1.4.1 面积最值问题和行程问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件(浙教版)

数 学 九年级全一册 ZJ 1 2 3 第1章 二次函数 4 1.4 二次函数的应用 课时1 面积最值问题和行程问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 实际问题中的面积问题 1. 【2023四川自贡期中】九年级（2）班 计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8 米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长） C A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形 （底边靠墙），半圆这三种方案（如图所示），则最佳方案是 ( ) 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 【解析】如图.方案1：设米，则 米，菜园的面 积为，当 时，菜园 的面积最大，为8平方米. 方案2：当 时，菜园的面积最大，为 （平方米）.方案3：半圆的半径为,此时菜园的面积为 （平方米）， ，故选C. 关键点拨 分别计算三种方案的菜园面积，再进行比较即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 2.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并 在如图所示的两处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为 ，若要使 得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为( ) B A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 【解析】设垂直于墙体的围栏长为 ，则平行于墙体的围栏长为 . 饲养室在两处各留了宽的门， 饲养室的长 为, 饲养室的面积为, 当 时，饲养室的面积最大, 利用墙体的长度为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3.【2024浙江宁波质检】如图（1）是一扇铝合金窗框，窗框可以看成由如图（2） 所示的两个矩形组成，现用长 的铝合金材料做成窗框（不考虑材料加工时的 损耗，不计材料的厚度），则当窗框的长为____ 时，窗框的采光面积最大 （用含 的式子表示）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 【解析】 设为，窗框的采光面积为，则 ， ， 窗框的采光面积 ， 当时， 取最大值， 为，即当为时，窗框的采光面积最大.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 4.现有一张五边形的钢板如图所示， ，现在 边上 取一点，分别以， 为边各剪下一个正方形钢板模型，所剪得的两个正方形 面积和的最大值为______ ． 14.5 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 【解析】 如图,过作，交于点，过 作 ，交于点，则易得， 是等 腰直角三角形，为等腰直角三角形.设 ， 两个正方形面积和为，则 , ，由 得 ，， , ， 当时， 有 最大值，最大值为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 思路分析 设，两个正方形面积和为.作辅助线，计算出以 为边的正方形的 最大边长为，根据面积公式求出关于 的函数表达式，再利用二次函数的增 减性可得 的最大值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 5.【2024浙江杭州上城区质检】如图，利用一面墙（墙的长度不超过 ），用 长的篱笆围一个矩形场地，若设矩形场地面积为，的长度为 . （1）求出与之间的函数表达式，其中 的取值范围是什么？ 【解】 四边形是矩形，的长度为，. 矩形 除边外的三边总长为，，且 ， ，，与 之间的函数表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16 （2）当和 分别为多少米时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【解】 由（1）得 ， ， 当时，随的增大而减小， 当时， 取最大值，最大 值为，此时，， 当 ，时，矩形的面积最大，最大面积为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 17 知识点2 利用二次函数解决行程问题 6.【2024安徽芜湖期中】汽车在刹车后，由于惯性作用还要继续向前滑行一段距 离才能停下，我们称这段距离为刹车距离，刹车距离往往跟行驶速度有关.在一个 限速 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车， 最后还是相撞了.事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过 ，乙车的刹 车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速 的关系 大致如下：， .由此可以推测( ) B A.甲车超速 B.乙车超速 C.两车都超速 D.两车都未超速 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解析】 甲车的刹车距离约为， ，即 ，解得，（不合题意，舍去）， 甲车的 速度约为，不超过限速. 乙车的刹车距离约为 ， ，即，解得， （不合题意,舍去）， 乙车的速度约为，超过了限速 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 提升 1.【2023河南郑州期中，中】如图（1），在中， ，已知点 在直角边上，以的速度从点向点运动，点在直角边 上，以 的速度从点向点运动.若点，同时出发，当点到达点时，点 恰好 到达点处.图（2）是的面积与点的运动时间 之间的函数关系 图象（点为图象的最高点），根据相关信息，计算线段 的长为( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 A. B. C. D. √ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 【解析】设，则，，. 在 中， ，， ， ， 当时， 有最大值，为，解得（负值已舍去），, .在 中， ，, ，根据勾股定理可得 ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 关键点拨 根据题意可知，设,则, ,所以 ,根据最大值为4，求得，即可求出 的长． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 2.飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行时间（单位： ）的函数表达式 是．在飞机着陆滑行中，最后滑行的距离是______ ． 13.5 【解析】 当取得最大值时，飞机停下来. ， 即当时，飞机滑行距离最远,为，然后停下来.当 时， ， ，故答案为13.5． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 3.【2024浙江杭州期中，中】圆圆同学将对一块长 ，宽 的场地进行布置，设计方案如图所示. 阴影区域为绿化区（四块全等的矩形），空白区域为 活动区，且4个出口宽度相同，其宽度不小于 ， 不大于.设出口宽均为，活动区面积为 . （1）求关于 的函数表达式； 【解】根据题意得 ，与的函数关系式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 （2）当 取多少时，活动区面积最大？最大面积是多少？ 【解】 由（1）知， 当 时，随的增大而增大.， 当时， 有最大值，最大值为176， 当取8时，活动区面积最大，最大面积是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 （3）若活动区布置成本为10元/，绿化区布置成本为8元/ ，布置场地的预算 不超过1 850元，当为整数时，请求出符合预算且使活动区面积最大的 值及此时 的布置成本. 【解】 设布置场地所用费用为 元，则 ， 令，，解得或 .又 ， 活动区面积为， ，抛物线对称 轴为直线， 当 时，活动区面积最大，此时的布置成本为1 850元. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 27 4. 【2023江苏南京建邺区期末，较难】为促进“双减”政策有效落实，某 校增设活动拓展课程——开心农场.如图，准备利用现成的一堵“ ”字形的墙面 （粗线表示墙面，已知，米， 米）和总长为14米的篱 笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间 用篱 笆隔开），点可能在线段上（如图（1）），也可能在线段 的延长线上 （如图（2）），点在线段的延长线上,设的长为 米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 28 （1）当点在线段 上时， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 29 ①请用含的代数式表示 的长； 【解】 点在线段上，米. ， ，即，,米 . ②若要求所围成的小型农场的面积为12平方米，求 的长. 【解】 根据题意得，解得，（此时点不在线段 上，舍去），.答： 的长为4米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 30 （2）的长为多少米时，小型农场 的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【解】 设小型农场的面积为 平方米. ①当点在线段上时，由（1）知此时 ， .，抛物线对称轴是直线， 在 对称轴右侧，随的增大而减小，时， 有最大值， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 31 ②当点在线段 的延长线上时， ， 时，有最大值，.， 的长为3米时，小型农场 的面积最大，最大面积为 平方米. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 32 $$