精品解析：山东省东营市河口区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年第二学期东营市河口区期末考试 八年级数学试题 （总分 120 分 考试时间 120 分钟） 注意事项： 1． 本试题分第Ⅰ和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共2页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号ABCD涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再涂改其他答案．第Ⅱ卷要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：共10小题，每题3分，共30分． 1. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　） A. 四条边都相等 B. 四个角都相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等且互相平分 3. 下列各式计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A B. C. D. 6. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一块三角形余料，它的边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点P、N分别在上，则加工成的正方形零件的边长是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A. B. C. D. 0 10. 如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若G为的中点，则四边形是正方形； ②若G为上任意一点，则； ③点G在运动过程中，的值为定值4； ④点G在运动过程中，线段的最小值为． A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分． 11 已知，那么________． 12. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为_____． 13. 如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 __________． 14. 如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点P处，，则女孩的影子长为_______． 15. 如图，在菱形中，对角线，，过点A作于点E，则为______． 16. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ______________． 17. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似． 18. 如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是_______． 三、解答题：本题共7小题，共62分． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1） （2） 21. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、． （1）在第一象限内画出，并直接写出点、坐标； （2）若线段上有一点，请写出点P在上对应点的坐标． 22. 如图，在正方形中，在边上取中点E，连接，过点E作交于点G、交延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，交于点O，若，求四边形的面积． 24. 在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕．当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30个．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2个，但售价不能超过10元． （1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少； （2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价定为多少元． 25. 综合与探究 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期东营市河口区期末考试 八年级数学试题 （总分 120 分 考试时间 120 分钟） 注意事项： 1． 本试题分第Ⅰ和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；本试题共2页． 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号ABCD涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再涂改其他答案．第Ⅱ卷要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：共10小题，每题3分，共30分． 1. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故选：A． 2. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　） A. 四条边都相等 B. 四个角都相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等且互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是菱形、矩形、正方形的性质，解题关键是熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质； 根据菱形、矩形、正方形性质对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】A、菱形、正方形四条边都相等，矩形四条边不都相等，故本选项不符合题意； B、矩形、正方形四个角相等，菱形的四个角不相等，故本选项不符合题意； C、菱形、矩形、正方形均具有对角线互相平分，故本选项符合题意； D、菱形的对角线互相平分但不相等，矩形、正方形对角线相等且互相平分，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A．、不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意． B．2与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意． C．，故选项正确，符合题意． D．不能化为2，不能化为，不能提公因数化简，故选项错误，不符合题意． 故选C 【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式再把被开方数相同的二次根式进行合并．解答此题的关键是，合并方法为系数相加减，根式不变． 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ， 五线谱是由等距离五条平行横线组成的， ， ， 解得， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30-2x）（20-x）=468． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 7. 如图，有一块三角形余料，它的边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点P、N分别在上，则加工成的正方形零件的边长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，从而得出边长之比，进而求出正方形的边长； 【详解】解：设正方形零件的边长为， 在正方形中，， ， ， ， 即：． 解得：． 故选：A． 8. 如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 根据中点四边形可得四边形是平行四边形，进而添加一个直角或者对角先线相等，可得矩形，而添加邻边相等得出四边形为菱形，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 依题意，． ∴， ∴四边形是平行四边形， A．添加，则四边形为矩形，故该选不符合题意； B．添加，可得四边形为菱形，符合题意； C．添加，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； D．添加，则，可得四边形为矩形，故该选不符合题意； 故选：B． 9. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据实数a和b在数轴上的位置，确定出a和b取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质，将原式化简，求出答案即可． 【详解】由数轴得，， ，，， ； 故选：B． 10. 如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若G为中点，则四边形是正方形； ②若G为上任意一点，则； ③点G在运动过程中，的值为定值4； ④点G在运动过程中，线段的最小值为． A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定①正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则，即可判定②正确；证明，，从而得，即可判定③正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小， 利用求得，即得线段的最小值为，即可判定④正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 于点，于点， ， 四边形是矩形，，， ∴，， ∵G为的中点， ∴ ∴ ∴四边形是正方形，故①正确； 连接， ∵四边形矩形， ∴， 在与中， ， ， ， ，故②正确； ∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 即的值为定值4，故③正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在 中，， ∵ ∴ ∴， ∴线段的最小值为，故④正确； ∴正确的有①②③④． 故选：A． 【点睛】此题考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．解题关键是熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分． 11. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可设，，其中，代入进行分式的化简即可得到答案，此题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可设，，其中， ∴， 故答案为：． 12. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了位似图形的面积之比，根据位似图形的性质和得到四边形和的相似比为，即可得到答案． 【详解】解：：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴四边形和的相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为． 故答案为． 13. 如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 __________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可得的长度，再根据是直角三角形的中线即可解答． 【详解】由题意可知，， 又，且点D为边的中点， ． 故答案为：3． 14. 如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为O，把路灯看成一个点光源，一名身高的女孩站在点P处，，则女孩的影子长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理得到，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，∵， ， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，对角线，，过点A作于点E，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和相勾股定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，即可求出长，然后利用菱形的面积，即可得出答案． 【详解】解：∵是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 16. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ______________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，明白根据关于的方程有两个不相等的实数根，则方程为一元二次方程且，得出不等式和求解是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 即，且， 解得：且， ∴的取值范围是：且， 故答案为且． 17. 如图，在中，，．动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过__________秒时与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 设经过t秒时，与相似，则，，，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t秒时，与相似， 则，，， ∵， ∴当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：； 故答案为：或． 18. 如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，与图形有关的规律探究；由黄金三角形的定义得，同理求出，，可得第1个黄金三角形的腰长为，第2个黄金三角形的腰长是，第3个黄金三角形的腰长是，第4个黄金三角形的腰长是，得出规律第n个黄金三角形的腰长是，即可得出答案． 【详解】解：∵是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为， ∴， ， ∵是第2个黄金三角形， ∴，第2个黄金三角形的腰长是， ， ∵是第3个黄金三角形， ∴，第3个黄金三角形的腰长是， ， ∴第4个黄金三角形的腰长是， … 第n个黄金三角形的腰长是， 第2024个黄金三角形的腰长是， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共62分． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算乘除法，最后计算加减法即可． （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，在合并同类二次根式即可； 小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）利用因式分解法即可解答； （2）一元二次方程根的判别式以及求根公式，即可解答。 【小问1详解】 解： 或 ， ． 小问2详解】 解：∵ ∴， ∴， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、． （1）在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标； （2）若线段上有一点，请写出点P在上的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析，、； （2）的坐标为：． 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换以及位似图形个性质，正确得出对应点位置是解题关键． （1）延长、到、长度找到各点的对应点，顺次连接即可，利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用位似图形对应点坐标扩大为原来的2倍，进而得出答案． 【小问1详解】 解：（1）如图所示：即为所求， 点坐标为、点坐标为； 【小问2详解】 解：线段上有一点， 点P在上的对应点的坐标：． 22. 如图，在正方形中，在边上取中点E，连接，过点E作交于点G、交延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据正方形的性质得出，根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，根据相似得出比例式，代入求出即可． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形，， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ， ∵E为的中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 解得：， ， ． 23. 如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）连接，交于点O，若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且即可； （2）利用矩形的性质求出，，进而即可求出面积． 【小问1详解】 ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵，是边上的中线， ∴． 由（1）知，四边形是矩形， ∴． 在中，． ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 24. 在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕．当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30个．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2个，但售价不能超过10元． （1）若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少； （2）若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价定为多少元． 【答案】（1）涨价的百分率是； （2）此时小蛋糕的售价定为9元 【解析】 【分析】（1）设涨价的百分率为x，根据“售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元”列一元二次方程，求解即可； （2）设售价提高y元，根据“销售总额等于售价乘以销售量”列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设涨价的百分率为x， 由题意得， 解得（舍去）， 答：涨价的百分率是； 【小问2详解】 解：设售价提高y元， 由题意可得， 解得（舍去）， （元）， 答：此时小蛋糕的售价定为9元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25. 综合与探究 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为_____________； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，点E，F分别在边，上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）通过证明，利用相似三角形的性质，即可求解； （3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，延长交于点，勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：结论：，理由如下： 设与相交于点P，如图1中， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 结论：，理由如下： ∵， ∴． 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图3，过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H． ∴ ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$