精品解析：广西南宁市第三中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

南宁三中2023-2024学年度下学期高二期末考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A. 6 B. 10 C. 15 D. 21 4. 近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 附：， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 以下结论中错误的是（ ） A. 有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 B. 没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 C. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关 5. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱台中，平面，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，则点到直线的最大距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对得6分.有选错的得0分，部分选对得部分分） 9. 已知函数(其中)的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 10. 已知圆，直线，下列说法正确的是（ ） A. 若圆关于直线对称，则 B. 若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为 C. 若，动点在圆上，则的最大值为30 D. 若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B. 若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C. 若且，则 D. 若且，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式中项的系数为________. 13. 已知数列满足，则其前9项和 ___ . 14. 已知函数，其中表示不超过的最大整数.如：，以下三个结论： ①； ②集合的元素个数为9； ③对任意都成立，则实数的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是___. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的公差与的等差中项为5，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前20项和T20. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，. （1）求证：直线平面； （2）若点为线段的中点，求二面角的正弦值. 17. 据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响． （1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率； （2）设小王获得的年薪为（单位：万元），求的分布列及其数学期望． 18. 设函数. （1）当时， ①求函数的单调区间； ②对于成立，求实数的取值范围. （2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围； （3）过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2023-2024学年度下学期高二期末考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法运算以及复数的几何意义即可求解. 【详解】由复数，所以其对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 2. 已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可. 【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为. 故选：A 3. 已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A. 6 B. 10 C. 15 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算结合数量积的定义求解即可. 【详解】由，且与的夹角为， ， ，故C正确. 故选：C 4. 近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 附：， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 以下结论中错误的是（ ） A. 有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 B. 没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 C. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关 【答案】D 【解析】 【分析】首先完善列联表，并计算，并根据选项和和比较大小，判断选项. 【详解】完善列联表如下： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 总计 初中生 160 40 200 高中生 140 60 200 总计 300 100 400 零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，则 ， 没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关. 因为，，所以有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关. 故选：D 5. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为上的一点，垂直于轴，为轴上一点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数形结合，通过三角形相似找到的关系，建立关于的等式，进行求解． 【详解】根据题意作下图： ， ， 垂直于轴， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 故选：B． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】合理分析题意，利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为，因为 ，所以. 故选：C. 7. 如图，在三棱台中，平面，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将棱台补全为棱锥，利用等体积法求到面的距离，结合线面角的定义求与平面所成角的余弦值. 【详解】将棱台补全为如下棱锥， 由，易知：， 由平面平面，则， 所以，故，所以， 若点到面的距离为，又， 则，可得， 综上，与平面所成角，则，即， 则， 故选：B. 8. 已知点，则点到直线的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得出，又，进一步可得点位于函数与的图象中间（包括边界），画出图形，可知所求即为函数上切线斜率为1的点到直线的距离，进一步即可求解. 【详解】由，得， 又，当时，，当时，， 令的定义域为，令，解得：， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，函数与图象如图， 由此可知：可知点位于图中阴影部分区域， 则点到直线最大距离为函数上切线斜率为1的点到直线的距离， ， 设，得， 点到的距离为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是得出点的运动范围以及所求即为：函数上切线斜率为1的点到直线的距离，由此即可顺利得解. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求，全部选对得6分.有选错的得0分，部分选对得部分分） 9. 已知函数(其中)的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】由图像可得，，，从而可得的解析式，再根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】依题意得， 因为，所以，故A正确； 因为， 所以，解得. 因为，所以. 所以当时，，故B错误； 因为，令，解得， 则的图象关于直线对称，故C正确； 因为当时，，所以， 所以在上的值域为，故D错误. 故选:AC. 10. 已知圆，直线，下列说法正确的是（ ） A. 若圆关于直线对称，则 B. 若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为 C. 若，动点在圆上，则的最大值为30 D. 若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.由圆的对称性可知，直线过圆心，B.判断直线所过的定点，当定点为弦的中点时，弦长最短，结合弦长公式，即可求解，C.利用数量积的坐标表示，结合圆的方程，即可判断，D.利用切线长公式，结合直线与圆的位置关系，即可判断D. 【详解】对于A，若圆关于直线对称，则圆心在直线上， 将代入方程解得，故正确. 对于，直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短， 此时，圆心到直线的距离为 弦长为，故错误. 对于，设，，，， 由圆的方程可知，的最大值为5，所以的最大值为，故正确. 对于，因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直， 为点到直线的距离，为，由勾股定理得，故D正确. 故选：ACD 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线右支上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若的内切圆圆心为，直线的斜率为 B. 若的内切圆圆心为的外接圆半径为 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.根据双曲线的性质，结合内心的性质，确定内切圆的圆心在轴的射影为双曲线的顶点，再结合二倍角公式和正切公式，即可判断A，根据A的结果判断是直角三角形，再结合正弦定理判断B；由斜率结合三角形的正切公式，表示和，再根据双曲线的定义和离心率公式，即可判断C；首先由正切值求，再根据余弦定理求和，结合离心率公式，即可判断D. 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点， 则， ，得，连接， 则， 所以，A选项正确； 同理，是直角三角形.. 由正弦定理，得选项错误； 若，则， 且，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以 因为，即， 解得，若，即， 则 即，即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：双曲线焦点三角形内切圆的圆心在长轴的射影为顶点. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式中项的系数为________. 【答案】30 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数. 【详解】展开式的通项表达式为， 当时，， . 故答案为:30. 13. 已知数列满足，则其前9项和 ___ . 【答案】69 【解析】 【分析】由分组求和法即可得解. 【详解】 . 故答案为：69. 14. 已知函数，其中表示不超过的最大整数.如：，以下三个结论： ①； ②集合的元素个数为9； ③对任意都成立，则实数的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是___. 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用给定定义直接判断①，由周期性可知，的周期为，故讨论即可，求出每个元素判断②，利用题意分离参数，得到，再结合给定定义求解，最后得到参数范围即可. 【详解】对于①，由知， ，故①正确. 对于②，由周期性可知，的周期为，故讨论即可， 易得当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，故该集合元素个数为6，故②错误. 对于③，当时， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 而对任意都成立，故恒成立， 令，即，而显然，可得恒成立， 即.， 故答案为：①③. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函数最值，最后得到所要求的参数范围即可． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的公差与的等差中项为5，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前20项和T20. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用等差数列的性质，求得，再由，列出方程求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）得数列，结合等差数列的求和公式和裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 因为为等差数列，且与的等差中项为5， 所以，解得 又因为，所以，解得， 因为，所以，所以， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1），可得数列，可得， 所以， 则 . 故数列的前20项和为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，. （1）求证：直线平面； （2）若点为线段的中点，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得. （2）在平面内作，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 由平面平面，得， 由底面是菱形，得，又平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 在菱形中，，，则为正三角形，， ，在平面内作，则直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则，， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 设二面角的平面角为，， 则，所以二面角的正弦值. 17. 据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响． （1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率； （2）设小王获得的年薪为（单位：万元），求的分布列及其数学期望． 【答案】（1） （2） 0 10 12 18 ． 【解析】 【分析】（1）记事件：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，记事件：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 记事件：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试， 记事件：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试， 则，， 显然与互斥，所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率． 【小问2详解】 依题意的可能取值为，，，， 则，， ，， 则的分布列如下表： 0 10 12 18 故． 18. 设函数. （1）当时， ①求函数的单调区间； ②对于成立，求实数的取值范围. （2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围. 【答案】（1）①单调递增区为，单调递减区间为；② （2） 【解析】 【分析】（1）①首先求函数的导数，利用导数求函数的单调性；②不等式等价于，构造函数，转化为，利用导数求函数的最小值即可； （2）首先利用公切线的几何意义，变形得到，构造函数，利用导数求函数的值域，转化为与函数图象有2个交点问题，根据函数的值域即可求解. 【小问1详解】 ①当时，， 当时，，当时，， 的单调递增区为，单调递减区间为； ②这里讨论的是任意大于或等于1的数， 由，得：， 整理得：， 令恒成立，可以得到， 可得， 令， 显然在上为增函数，则 （i）当时，得， 得在上递增， 恒成立，故满足题意； （ii）当时，令，得(舍). 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又， 极小值，不可能恒成立，不符合题意， 综上可得，实数的取值范围是； 【小问2详解】 设公切线切于点，切于， 则有， 即， 得，代入， 得 构造函数，. 当单调递减，当单调递增， 所以 又当时，，当时，， 即，得. 19. 已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围； （3）过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）利用坐标表示，即可求解； （3）首先联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，并求点的坐标，并表示，并利用韦达定理化简，求定值. 【小问1详解】 由题可得， ，又， 解得，椭圆方程为； 【小问2详解】 若为钝角，则， 由题可得， ，又， 解得; 【小问3详解】 由题可知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为， 设，联立， 消去得， ， 直线的方程为，令，得， . 同理可得. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标表示几何关系，比如直线方程，交点坐标，弦长，再转化为韦达定理表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $