精品解析：黑龙江省大庆市靓湖学校2023—2024学年八年级下学期期末考试数学试卷

2023年靓湖中学初三下期末数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 已知是关于的一元二次方程，则的值是（　　） A. 2 B. 2或 C. 0 D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 4.5 B. 5 C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为2，当时，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，中，D，E分别是，中点，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　） A. 1：3 B. 1：4 C. 2：3 D. 1：2 9. 如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 10. 如图，正方形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于，，垂足为，连接．以下结论：平分；；；其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共10小题） 11. 若，则的值为 ________． 12. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为：___________（填“>”或“<”）． 13. 如图是某几何体的三视图，根据图所给各边长度算出该几何体的体积是___________．（结果保留π） 14. 一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中红球约为________个． 15. 如图，某商场自动扶梯的坡度，过点作垂足为C．若的长为10米，则高度为_______米． 16. 某校有一块长方形的空地，其中长米，宽米，准备在这块空地上修3条小路，路宽都一样为米，并且有一条路与平行，2条小路与平行，其余地方植上草坪，所种植的草坪面积为110米．根据题意可列方程_________． 17. 为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于，才能有效杀灭新冠病毒．如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例，消毒液挥发时，与成反比例，则此次消杀的有效作用时间是______min． 18. 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为 _____． 19. 如图，双曲线经过矩形OABC的顶点，双曲线交，于点，，且与矩形的对角线交于点，连接.若，则的面积为__________. 20. 如图，在矩形中，，，B为中点，连接．动点M从点O出发沿边向点A运动，动点N从点A出发沿边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，，，设运动时间为秒．则______时，为直角三角形． 三．解答题（共10小题） 21. 解方程： （1） （2） 22. 计算：． 23. 已知为实数，关于的方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围． （2）若，试求的值． 24. 某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上） （1）求点D到地面的距离； （2）求该建筑物的高度． 25. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了　　名学生的成绩，频数分布直方图中　　，所抽取学生成绩的中位数落在 　　组； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 26. 随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次． （1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）从六月份起，该公司决定降低租金，尽可能地让利顾客，经调查发现，租金每降价1元，全天包车数增加次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？ 27. 如图，反比例函数（，）的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点． （1）求和的解析式及m值； （2）根据图象直接写出时x的取值范围； （3）点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标． 28. 如图，在矩形中，点是对角线上一动点（不与点，重合），过点作，分别交，于点，．连接，过点作，交射线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）若，， ①当时，求的长． ②求的值． （2）连接，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年靓湖中学初三下期末数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 已知是关于的一元二次方程，则的值是（　　） A. 2 B. 2或 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，解答即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案． 【详解】从上往下看，得到三个长方形， 故选A． 【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线． 3. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 4.5 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，再把的长代入可以计算出的长，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦． 4. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据结果判断根的情况即可． 【详解】一元二次方程中，，，， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，理解的结果与一元二次方程根的情况是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 5. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为2，当时，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题需先根据交点A的横坐标，确定另一个交点的横坐标，再根据图象在上方时对应的函数值大即可求出x的取值范围． 【详解】解： 反比例函数的图象与一次函数的图象的两个交点关于原点成中心对称， 由A的横坐标为2， 所以另一个交点的横坐标为-2， 从观察图象知， 当y1＜y2时，x＞2或-2＜x＜0． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要根据函数图象解决问题，需从交点看起：图象在上方时对应的函数值大，反之就小． 6. 如图，中，D，E分别是，中点，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质计算即可． 【详解】∵D，E分别是，中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握中位线定理和相似三角形的性质是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴上，在轴上，如果矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形与矩形OABC关于点O位似，且矩形的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（-4，6），即可求得答案． 【详解】∵矩形与矩形OABC关于点O位似 ∴矩形∽矩形OABC ∵矩形的面积等于矩形OABC面积的 ∴位似比为： ∵点B的坐标为 ∴点的坐标是：或 故答案为：D． 【点睛】本题考查了位似矩形的问题，掌握位似矩形的性质、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 8. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　） A. 1：3 B. 1：4 C. 2：3 D. 1：2 【答案】D 【解析】 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC， 则△DFE∽△BAE， ∴DF：AB=DE：EB． ∵O为对角线的交点， ∴DO=BO． 又∵E为OD的中点， ∴DE=DB， 则DE：EB=1：3， ∴DF：AB=1：3． ∵DC=AB， ∴DF：DC=1：3， ∴DF：FC=1：2． 故选D． 9. 如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论． 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于B， ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，2）， ∴OC＝2， ∵， ∴BD＝2， ∵tan∠BOC， ∴， ∴OD＝4， ∴点B的坐标为（2，4）， ∵反比例函数y在第一象限内的图象交于点B， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，根据正切值求边长，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标． 10. 如图，正方形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于，，垂足为，连接．以下结论：平分；；；其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质以及折叠的性质可得∠EBF=∠EFB，根据可得∠EBF=∠BFH，进而得出∠EFB=∠BFH，即可判断①，通过∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB得到∠AED=∠EBF=∠EFB=∠BFH即可判断②，通过折叠及正方形的性质得到Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），设FG=CG=x，在Rt△BEG中运用勾股定理解出x，即可得到EG的长度，从而求出，即可判断③，由△FGH∽△EGB得到FH的长度即可判断④． 【详解】解：∵正方形中，AB=6，E为AB的中点， ∴AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，∠A=∠C=∠ABC=90°， ∵△ADE沿DE翻折得到△FDE ∴∠AED=∠FED，AD=FD=6，AE=EF=3，∠A=∠DFE=90°， ∴BE=EF=3，∠DFG=∠C=90° ∴∠EBF=∠EFB， 又∵FH⊥BC， ∴FH∥AB ∴∠EBF=∠BFH ∴∠EFB=∠BFH ∴FB平分∠EFH，故①正确； ∵∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB ∴∠AED=∠EBF=∠EFB=∠BFH 又∵∠A=∠FHB=90°， ∴，故②正确； ∵AD=DF=DC，∠DFG=∠C=90°，DG=DG ∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL） ∴FG=CG， 设FG=CG=x，则EG=3+x，BG=6-x， 在Rt△BEG中，由勾股定理得：， 解得：x=2， ∴EG=5， ∴，故③错误； ∵FH⊥BC， ∴△FGH∽△EGB， ∴，即 ∴，故④正确； 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强． 二．填空题（共10小题） 11. 若，则的值为 ________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据题意设，再代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴设， ∴． 故答案为：2.5． 12. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为：___________（填“>”或“<”）． 【答案】> 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：的图象当时，y随x的增大而减小， ∵，故， 故答案为：>． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 13. 如图是某几何体的三视图，根据图所给各边长度算出该几何体的体积是___________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图得出几何体是圆柱体，再由圆柱体的体积公式进行计算即可 【详解】解：由三视图可知，这个几何体是一个圆柱体， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算，熟练掌握几何体的三视图和体积公式是解题的关键． 14. 一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中红球约为________个． 【答案】25 【解析】 【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷=35个，所以袋中红球约为35-10=25个. 考点：简单事件的频率. 15. 如图，某商场自动扶梯的坡度，过点作垂足为C．若的长为10米，则高度为_______米． 【答案】4 【解析】 【分析】根据坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比计算即可． 【详解】解：∵自动扶梯的坡度， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 16. 某校有一块长方形的空地，其中长米，宽米，准备在这块空地上修3条小路，路宽都一样为米，并且有一条路与平行，2条小路与平行，其余地方植上草坪，所种植的草坪面积为110米．根据题意可列方程_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意算出草坪的长和宽，根据长方形的面积公式列式即可． 【详解】∵长方形长米，宽米，路宽为米， ∴草坪的长为，宽为， ∴草坪的面积为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意准确列式是解题的关键． 17. 为预防“新冠病毒”，学校对教室喷洒消毒液（含氯消毒剂）进行消杀，资料表明空气中氯含量不低于，才能有效杀灭新冠病毒．如图，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例，消毒液挥发时，与成反比例，则此次消杀的有效作用时间是______min． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得正比例函数解析式与反比例函数解析式，进而得出有效作用时间，即可求解． 【详解】解：依题意，时，喷洒消毒液时教室空气中的氯含量与时间成正比例， 设函数解析式为， 将点代入得，，解得：， ∴解析式为，当时，， 当时，与成反比例，设解析式为， 将点代入得，， 解得， ∴解析式为，当时， ∴此次消杀的有效作用时间是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 18. 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为 _____． 【答案】3.2m 【解析】 【分析】连接AC，过点M作MF⊥PQ，根据同一时刻物体影子与实际高度成比例得，进行计算即可得PF的长度，即可得． 【详解】解：如图所示，连接AC，过点M作MF⊥PQ， ∵PQ⊥QN，MN⊥QN， ∴四边形FQNM是矩形， ∴FQ=MN=0.8， ∵同一时刻物体影子与实际高度成比例， ∴， ∴， ∴PF=2.4， ∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m）， 故答案为：3.2m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论． 19. 如图，双曲线经过矩形OABC的顶点，双曲线交，于点，，且与矩形的对角线交于点，连接.若，则的面积为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】设，根据题意，，，即可得出，，解得，由，，求得、，然后根据三角形面积公式得到进行求解即可. 【详解】设， ∵， ∴，， ∴， ∵双曲线经过矩形的顶点， ∴， ∴， ∵双曲线经过点， ∴ ∴双曲线， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为. 【点睛】本题考查了反比例系数 的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键． 20. 如图，在矩形中，，，B为中点，连接．动点M从点O出发沿边向点A运动，动点N从点A出发沿边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，，，设运动时间为秒．则______时，为直角三角形． 【答案】或8 【解析】 【分析】是直角三角形时，有三种情况，一是，二是，三是，然后进行分类讨论求出的值． 【详解】解：过点作的垂线，交于点，交于点，如图， 点是的中点， ， ， 由勾股定理可求：， ， ， ， ， ， ， ， ， 当， 由勾股定理可求：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当， 由题意知：此情况不存在， 综上所述，为直角三角形时，或8， 故答案为：或8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性． 三．解答题（共10小题） 21. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）先移项得到，然后利用直接开平方法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，根据公式，正确解答即可． 【详解】 ． ． 23. 已知为实数，关于的方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围． （2）若，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把方程化为一般式得到．再根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到， ，再利用得到．然后解关于k的方程后利用k的范围确定满足条件的k的值． 【小问1详解】 解：原方程即为． ， ∴ ． ∴． ∴； 【小问2详解】 解：由根系关系，得， ∵， ∴ ∴． 即． 解得，或 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ， ．也考查了根的判别式． 24. 某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上） （1）求点D到地面的距离； （2）求该建筑物的高度． 【答案】（1）5米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解； （2）通过证明，然后解直角三角形分析求解． 【小问1详解】 解：过点D作， 由题意可得， ∴在Rt中，， 即点D到地面的距离为5米； 【小问2详解】 如图， 由题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴在Rt中，，即， 解得， 在Rt中，，即， 解得， 答：该建筑物的高度为15米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 25. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： （1）本次调查一共随机抽取了　　名学生的成绩，频数分布直方图中　　，所抽取学生成绩的中位数落在 　　组； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）400，60，D （2） 补全学生成绩频数分布直方图如下： （3）1680人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图与条形统计图数据关联即可得到答案； （2）根据总人数及已知各组人数，计算出E组的人数为，从而补全直方图； （3）根据样本中优秀人数占比即可估计3000人中成绩优秀的数量； （4）由画树状图的方法得到全部结果及满足题意的结果数，利用概率公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为（名）； ∴B组的人数为（名），即； ∵所抽取学生成绩的中位数是第200和第201个成绩的平均数，且， ∴所抽取学生成绩的中位数落在D组， 故答案为：400，60，D； 【小问2详解】 解：E组的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校成绩优秀的学生有1680人； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种， ∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识，熟记相关统计量及求法，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键。 26. 随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次． （1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率； （2）从六月份起，该公司决定降低租金，尽可能地让利顾客，经调查发现，租金每降价1元，全天包车数增加次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？ 【答案】（1）全天包车数的月平均增长率为60% （2）当租金降价70元时，公司将获利8800元 【解析】 【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，则四月份的全天包车数为；五月份的全天包车数为，又知五月份的全天包车数为64次，由此等量关系列出方程，求出x的值即可； （2）每辆全天包车的租金全天包车数量列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设全天包车数的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）， 答：全天包车数的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设租金降价a元，则， 化简得：， 解得：． 为了尽可能让利顾客，． 答：当租金降价70元时，公司将获利8800元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，准确理解题意，准确的找出等量关系列出方程是解决问题的关键． 27. 如图，反比例函数（，）的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点． （1）求和的解析式及m值； （2）根据图象直接写出时x的取值范围； （3）点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】(1)根据点A坐标可求出，即可得点B坐标，由A、B两点的坐标可得的函数表达式； (2)根据题意，可知要求使得反比例函数在直线的上方，所对应的x的范围 (3) 点C关于x轴的对称点为，当点A、F、M共线时，可得最大，故点M为直线AF与x轴的交点坐标． 【小问1详解】 ∵图象过点， ∴，得， ∴； 把点代入中得， ∴，点B为， ∵过点A，B， ∴把和代入得 ， 解得， ∴ 易知关于x轴对称点在图象上， ∴ ∴； 【小问2详解】 由图象得或； 【小问3详解】 由（1）得，，， 点C关于x轴的对称点为， 射线AF交x轴于点M， 设AF的解析式为， 把，分别代入中， ， 解得， ∴AF的解析式为， 令，则， ∴当最大时M的坐标为． 【点睛】本题考查了确定一次函数和反比例函数的解析式，根据函数图象分析不等式的解集，根据对称性求线段达到最大值时的点坐标，掌握相关的做题方法是解题的关键． 28. 如图，在矩形中，点是对角线上一动点（不与点，重合），过点作，分别交，于点，．连接，过点作，交射线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）若，， ①当时，求的长． ②求的值． （2）连接，当时，求证：． 【答案】（1）①；② （2） 证明：由（1）②得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①先证明四边形是矩形，可得， 再根据，可得，再求出，即可求解；②证明，可得，即可求解； （2）由（1）②得：，从而得到，可证得，从而得到，再由，可得，从而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：①在矩形中，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $