精品解析：山东省泰安市泰山区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

第二学期期末学情抽测 初三数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，请考生仔细阅读答题纸上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2．考试结束后，监考人员只收答题纸． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填涂在答题纸上） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式的意义是解题的关键． 根据二次根式和分式的意义即可得到结果． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， 且， 解得：且； 故选：C． 2. 以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（ ） A. 2、3、4、5 B. 2、3、4、6 C. 1、2、3、4 D. 1、4、9、16 【答案】B 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A. 3×4≠2×5，故选项不符合题意； B. 3×4=6×2，故选项符合题意； C. 1×4≠2×3，故选项不符合题意； D. 1×16≠9×4，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式的加法法则、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、二次根式的乘除法法则进行判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 4. 如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且和互相平分 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴和互相平分， ∵， ∴四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键． 5. 下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①② D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可． 【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． 6. 若一元二次方程的系数满足，则方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到，再利用根的判别式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即方程有两个不相等的实数根， 故选：C 【点睛】本题考查根的判别式，不等式的性质，解题的关键是根据推出． 7. 下列关于的叙述错误的是（ ） A. 是无理数 B. 数轴上不存在表示的点 C. D. 边长为的正方形面积是10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义、实数与数轴、无理数的估算、二次根式的乘法，熟练掌握无理数的估算是解题关键． 根据无理数的定义、实数与数轴、无理数的估算、二次根式的乘法法则逐项判断即可． 【详解】解：A、是无理数，则此项叙述正确，故此选项不符题意； B、所有的实数都可以用数轴上的点来表示，所以数轴上存在表示的点，则此项叙述错误，故此选项符题意； C、因为，所以，则此项叙述正确，故此选项不符题意；； D、边长为的正方形面积是，则此项叙述正确，故此选项符题意； 故选：B． 8. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　） A. 1.25尺 B. 56.5尺 C. 6.25尺 D. 57.5尺 【答案】D 【解析】 【分析】易得△ABF∽△ADE，列出比例式即可求解． 【详解】依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD=BF：DE， 即5：AD=0.4：5， 解得AD=62.5， BD=AD−AB=62.5−5=57.5（尺）． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应边成比例，列出比例式是解题的关键． 9. 如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ） A. 11 B. 12 C. 12.5 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形中位线的定义和性质，先根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半求出，进而得出，再根据中位线的性质得出答案． 【详解】∵是的中线，且， ∴， ∴． ∵点D，E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键． 结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标． 【详解】如图，过点E作x轴的垂线，垂足为H．过点G作x轴的垂线，垂足为M，连接、交于点， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵, ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵在正方形中，对角线，相交于点， ， ∵点F与点O关于点对称， ∴点F的坐标为， 故选：D． 11. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键． 12. 如图，矩形中，，，点P在对角线上，过点P作，交边，于点M，N，过点M作交于点E，连接，，．下列结论： ①； ②四边形的面积不变； ③当时，； ④的最小值是20．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据线段垂直平分线的性质判断即可；②先根据相似三角形的判定与性质求出对角线的长，再根据四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可；③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；④先根据轴对称确定最小值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∵点P不一定是的中点，故①错误； 如图，延长交于点H，则是矩形， 在矩形中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴ ，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， 当最小时，的值最小， 作B、D关于、的对称点、， 由对称的性质得，，， ∴， ∴如图，作，连接， 由，， ∴， ∴， 当点、M、三点共线时，的值最小， 此时同理可得：， ∴，而， ∴，而， ∴四边形是菱形； 设， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果） 13. 已知线段、，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，先用含a的式子表示b，再代入化简即可． 【详解】∵， ∴， 即． 则代数式． 故答案为：． 14. 在中，分别交、于点、；若，，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：3． 15. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程的解与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查根式的加减运算，及根式相等的条件，解题的关键是熟练掌握合并同类二次根式及根式相等即被开方数相同． 17. 如下图，在中，点，分别是，的中点，与相交于点．若，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线，相似三角形的判定与性质，由点，分别是，的中点，可得是中位线，根据性质有，，证明，然后根据相似三角形的性质和线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵点，分别是，的中点， ∴是中位线， ∴，， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键． 设通道的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【详解】解：设通道的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 故答案为：6． 19. 如下图，在中，，，，点D在边上，，于点E，连接，则的面积等于______． 【答案】78 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质，过点A作于点G，利用勾股定理求得，再利用的面积公式求得，证明，可得，从而可得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过点A作于点G， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：78． 20. 已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为__________． 【答案】3或或或 【解析】 【分析】将△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分别分AB=BC=6，AC=6，进行解答． 【详解】解：∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点， 如图，若∠ABC=90°， 则∠ABC的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点， 过点D作DF⊥AB，垂足为F， 当AB=BC=6， 则DF=BC=3； 当AC=6， 则AB=BC==， ∴DF=BC=； 如图，若∠BAC=90°，过点D作DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD，AD=DF， 又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD， ∴△BAD≌△BFD（AAS）， ∴AB=BF， 当AB=AC=6， 则BC=， ∴BF=6，CF=， 在正方形ABEC中，∠ACB=45°， ∴△CDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD=； 当BC=6， 则AB=AC==， 同理可得：， 综上：点D到直线AB的距离为：3或或或， 故答案为：3或或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答． 三、解答题（本大题共8个小题，满分78分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 21. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，绝对值化简，负整数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再利用二次根式的加减法运算法则计算得出答案； （2）先化简二次根式，利用完全平方公式去掉括号，再计算加减即可得出答案； （3）先化简二次根式，绝对值，计算负整数幂，再计算二次根式乘法，最后计算加减即可得出答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 22. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：∵， ， ，． 23. ； ； ； （1）写出_________； （2）猜想：_________； （3）由以上规律，计算的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）观察已知等式找到规律，即可求解； （）根据规律直接得出结果即可； （）利用（）中结论及有理数的混合运算进行计算即可； 本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键． 【小问1详解】 ∵； ； ； ； ； 【小问2详解】 ； ； ； ； ； 【小问3详解】 由（）可得， ． 24. 已知：如图，中，，与交于点，与、分别交于点、． （1）已知点是的中点，求证：； （2）已知，四边形的面积为，求的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由可证明根据相似三角形的性质得，同理，最后由点是的中点即可求证； （）证明，由性质可得，同理，再证明，则，设，则，最后代入即可求值； 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则， ∴四边形的面积为， ∴， 解得， ∴． 25. 如图，在中，交于点，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． （2） ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形ABCD为菱形， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出，，再根据，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，证明四边形ABCD为菱形，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键． 26. 某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售A产品每次的增长率； （2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？ 【答案】（1） （2）1万元 【解析】 【分析】（1）设该公司销售产品每次的增长率为，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润每套的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该公司销售产品每次的增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该公司销售产品每次的增长率为． 【小问2详解】 设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答尽量减少库存， ． 答：每套产品需降价1万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 27. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离（结果保留根号）. 结合图①，完成解答过程. （1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为 ； （2）如图③，E、F是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合，点A的对称点为点.若，，则的长为 . 【答案】[教材呈现]；（1）；（2） 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了矩形性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证得△ADF∽△DCE是解题的关键． [教材呈现]由四边形是矩形，得到，，，根据勾股定理得到，通过，得到，列方程即可得到结果； （1）证明，得到，求出，由即可求解； （2）作于，在中，根据勾股定理求得，，进而在中求得． 【详解】解：[教材呈现]∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴点A到直线的距离； [拓展] （1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 故答案为：； （2）如图③，作于， ∵矩形，，， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设则， ∵将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二学期期末学情抽测 初三数学样题 （时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，请考生仔细阅读答题纸上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2．考试结束后，监考人员只收答题纸． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母代号选出来填涂在答题纸上） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 2. 以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（ ） A. 2、3、4、5 B. 2、3、4、6 C. 1、2、3、4 D. 1、4、9、16 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且和互相平分 C. 且 D. 且 5. 下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①② D. ③④ 6. 若一元二次方程的系数满足，则方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 7. 下列关于的叙述错误的是（ ） A. 是无理数 B. 数轴上不存在表示的点 C. D. 边长为的正方形面积是10 8. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　） A. 1.25尺 B. 56.5尺 C. 6.25尺 D. 57.5尺 9. 如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，，则的长为（ ） A. 11 B. 12 C. 12.5 D. 14 10. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 12. 如图，矩形中，，，点P在对角线上，过点P作，交边，于点M，N，过点M作交于点E，连接，，．下列结论： ①； ②四边形的面积不变； ③当时，； ④的最小值是20．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．只要求填写最后结果） 13. 已知线段、，若，则______． 14. 在中，分别交、于点、；若，，，则的长为______． 15. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 16. 若，则________． 17. 如下图，在中，点，分别是，的中点，与相交于点．若，则的长是______． 18. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是______． 19. 如下图，在中，，，，点D在边上，，于点E，连接，则的面积等于______． 20. 已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分78分．解答应写出计算过程、文字说明或推演步骤） 21. 计算： （1）； （2）； （3）． 22. 解方程： （1）； （2）． 23. ； ； ； （1）写出_________； （2）猜想：_________； （3）由以上规律，计算的值． 24. 已知：如图，中，，与交于点，与、分别交于点、． （1）已知点是的中点，求证：； （2）已知，四边形的面积为，求的面积． 25. 如图，在中，交于点，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求证：四边形是菱形． 26. 某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售A产品每次的增长率； （2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？ 27. 【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离（结果保留根号）. 结合图①，完成解答过程. （1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为 ； （2）如图③，E、F是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合，点A的对称点为点.若，，则的长为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $