精品解析：北京市通州区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

通州区2023—2024学年第二学期高二年级期末质量检测 数学试卷 2024年7月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，为两个随机事件，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为，，现任取一件零件，则它是次品的概率为（ ） A. 0.044 B. 0.046 C. 0.050 D. 0.090 8. 某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（ ） A 360种 B. 300种 C. 180种 D. 120种 9. 设函数为定义在上的奇函数，若曲线在点处的切线的斜率为10，则（ ） A. B. C. 6 D. 16 10. 已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是_____________． 12. 不等式的解集是_____________． 13. 某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是_________________． （参考数据： ，） 14. 已知命题： 函数为上的增函数．能说明为假命题的一组，的值为_________________，_________________． 15. 已知函数，关于以下四个结论： ①函数的值域为； ②当时，方程有两个不等实根； ③当，时，设方程的两个根为，，则为定值； ④当，时，设方程的两个根为，，则． 则所有正确结论的序号为_________________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）当，时，求函数在区间上最小值． 17. 某班级的所有学生中，课前是否预习本节课所学内容的人数情况如下表所示． 男生 女生 预习了所学内容 12 17 没预习所学内容 6 5 现从该班所有学生中随机抽取一人： （1）求抽到预习了所学内容的概率； （2）若抽到的同学是男生，求他预习了所学内容的概率； （3）试判断“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了所学内容”是否相互独立，并说明理由． 18. 为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这100名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图． （1）若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在内的人数； （2）开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周（每周两人，不重复）进行．求第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于的概率； （3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为，求的分布列与数学期望． 19. 某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 （1）从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨概率； （2）以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； （3）在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为1，求曲线在点处的切线方程； （2）定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数． ①，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由； ②，若为函数“控制函数”，求实数的取值范围． 21. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）求的单调区间； （3）写出的零点个数（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 通州区2023—2024学年第二学期高二年级期末质量检测 数学试卷 2024年7月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再利用补集的定义求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：D 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数、二次函数单调性判断AB；利用指数、对数函数单调性判断CD. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：C 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可. 【详解】因，， 即，， 所以. 故选：A 4. 设，为两个随机事件，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式可得，进而利用条件概率公式代入求解. 【详解】由条件概率可得, 所以, 故选：B 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件定义，结合基本不等式判断即可. 【详解】由，，，得，当且仅当时取等号， 反之，，，，取，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案. 【详解】因为的通项公式为， 令得，所以的系数为. 故选：D. 7. 有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为，，现任取一件零件，则它是次品的概率为（ ） A. 0.044 B. 0.046 C. 0.050 D. 0.090 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】记现任取一件零件它是次品为事件， 则. 故选：B 8. 某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（ ） A. 360种 B. 300种 C. 180种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】从6人中任取4人安排工作，去掉A安排在第四道工序工作的安排方法数即得. 【详解】从6名员工中任选4人，安排在4道工序上工作的安排方法数为种， 其中员工在第四道工序工作的安排方法数为种， 所以不同的安排方法共有（种）. 故选：B 9. 设函数为定义在上的奇函数，若曲线在点处的切线的斜率为10，则（ ） A. B. C. 6 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数性质求出，再利用复合函数求导求出即可. 【详解】由函数为定义在上的奇函数，得，则， 两边求导得，即，而，则， 所以. 故选：C 10. 已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合导数分析函数的性质，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，数形结合求出范围. 【详解】当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，求导得， 由，得，由，得，即函数在上递增，在上递减， 当时，取得极大值，且当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有3个公共点，即方程恰有三个根， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 12. 不等式的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式求解即可. 【详解】因为, 所以或. 故答案为： 13. 某区高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩服从正态分布，则成绩位于的人数大约是_________________． （参考数据： ，） 【答案】1365 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求出成绩在的概率，再求出对应的人数. 【详解】令高二年级4000名学生的期中检测的数学成绩为，则，其中， 则， 所以成绩位于的人数大约是. 故答案为：1365 14. 已知命题： 函数为上的增函数．能说明为假命题的一组，的值为_________________，_________________． 【答案】 ①. 2 ②. 0（答案不唯一，满足均可） 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，求出命题为真命题时即可得解. 【详解】函数在上单调递增，在单调递增， 则由函数为上的增函数，得， 即命题为真命题时，，因此为假命题时，， 能说明为假命题的一组，的值可以为，. 故答案为：2；0 15. 已知函数，关于以下四个结论： ①函数的值域为； ②当时，方程有两个不等实根； ③当，时，设方程的两个根为，，则为定值； ④当，时，设方程的两个根为，，则． 则所有正确结论的序号为_________________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】分析函数的性质求出值域判断①；求出方程的根依次判断②③④即得. 【详解】对于①，函数，由于，故， 因此函数的值域为，①正确； 对于②，当时，方程，解得或， 而，方程有两个不等实根，②正确； 对于③，当时，，不妨令，，则， 则，由于在上单调递增， 故随增大而增大，③错误； 对于④，当时，，不妨令，， 则，④正确， 所以所有正确结论的序号为①②④. 故答案为：①②④ 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：①直接法：直接求出f(x)=0的解；②图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）当，时，求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）0； （2）4. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出的值. （2）利用基本不等式求出最小值即得. 【小问1详解】 函数的定义域为， 由于为奇函数，则对于定义域内任意，都有成立， 即，即恒成立，而当时， 所以. 【小问2详解】 当，时，， 由，得，当且仅当，即时取等号， 所以，当时函数取得最小值为4. 17. 某班级的所有学生中，课前是否预习本节课所学内容的人数情况如下表所示． 男生 女生 预习了所学内容 12 17 没预习所学内容 6 5 现从该班所有学生中随机抽取一人： （1）求抽到预习了所学内容的概率； （2）若抽到的同学是男生，求他预习了所学内容的概率； （3）试判断“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了所学内容”是否相互独立，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）不独立，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数表，利用古典概率公式计算即得. （2）根据给定条件，利用条件概率公式计算即得. （3）利用相互独立事件的定义判断即得. 【小问1详解】 设抽到预习本节课所学内容的同学为事件A，抽到的同学是男生为事件B， 由数表知，该班共有40名同学, 预习了本节课所学内容的学生有29人， 则. 【小问2详解】 依题意，，因此， 所以抽到的同学是男生，他预习了所学内容的概率为. 【小问3详解】 由数表知，，，，， 所以“抽到的同学是男生”与“抽到的同学预习了本节课所学内容”不相互独立. 18. 为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这100名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图． （1）若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在内的人数； （2）开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周（每周两人，不重复）进行．求第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于的概率； （3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为，求分布列与数学期望． 【答案】（1）800人； （2）； （3）分布列见解析，期望为1.8. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求出的频率，再估计人数即得. （2）求出在，，抽取的人数，再结合组合计数求出古典概率. （3）求出的可能值及各个值对应的概率，利用二项分布列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，各组频率依次为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1， 则100人的样本中假期日均阅读时间的频率为， 估计该校学生假期日均阅读时间在内的频率为0.4. 所以估计该校假期日均阅读时间在内的人数为人. 【小问2详解】 阅读时间在，，的频率依次为：0.3，0.2，0.1， 则在，，抽取的人数依次为3人，2人，1人， 设第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于为事件A， 所以. 【小问3详解】 从该校学生中随机抽取1人，则此人假期日均阅读时间不低于60分钟的概率为， 随机变量的可能取值为，得， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望为. 19. 某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 （1）从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； （2）以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； （3）在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【答案】（1）0.4； （2）分布列见解析； （3）应选. 【解析】 【分析】（1）利用古典概率求得结果. （2）求出的可能及各个值对应的概率，列出分布列. （3）分别求出与时销售利润的期望，再比较大小即得结果. 【小问1详解】 设甲市场销售量为4吨的事件为A，则. 【小问2详解】 设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为， 则由题意得，，； ，，， 设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下表： 6 7 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 【小问3详解】 由（2）知，，， 当时，销售利润，当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 则元； 当时，，，， 销售利润，当时，， 当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 0.71 则元； 因为，所以应选. 20. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的斜率为1，求曲线在点处的切线方程； （2）定义：若，均有，则称函数为函数的控制函数． ①，试问是否为函数的“控制函数”？并说明理由； ②，若为函数的“控制函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）切线方程为， （2）①是“控制函数”，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据斜率求出切点坐标，再由直线的点斜式方程可得答案； （2）①由得，根据的范围可得答案；②转化为，恒成立，令求出在的最值可得答案. 【小问1详解】 ，所以， 解得或，可得切点坐标为，或， 所以曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ①，是“控制函数”，理由如下， 由得， 可得，， 因为时，恒成立， 即恒成立， 所以函数为函数的“控制函数”； ②，若为函数的“控制函数”， 则，恒成立， 即，恒成立， 令，， ， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在有极小值，，， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 21. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）求的单调区间； （3）写出的零点个数（直接写出结果）． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）当时，无零点；当时，有1个零点. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，探讨单调性求出最小值. （2）求出函数的导数，按导数的零点分布情况分类讨论求出单调区间. （3）结合（2）的结论，借助单调性确定最值、极值情况，并结合零点存在性性定理确定零点个数. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，，求导得， 而，则当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，则当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得，， ①当，即时，由，得，由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，由，得或，由，得， 因此函数在，上单调递增，在单调递减； ③当，即时，恒成立，函数上上单调递增； ④当，即时，由，得或，由，得， 因此函数在，上单调递增，在单调递减， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为，； 当时，函数的递增区间为，无递减区间； 当时，函数的递减区间为，递增区间为，. 【小问3详解】 由（2）知，当时，函数在上递减，在上递增， ，因此函数无零点； 当时，函数在上递减，在，上递增， 当时，取得极小值，当时，取得极大值， 而从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，因此有唯一零点； 当时，函数在上递增，，因此有唯一零点； 当时，函数在，上递增，在递减， 当时，取得极在值，当时，取得极小值， 而趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，因此有唯一零点； 所以当时，函数无零点；当时，函数有唯一零点. 【点睛】关键点点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$