精品解析：河北省保定市涿州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，总分100分，考试时长90分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共16小题，每小题2分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 都不对 2. 如图，在平行四边形中，已知，，的平分线交边于点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 都不对 3. 如图，已知矩形中，，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 4. 在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ） A. B. C. D. 6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（ ） A. 160 B. 165 C. 170 D. 175 7. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 8. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/ 0 10 20 30 声速/（） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化中，自变量是温度 B. 温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时，声速为 D. 当温度每升高，声速增加 9. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，，那么的长为(　　) A. 2 B. C. D. 11. 如图，四边形中，E、F分别是边的中点，G、H分别是对角线的中点，若，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 12. 已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 13. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ） A. 众数是5 B. 平均数是5 C. 中位数是5 D. 以上都不对 14. 在同一平面直角坐标中，关于下列函数：①；②；③；④的图象，说法不正确的是（ ） A. ②和③的图象相互平行 B. ②的图象可由③的图象平移得到 C. ①和④的图象关于轴对称 D. ③和④的图象关于轴对称 15. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，这个错误的的值是（ ）cm … 0 1 2 3 … … 0.7 1.2 1.5 1.9 … A. 0.7 B. 1.2 C. 1.5 D. 1.9 16. ，两地相距，甲、乙两车沿同一条路从地到地．，分别表示甲、乙两车离开地的距离与时间之间的关系，当乙车出发时，两车相距是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）． 17. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 18. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5．成绩波动较大的是__________．（填甲或乙） 19. 如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是________． 20. 含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是__________（为正整数）． 三、解答题：（本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. （1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 22. 如图，一次函数的图象经过点与，与正比例函数的图象交于点， （1）求正比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使正比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； （3）求的面积． 23. 四边形不具有稳定性，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，正方形当改变内角大小就变成菱形，若，请你写出菱形的面积与正方形的面积之比，再写出理由． 24. 某中学为了解学生对航空航天知识的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下． a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 频数 7 9 12 16 6 b．“”这组的具体成绩（单位：分）是：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79． 根据以上信息，解决下列问题． （1）此次测试成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为________； （2）该测试成绩的平均数是76.4分，甲的成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗?请说明理由； （3）请对该校学生航空航天知识的掌握情况作出合理的评价． 25. 如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证： （1）四边形是平行四边形； （2）若，，，求证四边形是矩形． 26. 某超市出售两种练习本，普通练习本的进价为2元/个，零售价是3元/个；精装练习本的进价为7元/个，零售价是10元/个． （1）请你写出每个普通练习本的利润是__________元，每个精装练习本的利润是__________元； （2）六一期间，该超市计划购进两种练习本500本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍．设购买普通练习本个，全部售出后获得的利润为元； ①求关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围； ②该超市应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期末教学质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，总分100分，考试时长90分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共16小题，每小题2分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．利用算术平方根的定义求解即可． 【详解】解： ， ． 故选：A． 2. 如图，在平行四边形中，已知，，的平分线交边于点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据四边形是平行四边形，得到，，，利用平行线性质，结合平分，得到，利用等角对等边，得到，即可得解． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 3. 如图，已知矩形中，，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，，，利用勾股定理求得，由此可求得，进而求得的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ． 故选：A． 4. 在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将点P的横坐标代入求得点P的纵坐标，然后即可确定方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴当时，， ∴， 关于x、y的方程组的解为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系． 5. 如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可直接得出答案． 【详解】解：∵函数图象的纵坐标表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度， ∴由函数图象可知这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m， 故选：D． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，准确识图是解题的关键． 6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（ ） A. 160 B. 165 C. 170 D. 175 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义直接解答即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列，中位数是第8个数， 则这些运动员成绩的中位数为165cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义． 7. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 8. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/ 0 10 20 30 声速/（） 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（ ） A. 在这个变化中，自变量是温度 B. 温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时，声速为 D. 当温度每升高，声速增加 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了自变量，因变量，用表格表示函数关系，从表格抽象出自变量与因变量关系是解题的关键． 根据自变量、因变量的概念，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：A、在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， 说法正确，故此选项不符合题意； B、根据表格中数据，可得温度越低，声速越慢，温度越高，声速越快， 说法正确，故此选项不符合题意； C、根据表格中数据可知，当空气温度为时，声速为， 说法正确，故此选项不符合题意； D、根据表格中数据可知：，，，，， 当温度每升高，声速增加， 说法不正确，故此选项符合题意； 故选：D． 9. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D． 【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意； B、原计算错误，该选项不符合题意； C、正确，该选项符合题意； D、原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键． 10. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，，那么的长为(　　) A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的对角线的性质得到是等边三角形，再利用矩形的性质用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴，且 ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查的是矩形的性质与勾股定理的应用，掌握相关知识点是解题关键． 11. 如图，四边形中，E、F分别是边的中点，G、H分别是对角线的中点，若，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由中位线性质可证明，由此即可解题． 【详解】解：E、F分别是边的中点，G、H分别是对角线的中点， ∴，. 又∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题关键． 12. 已知直线过点和点，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知随着的增大而减小，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 13. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ） A. 众数是5 B. 平均数是5 C. 中位数是5 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数的定义及求法，熟练掌握众数、平均数、中位数的定义及求法是解决本题的关键．根据众数、平均数、中位数的定义及求法，即可一一判定． 【详解】解：A、月用水量为5吨的用户有8户，数量最多，故这组数据的众数是5，该选项符合题意； B、平均数为，故该选项不符合题意； C、这组数据共有20个，将月用水量由小到大排列，第10，11个数据为4和5，故中位数为，该选项不符合题意； D、根据前几个选项的判断，该选项不符合题意； 故选：A． 14. 在同一平面直角坐标中，关于下列函数：①；②；③；④的图象，说法不正确的是（ ） A. ②和③的图象相互平行 B. ②的图象可由③的图象平移得到 C. ①和④的图象关于轴对称 D. ③和④的图象关于轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握“当一次函数的比例系数相等时，其图象平行”，“当任意横坐标相同，纵坐标互为相反数时，两图象关于x轴对称”；“当任意纵坐标相同，横坐标互为相反数时，两图象关于y轴对称”是解题的关键．根据一次函数的比例系数相等则两直线平行，比例系数互为相反数，则两直线关于轴对称进行判断，从而可确定答案． 【详解】解：A、∵②；③两函数比例系数相等， ∴②和③的图象相互平行，正确，故此选项不符合题意； B、∵②；③两函数比例系数相等， ∴②和③的图象相互平行， ∴②的图象可由③的图象向上平移2个单位得到，正确，故此选项不符合题意； C、∵①关于轴对称的直线为，而④为， ∴①和④的图象不是关于y轴对称，原说法错误，故此选项符合题意； D、∵③关于轴对称的直线为：，即； ∴③和④的图象关于轴对称，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 15. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，这个错误的的值是（ ）cm … 0 1 2 3 … … 0.7 1.2 1.5 1.9 … A. 0.7 B. 1.2 C. 1.5 D. 1.9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．设过点，的函数解析式为，求出其解析式，然后验证点也在直线上，而点不在该直线上，从而判定是记录错误的值． 【详解】解： 水位是时间的一次函数，设过点，的函数解析式为， 则， 解得， 即， 当，， 当，， 点也在直线上，而点不在直线上，与题中有一个的值记录错误相符合，故记录错误的值为1.2． 故选：B． 16. ，两地相距，甲、乙两车沿同一条路从地到地．，分别表示甲、乙两车离开地的距离与时间之间的关系，当乙车出发时，两车相距是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以甲、乙两车沿同一条路行驶的速度，从而可以解答本题． 【详解】解：甲的速度是， 乙的速度是， 当乙车出发时，两车相距： 故选：A 【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）． 17. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 18. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5．成绩波动较大的是__________．（填甲或乙） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的概念和意义，理解方差的意义是解题的关键．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．比较甲、乙的方差即可得解． 【详解】解： 乙的方差是1.5，甲的方差是1.1，， 成绩波动较大的是乙． 故答案为：乙． 19. 如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是________． 【答案】19 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5， ∴正方形的面积是5×5=25， ∵△AEB的面积是AE×BE=×3×4=6， ∴阴影部分的面积是25-6=19， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力． 20. 含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，，则点的坐标是__________（为正整数）． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明是等边三角形，得到，进而得到，则，根据所给图形，依次求出点，发现规律即可解决问题． 【详解】解：过点作轴于点， ∵含角的菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 同理可得出：，， 依此类推可知点的坐标是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定等等，正确求出的坐标找到规律是解题的关键. 三、解答题：（本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. （1）计算：； （2）计算：； （3）计算：； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）先把根式进行化简，然后合并同类二次根式即可求解； （2）先将除法化为乘法，然后进行约分化简即可； （3）先利用二次根式性质，化简二次根式，计算乘法，最后合并同类二次根式即可求解； （4）根据二次根式的乘除运算求解即可 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 22. 如图，一次函数的图象经过点与，与正比例函数的图象交于点， （1）求正比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使正比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1）正比例函数解析式为；一次函数解析式为； （2）； （3）1； 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数，待定系数法求解析式，利用图象法求不等式解集，熟练掌握待定系数法求解析式，运用数形结合思想是解题的关键． （1）首先求出一次函数的解析式，再求出点M坐标，利用待定系数法确定正比例函数的解析式即可； （2）根据图象，正比例函数的图象在一次函数的图象上方时，写出对应的自变量的取值范围即可； （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解： 一次函数的图象经过点与， ， 解得， 一次函数解析式为， 点在一次函数解析式为图象上， ， 点． 将代入得，， 解得． 正比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：当正比例函数的值大于一次函数的值时，即当正比例函数的图象在一次函数图象的上方时，所对应自变量的取值范围，根据图象可知，在点左侧时满足条件， ． 【小问3详解】 解：过点作轴，如图， ，， ，， ． 故的面积为1． 23. 四边形不具有稳定性，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，正方形当改变内角大小就变成菱形，若，请你写出菱形的面积与正方形的面积之比，再写出理由． 【答案】， 理由：过点作于点，如图， 设正方形的边长为，则， 四边形为菱形 ， 在中，， ， ，， ． 答：菱形的面积与正方形的面积之比为． 【解析】 【分析】本题考查了正方形及菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，关键是得出菱形的高与边的关系．过点作于点，设正方形的边长为，根据正方形性质和菱形性质，可得，利用含30度角的直角三角形的性质得，再计算菱形和正方形的面积即可得解． 【详解】略 24. 某中学为了解学生对航空航天知识的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下． a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 频数 7 9 12 16 6 b．“”这组的具体成绩（单位：分）是：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79． 根据以上信息，解决下列问题． （1）此次测试成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为________； （2）该测试成绩的平均数是76.4分，甲的成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗?请说明理由； （3）请对该校学生航空航天知识的掌握情况作出合理的评价． 【答案】（1）78.5，； （2）不正确，理由见解答； （3）答案不唯一，合理均可． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）答案不唯一，合理均可． 【小问1详解】 解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为（分）， 所以这组数据的中位数是78.5分， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为， 故答案为：78.5，； 【小问2详解】 不正确， 因为甲的成绩77分低于中位数78.5分， 所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩； 【小问3详解】 测试成绩不低于80分的人数占测试人数的，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）． 【点睛】本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键． 25. 如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证： （1）四边形是平行四边形； （2）若，，，求证四边形是矩形． 【答案】（1） 证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， 又，， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2） 证明： ， ， 是直角三角形，且， ， ∵四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理，矩形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据四边形是平行四边形，得到，，证明，得到，即可得证； （2）根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，且，进而得到，由此根据一个角是直角的平行四边形是矩形，即得证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 某超市出售两种练习本，普通练习本的进价为2元/个，零售价是3元/个；精装练习本的进价为7元/个，零售价是10元/个． （1）请你写出每个普通练习本的利润是__________元，每个精装练习本的利润是__________元； （2）六一期间，该超市计划购进两种练习本500本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍．设购买普通练习本个，全部售出后获得的利润为元； ①求关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围； ②该超市应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）1；3； （2）当超市购买普通练习本个，精装练习本个时，利润最大为元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，求出函数关系式，利用一次函数的性质是解题的关键． （1）根据利润等于零售价减进价即可得解； （2）①设购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，列出一元一次不等式，求出的取值范围，根据利润等于两种练习本的利润之和，即可求出关于的函数关系式； ②根据随的增减情况及的取值范围，确定当为何值时取最大值，并将的值代入函数关系式求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 每个普通练习本的利润是元， 每个精装练习本的利润是元． 【小问2详解】 解：① 设购买普通练习本个，则购买精装练习本个， 由题意得，，即， 解得， 全部售出后获得的利润为． 关于的函数关系式为（）． ② （），， 随的增大而减小， , 当时，，利润最大，此时元， 答：当超市购买普通练习本个，精装练习本个时，利润最大为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $