精品解析：河北省保定市易县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末教学质量监测 七年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日开幕，会徽标志如下图所示，以下通过平移这个标志能得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，直接利用平移的性质可得答案． 【详解】解：A、不能通过平移这个标志能得到，该选项不符合题意； B、不能通过平移这个标志能得到，该选项不符合题意； C、能通过平移这个标志能得到，该选项符合题意； D、不能通过平移这个标志能得到，该选项不符合题意； 故选：C． 2. 点位于（ ） A. 轴的正半轴上 B. 轴的负半轴上 C. 轴的正半轴上 D. 轴的负半轴上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的性质，熟练掌握平面直角坐标系各个象限内，坐标轴上的点的特征是解题的关键．根据坐标轴上的点的坐标的特点解答． 【详解】解：纵坐标为0，说明点在x轴上，又横坐标大于0，说明点在x轴的正半轴上． 故选：A． 3. 下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ） A. 对我国初中学生视力状况的调查 B. 检测一批家用汽车的抗撞击能力 C. 测试神舟十八号载人飞船的零部件质量情况 D. 中央电视台《2024中国诗词大会》的收视率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查调查分类，涉及抽样调查和全面调查定义与区别，一般地，具有破坏性、涉及面广，无法普查、普查意义或价值不大采取抽样调查；对于精度要求较高的调查、事关重大的采取普查，逐项判定即可得到答案，熟记普查与抽查的特征与区别是解决问题的关键． 【详解】解：A、对我国初中学生视力状况的调查，涉及面广，无法普查，适合抽查，不符合题意； B、检测一批家用汽车的抗撞击能力，具有破坏性，适合抽查，不符合题意； C、测试神舟十八号载人飞船零部件质量情况，每一个环节都事关重大，适合普查，符合题意； D、中央电视台《2024中国诗词大会》的收视率，涉及面广，无法普查，适合抽查，不符合题意； 故选：C． 4. 下列是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．，是代数式，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．，是二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，如果点满足，，那么它所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：点满足，， 在平面直角坐标系中，点在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，熟记各象限点的坐标特征是解决问题的关键． 6. 下列说法错误的是（　　） A. 2的平方根是 B. 的立方根是 C. 10是100一个平方根 D. 算术平方根是本身的数只有0和1 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根定义、立方根定义及算术平方根定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、由平方根的定义可知，2的平方根是，说法错误，符合题意； B、由立方根定义可知，的立方根是，说法正确，不符合题意； C、由平方根定义可知，100的平方根为，10是100的一个平方根说法正确，不符合题意； D、由算术平方根定义可知，算术平方根是本身的数只有0和1，说法正确，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查命题真假判断，熟练掌握平方根定义、立方根定义及算术平方根定义是解决问题的关键． 7. 如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ） A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3 C. ∠3=∠5 D. ∠3+∠4=180° 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵∠1与∠2是直线a，b被c所截的一组同位角， ∴∠1=∠2，可以得到a∥b， ∴不符合题意 B．∵∠2与∠3是直线a，b被c所截的一组内错角， ∴∠2=∠3，可以得到a∥b， ∴不符合题意， C．∵∠3与∠5既不是直线a，b被任何一条直线所截的一组同位角，内错角， ∴∠3=∠5，不能得到a∥b， ∴符合题意， D．∵∠3与∠4是直线a，b被c所截的一组同旁内角 ，∴∠3+∠4=180°，可以得到a∥b， ∴不符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查平行线的判定，难度不大． 8. 如图，在三角形中，，，则边的长可能是（ ） A. 3 B. 2 C. 7 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可知的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知， 所以的长可能是7． 故选：C． 9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解，最后在数轴上表示解集即可，解题的关键是掌握一元一次不等式组的求解方法． 【详解】解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， 数轴上表示解集如图， 故选：． 10. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的y等于（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键． 根据数值转换器，输入，进行计算，判断结果是否为无理数，若不是，则继续计算即可． 【详解】解：第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，，是无理数， 故选：A． 11. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中《盈不足》卷中记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出9钱，会多出5钱；每人出8钱，又差2钱，问人数、物价各多少？”设人数为，物价为钱．根据题意，下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出9钱，会多出5钱；每人出8钱，又差2钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱， 依题意得：． 故选：B． 12. 如图，把长方形沿折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了长方形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握长方形的性质，折叠性质是解题的关键．根据长方形，得到，得到，结合折叠的性质，得，结合，计算即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴． 故选C． 13. 已知且x＋y＝3，则z的值为(　 　) A. 9 B. －3 C. 12 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】先利用x＋y＝3，得2x+2y=6,3x+3y=9,进而将方程组进行化简整理,再用代入消元法即可求解. 【详解】解：∵x＋y＝3，将其代入方程组得, 由（1）得y=z-6,将其代入（2）得z=-3, 故选B. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入消元的方法和对原方程组进行化简是解题关键. 14. 已知关于的不等式组，下列说法不正确的是（ ） A. 若它的解集是，则 B. 当时，此不等式组无解 C. 若它整数解只有2，3，4，则 D. 若不等式组无解，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可． 【详解】解：∵ 由①得：； 由②得，， 故不等式组的解集为：． ∵它的解集是， ∴，故A正确； ∵，则②的解集为：， ∴不等式组无解，故B正确； ∵它的整数解只有2，3，4，则， ∴，故C正确； ∵不等式组无解， ∴，故D错误． 故选D． 15. 已知1辆型车载满货物一次可运货1吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．某公司有14吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完，且每辆车都装满货物，共有租车方案（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了租车方案的问题，掌握正整数的性质列出所有租车方案是解题的关键．设租用A型车x辆，B型车y辆，根据公司有14吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完列出方程，根据x，y均为正整数求出所有的租车方案即可． 【详解】解：设租用A型车x辆，B型车y辆，根据题意得： ， ∵x、y为正整数， ∴或或， ∴存在3种租车方案， 故答案为：B． 16. 在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即，按此规律，若记为第1个点，则第12个点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律的探究，根据题意得到3个一循环的坐标规律，用12除以3得到具体位置即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵→→→→→→→…， ∴3个点为一组，每个的坐标为：，，， ∵， ∴第12个点的坐标为：，即； 故选A． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分） 17. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：_________________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 18. （1）如图1，两个面积为1的小正方形可拼成一个大正方形（中间为小正方形），由此可得小正方形的对角线长为______． （2）把长为2，宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成如图2所示的一个大正方形（中间为小正方形），则小长方形的对角线的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．根据勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）∵两个面积为1的小正方形可拼成一个大正方形， ∴小的正方形的边长为1， ∴小正方形的对角线的长为， 故答案为． （2）∵小长方形的长为2，宽为1； ∴小长方的对角线长为； 故答案为： 19. 用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板______张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做______个竖式纸盒． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式即可求解． （1）直接列式计算即可． （2）由x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出x的取值范围即可． 【详解】解：（1）制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板； 故答案为： （2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个． 由题意得 解得：； 即； ∵， ∴， 解得：； ∵x是整数， ∴的最大整数为． ∴最多能做个竖式纸盒． 故答案为： 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，包括平方根，立方根，乘方，绝对值的运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算被开方数的减法运算，再求解算术平方根即可； （2）先计算乘方，求解立方根，算术平方根，再合并即可； （3）先化简绝对值，再合并即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 21. 解方程（组） （1） （2） 【答案】（1），或者 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方根的定义求解即可； （2）采用加减消元法解答即可． 【小问1详解】 ， ∴，或者； 【小问2详解】 ，得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了采用平方根求解方程以及利用加减消元法求解二元一次方程组的知识，掌握相应的求解方法，是解答本题的关键． 22. 【阅读理解】 下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请认真阅读并完成任务． 解：解不等式①： 移项，得 第1步， 合并同类项，得 第2步， 两边都除以，得 第3步． 【任务一】 （1）该同学的解答过程中第______步出现了错误，错误的原因是______，不等式①的正确解集是______； 【任务二】 （2）解不等式②； （3）写出该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解． 【答案】（1）3，不等式两边都除以负数，不等号的方向没有改变，； （2）；（3）不等式组的解集为，不等式组的非负整数解为0，1 【解析】 【分析】本题考查的是不等式的性质、解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据不等式的性质，不等式两边都除以负数，不等号的方向改变即可得出答案； （2）根据 一元一次不等式的步骤计算即可得出答案； （3）由（1）（2）即可得出不等式组的解集，再写出非负整数解即可． 【详解】解：（1）该同学的解答过程中第3步出现了错误，错误的原因是不等式两边都除以负数，不等号的方向没有改变，正确解集为： （2）解不等式②： （3）不等式组的解集为， 故不等式组的非负整数解为0，1． 23. 时政智慧，竞逐未来．某校组织了“关注时事•胸怀天下”的时事知识竞赛，现随机抽取了若干名学生的竞赛成绩（单位：分；满分100分）进行整理、分析（数据分为4组，分别为组：；B组：；组：；D组：．表示成绩且为整数）．并绘制了如下不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）本次一共抽取了______名学生，并补全竞赛成绩频数分布直方图． （2）______，扇形统计图中“”所占的圆心角的度数为______． （3）若该校有1500名学生参加了本次时事知识竞赛，请估计竞赛成绩达到75分及以上学生人数． 【答案】（1），补全图形见解析 （2），； （3）竞赛成绩达到75分及以上的人数为人． 【解析】 【分析】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键． （1）观察频数分布直方图和扇形图，利用占比，可求出总人数，即可解答； （2）由组人数，求出B组人数占小明所在学校参加竞赛学生人数的百分比，进而可求出A组所对应的圆心角的度数； （3）利用样本估计总体思想即可求解． 【小问1详解】 解：抽取人数：（人）， A组人数：（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：， ∴； ， ∴扇形统计图中“”所占的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：竞赛成绩达到75分及以上的人数为人． 24. 阅读下列材料，并解答相关问题． 背景 在探究三角形内角和定理的课上，李老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明． 问题初探 嘉嘉经过观察、思考之后，发现过三角形的顶点作，则由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形三个内角的和等于”这个命题． 已知：如图1，在三角形中，过顶点作． 求证：． 证明：， ①_____，②_____．（③_____） ，（平角定义） ④_____⑤_____．（等量代换） 类比分析 淇淇将顶点的位置一般化（如图2），换成三角形边上的任意一点，过顶点分别作平行于的平行线．由平行线的性质与平角的定义，也证明了“三角形三个内角的和等于”这个命题． 学以致用 为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图3是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图4是其平面示意图，其中都与地面平行，，，当______时，． （1）补全嘉嘉的证明过程中序号所对应的内容． （2）对于淇淇的证明思路，请你先作出辅助线，再完成这个证明． （3）在图4中，当______时，． 【答案】（1）①；②；③两直线平行，内错角相等；④；⑤ （2）证明见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的证明，熟记平行线的性质是解本题的关键． （1）根据题干信息提示，完善推理过程与推理依据即可； （2）如图，过作，交于，再结合平行线的性质与平角的定义可得结论； （3）先证明，可得，结合，可得，再进一步可得答案． 【小问1详解】 解：证明：， ①，②．（③两直线平行，内错角相等） ，（平角定义） ④⑤．（等量代换） 【小问2详解】 解：如图，过作，交于， ∴，，，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时， ∴． 25. 2024年4月23日是第29个“世界读书日”．为进一步营造浓厚的读书氛围，王老师要为班级补充一些名著，现获取信息如下： （1）求每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价． （2）现按照优惠方案购买《西游记》． ①当购买数量不超过10本时，请直接写出王老师应选择哪种优惠方案． ②当购买数量超过10本时，王老师应如何选择优惠方案？ 【答案】（1）每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价分别为元，元． （2）①选择方案二优惠；②当购买数量为本时，两种方式的费用一样；当时，方案二优惠；当时，方案一优惠． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价分别为元，元，根据题意可得，再解方程组即可； （2）①设购买《西游记》本，分别计算出购买不超过10本，两种方式需要的费用，继而比较可得出答案．②设购买《西游记》本，分别计算出购买超过10本，两种方式需要的费用，继而结合方程与不等式可得答案． 【小问1详解】 解：设每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价分别为元，元， ∴， 解得：， 答：每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价分别为元，元． 【小问2详解】 解：设购买《西游记》本，则 ①当购买数量不超过10本时， 方案一：付费：元， 方案二：付费：元， 而， ∴选择方案二优惠； ②当购买数量超过10本时， 方案一：付费：元， 方案二：付费：元， 当，解得：， 当，解得：， 当，解得：， ∴当购买数量为本时，两种方式的费用一样； 当时，方案二优惠； 当时，方案一优惠． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发，沿轴的正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． 　备用图 （1）点的坐标为______；点的坐标为______；和的位置关系是______． （2）当点分别在线段上时，连接，若，求点的坐标． （3）在点的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1），，， （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出，得到点的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）过点作于，根据三角形的面积公式求出，得到点的坐标； （3）分点在点与中间、点在点的上方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ∴点，，， 的纵坐标相同，点在轴上， ， 【小问2详解】 过点作于， 设时间经过秒，， 则，，，， ，， ∵， ， 解得，， ， ， 点在上， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：或， 理由如下： 当点在点与中间，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 即； ②当点在点的上方时，过点作， ， ， ， ， ∵， ， 即， 综上所述，或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末教学质量监测 七年级数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2024年巴黎奥运会，即第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日开幕，会徽标志如下图所示，以下通过平移这个标志能得到的图形是（ ） A B. C. D. 2. 点位于（ ） A. 轴的正半轴上 B. 轴的负半轴上 C. 轴的正半轴上 D. 轴的负半轴上 3. 下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ） A. 对我国初中学生视力状况的调查 B. 检测一批家用汽车的抗撞击能力 C. 测试神舟十八号载人飞船的零部件质量情况 D. 中央电视台《2024中国诗词大会》的收视率 4. 下列是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，如果点满足，，那么它所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 下列说法错误的是（　　） A. 2的平方根是 B. 的立方根是 C. 10是100的一个平方根 D. 算术平方根是本身的数只有0和1 7. 如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（ ） A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3 C. ∠3=∠5 D. ∠3+∠4=180° 8. 如图，在三角形中，，，则边长可能是（ ） A. 3 B. 2 C. 7 D. 4 9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的y等于（ ） A. B. C. 4 D. 11. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中《盈不足》卷中记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出9钱，会多出5钱；每人出8钱，又差2钱，问人数、物价各多少？”设人数为，物价为钱．根据题意，下面所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，把长方形沿折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 已知且x＋y＝3，则z的值为(　 　) A. 9 B. －3 C. 12 D. 不确定 14. 已知关于的不等式组，下列说法不正确的是（ ） A. 若它的解集是，则 B. 当时，此不等式组无解 C. 若它的整数解只有2，3，4，则 D. 若不等式组无解，则 15. 已知1辆型车载满货物一次可运货1吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．某公司有14吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完，且每辆车都装满货物，共有租车方案（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 16. 在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即，按此规律，若记为第1个点，则第12个点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分） 17. 把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：_________________． 18. （1）如图1，两个面积为1的小正方形可拼成一个大正方形（中间为小正方形），由此可得小正方形的对角线长为______． （2）把长为2，宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成如图2所示的一个大正方形（中间为小正方形），则小长方形的对角线的长为______． 19. 用如图1所示若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板______张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做______个竖式纸盒． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算． （1）； （2）； （3）． 21. 解方程（组） （1） （2） 22. 【阅读理解】 下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请认真阅读并完成任务． 解：解不等式①： 移项，得 第1步， 合并同类项，得 第2步， 两边都除以，得 第3步． 【任务一】 （1）该同学的解答过程中第______步出现了错误，错误的原因是______，不等式①的正确解集是______； 任务二】 （2）解不等式②； （3）写出该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解． 23. 时政智慧，竞逐未来．某校组织了“关注时事•胸怀天下”的时事知识竞赛，现随机抽取了若干名学生的竞赛成绩（单位：分；满分100分）进行整理、分析（数据分为4组，分别为组：；B组：；组：；D组：．表示成绩且为整数）．并绘制了如下不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）本次一共抽取了______名学生，并补全竞赛成绩频数分布直方图． （2）______，扇形统计图中“”所占的圆心角的度数为______． （3）若该校有1500名学生参加了本次时事知识竞赛，请估计竞赛成绩达到75分及以上的学生人数． 24. 阅读下列材料，并解答相关问题． 背景 在探究三角形内角和定理课上，李老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明． 问题初探 嘉嘉经过观察、思考之后，发现过三角形的顶点作，则由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形三个内角的和等于”这个命题． 已知：如图1，在三角形中，过顶点作． 求证：． 证明：， ①_____，②_____．（③_____） ，（平角定义） ④_____⑤_____．（等量代换） 类比分析 淇淇将顶点的位置一般化（如图2），换成三角形边上的任意一点，过顶点分别作平行于的平行线．由平行线的性质与平角的定义，也证明了“三角形三个内角的和等于”这个命题． 学以致用 为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务，图3是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图4是其平面示意图，其中都与地面平行，，，当______时，． （1）补全嘉嘉的证明过程中序号所对应的内容． （2）对于淇淇的证明思路，请你先作出辅助线，再完成这个证明． （3）在图4中，当______时，． 25. 2024年4月23日是第29个“世界读书日”．为进一步营造浓厚的读书氛围，王老师要为班级补充一些名著，现获取信息如下： （1）求每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价． （2）现按照优惠方案购买《西游记》． ①当购买数量不超过10本时，请直接写出王老师应选择哪种优惠方案． ②当购买数量超过10本时，王老师应如何选择优惠方案？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发，沿轴的正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点从点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． 　备用图 （1）点的坐标为______；点的坐标为______；和的位置关系是______． （2）当点分别在线段上时，连接，若，求点的坐标． （3）在点的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$