图 象与 轴有两个交点， ， 解得，当取满足条件的最小整数时，， 二次函数为 .如图，将该二 次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到 轴上方，图象 的其余部分不变，得到一个新图象，新图象的表达式为 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 45 的图象从左到右是上升的，当过 时，它与新图象有3个交点， 把代入得， . 的图象与 的图象只有一个交点时，直 线与新图象有三个交点，则 ，整理得 ，，解得 ，经检验，符合题意.故答 案为1或. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 46 思路分析 根据题意求得 ，得到二次函数表达式，将二次函数表达式化为顶点式，写出 新图象的表达式，画出新图象后，可发现直线与新图象有3个交点时，有两种情况： ①直线过点，根据待定系数法，可得 的值；②直线与抛物线 只有一个交点，根据判别式等于0计算可得答案. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 47 10. 【2023浙江杭州西湖区期中】一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图 （1）所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，， 都与水平地 面平行，当杯子装满水后，，液体高度为 ，将杯子 沿倾斜倒出部分液体，当倾斜角 时停止，如图（2）所示，此时液 面宽度为_____，液面到点所在水平地面的距离是_____ . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 48 【解析】 如图，以的中点为原点，直线为轴，线段的垂直平分线为 轴，建立平 面直角坐标系.由题意得，，， ，设抛物线的 函数表达式为，将，代入得 解得 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 49 根据题意可知， ，设与轴的交点为， 是等腰直角三角 形，，， 直线的函数表达式为 .令 ，解得或， ， .液面到水平地面的距离实际就是点 到 直线的距离，过点作的垂线交于点，过点作 轴的平行线，交直线 于点，易得是等腰直角三角形.，， . 过点作于点，是的中点，且， ， ， 点与点重合， .故答案 为， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 50 关键点拨 建立合适的平面直角坐标系并求出各点的坐标是解题关键. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 51 三、解答题（本大题共3小题，共50分） 11.【2024浙江湖州期中】已知二次函数 . （1）若图象过点 ，求抛物线顶点坐标. 【解】把点代入，得， 函数表达式是 ， 抛物线顶点坐标为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 52 （2）若图象与坐标轴有两个交点，求 的值. 【解】 抛物线与坐标轴有两个交点， 抛物线顶点在 轴上或者抛物线经过原点. ①抛物线顶点在轴上时，即抛物线与轴有唯一交点.令 ，即 ,，解得 ； ②抛物线经过原点时，即，解得.当 时， ，满足题意. 综上所述，的值为或 或1. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 53 （3）若函数图象上有两个不同的点，，且 ，求 的取值范围. 【解】 点，是函数 图象上两个不同的 点，， ， ， ， . 点，是图象上两个不同的点，， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 54 12.【2024浙江嘉兴南湖区期末】某商家计划在某平台上直播销售当地特产，将其 中一种特产在网上进行试销售.该商家在试销售期间发现，每天销售量 （万件） 与销售单价（元/件） 的部分数据如下表： 销售单价 （元/件） … 10 12 14 16 … 销售量 （万件） … 14 12 10 8 … 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 55 （1）根据表中所给数据判断函数类型，并求关于 的函数表达式； 【解】根据表格中数据可知，与是一次函数关系.设关于 的函数表达式为 .将，代入表达式得 解得 关于的函数表达式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 56 （2）总成本（万元）与销售量 （万件）之间存在如图所示的变化趋势，当 时可看成一条线段，当时满足抛物线 . ①销售量不超过12万件，利润为45万元时，求此时的售价是多少. 【解】 当时，设，将， 代入表达式 得解得 .由题意得 ，整理得 ， 解得， ，即，， 此时的售价为15元/件或 19元/件. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 57 ②当售价为多少元时，利润最大?最大是多少万元？（利润 销售总额-总成本） 【解】 设利润为万元，当，即 时， ， 当 时， 有最大值，最大值为49；当时，把， 代入 ，得，解得 ， ， . ， 当时，有最大值，最大值为，此时 .综上 所述，当售价为17元/件时，利润最大，最大利润为49万元. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 58 13.【2024浙江金华期末】如图，直线与抛物线 相交于，和，点是线段上异于，的动点，过点作 轴交 抛物线于点 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 59 思路分析 （1）已知在直线上，可求得的值，即可求得 点坐标，再利用 待定系数法即可求解. （2）设出点横坐标，根据直线和抛物线的表达式可表示出点， 的纵坐标， 进而得到的长关于点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 长的 最大值. （3）当 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨 论，分别求解. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 60 （1）求抛物线的表达式； 【解】在直线上，，， 和 在抛物线 上， 解得 抛物线的表达式为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 61 （2）求出线段 的长的最大值. 【解】 设动点的坐标为，则点的坐标为 ， . 是线段 上异于,的动点，， 当时，线段的长最大且最大值为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3）为直角三角形时，求点 的坐标. 【解】 为直角三角形，分三种情况讨论： 若点为直角顶点，则 .由题意易知，轴， ，因 此这种情形不存在； 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 63 若点为直角顶点，则 .如图（1），过点 作轴于点，则，.过点作 直线 ， 交轴于点.由题易知， 为等腰直角三角形， ，， .设 直线的表达式为，解得 直线的表达式为.① 又抛物线的表达式为 ，② 联 立①②，得，解得或（与点 重合，舍去）， ，即点,重合. 当时，， ； 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 64 若点 为直角顶点，则 ， 抛物线的对 称轴为直线.如图（2），作点 关于对称轴的对称点，则点在抛物线上，且，.当 时，,， . 综上所述，为直角三角形时，点的坐标为或， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 65 $$