精品解析：山东省菏泽市牡丹区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若a＜b，则下列各式中一定成立的是（ ） A. a+2＞b+2 B. a-2＞b-2 C. -2a＞-2b D. ＞ 2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 如图，在方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A B. C. D. 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A 直角三角形两锐角互余 B. 全等三角形对应角相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 6. ，，都有意义，下列等式①；②；③；④中一定不成立的是（　　） A. ②④ B. ①④ C. ①②③④ D. ② 7. 若一个正边形的每个外角为，则这个正边形的边数是（ ） A. B. C. D. 8. 观察下列等式： ① ② ③…… 那么第n（n为正整数）个等式为（ ） A. B. C. D. 9. 已知不等式组的解集是，则是（ ） A. 4 B. －4 C. 7 D. －7 10. 用正三角形、正四边形和正六边形按如下规律镶嵌平面图案，第一个图案中有正三角形6个，第二个图案中有正三角形10个，…，则第12个图案中正三角形的个数为（ ） A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 当x______时，分式无意义． 12. 如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式_______________． 13. 右边的框图表示解不等式的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据______________________． 14. 如图，直线与的交点坐标为，则关于x的不等式的解集为________． 15. 如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为__________． 16. 在▱中，对角线，相交于点，点为的中点，如果▱周长为，，那么______． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 本学期学习了一元一次不等式的解法，下面是甲同学的解题过程： 解不等式． 解：不等式两边同时乘以4，得： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化1，得： 不等式的解集在数轴上表示为： 上述甲同学的解题过程从第___步开始出现错误，错误的原因是____．请帮甲同学改正错误，写出完整的解题过程，并把正确解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）将向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，画出； （2）画出与关于原点O的对称图形，并写出点的坐标． 19. 已知a是不等式的最小整数解，求的值． 20. 如图，将ABC绕点B顺时针旋转90°得到DBE（点A，点C的对应点分别为点D，点E）． （1）根据题意补全图形； （2）连接DC，CE，如果∠BCD＝45°．用等式表示线段DC，CE，AC之间的数量关系，并证明． 21. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 例如：方程 的解为 ，不等式组 的解集为 ，因为 ，所以，称方程为不等式组的关联方程. （1）在方程①，②，③中，不等式组 的关联方程是 ；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可） （3）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围. 22. 已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC， （1）证明ABDF是平行四边形； （2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长． 23. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 24. 在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当 AB＞AC时，∠C＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整： 　 　　　 　 （1）在△ABC中，AD是BC边上的高线． ①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD； ②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD ∠CAD．（填“>”，“<”，“=”） 证明：∵ AD是BC边上的高线， ∴∠ADB=∠ADC=90°． ∴ ∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C． ∵AB＞AC， ∴ （在同一个三角形中，大边对大角）． ∴∠BAD ∠CAD． （2）在△ABC中，AD是BC边上的中线． ①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD； ②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD ∠CAD．（填“>”，“<”，“=”） 证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若a＜b，则下列各式中一定成立的是（ ） A. a+2＞b+2 B. a-2＞b-2 C. -2a＞-2b D. ＞ 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、a+2＜b+2，故A选项错误； B、a-2＜b-2，故B选项错误； C、-2a＞-2b，故C选项正确； D、 ，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键． 2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 如图，在的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 【详解】解：如图，当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， ∴点C的个数有3个， 故选：C． 4. 如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出平移后的图形，再利用旋转的性质画出旋转后的图形即可求解． 【详解】解：先画出△ABC平移后的△DEF，再利用旋转得到△A'B'C'， 由图像可知A'（-1，-3）， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数． 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A. 直角三角形两锐角互余 B. 全等三角形对应角相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】先分别写出这些定理的逆命题，再进行判断即可． 【详解】解：A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题； B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题； C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题； D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题． 故选：B． 【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 6. ，，都有意义，下列等式①；②；③；④中一定不成立的是（　　） A. ②④ B. ①④ C. ①②③④ D. ② 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，判断出，，，根据分式的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵ ，，都有意义， ∴ ，，， ①，仅需，即时成立； ②，不成立； ③，（右侧分子分母同时除以2），因此成立； ④，即，当时成立； 故仅有②一定不成立， 故选D 【点睛】本题综合考查了分式的基本性质，解题关键是根据题意得出、和的范围． 7. 若一个正边形每个外角为，则这个正边形的边数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，由多边形的外角和为，结合每个外角的度数，即可求出的值，此题得解，熟记多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】∵一个正边形的每一个外角都是， ∴， 故选：． 8. 观察下列等式： ① ② ③…… 那么第n（n为正整数）个等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．分别观察等式左边第一个数，第二个数，右边的后一个因数之间的关系，可归纳出规律； 【详解】解：①， ②， ③…… …… 第n（n为正整数）个等式为， 故选：D． 9. 已知不等式组的解集是，则是（ ） A. 4 B. －4 C. 7 D. －7 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式组中每一个不等式，再根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：x>2b+3， ∵的解集是， ∴，2b+3=-3， 解得：a=3，b=-3， ∴=(3-1)(-3+1)=-4， 故选：B． 【点睛】本题考查解不等式组，不等式组的解集，代数式求值，熟练掌握不等式组的解集和解不等式组是解题的关键． 10. 用正三角形、正四边形和正六边形按如下规律镶嵌平面图案，第一个图案中有正三角形6个，第二个图案中有正三角形10个，…，则第12个图案中正三角形的个数为（ ） A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】观察可知，后面一个图案比前面一个图案多4个正三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图案有6个正三角形， 第2个图案有个正三角形， 第3个图案有个正三角形， ……， 以此类推，可知第n个图案有个正三角形， ∴第12个图案中正三角形的个数为个， 故选B． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 当x______时，分式无意义． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件：分式的分母等于0，解答即可． 【详解】根据题意可知， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查分式无意义的条件．掌握分式无意义的条件：分式的分母等于0，是解题关键． 12. 如图1，将边长为a大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据左图中的面积=大正方形的面积-剪去的小正方形的面积,右图中的面积=长×宽,由面积不变可得含字母a，b的等式. 【详解】左图中部分的面积=a2-b2,  右图中的面积=(a+b)(a-b), 由图中的面积不变,得. 故答案为. 【点睛】本题考查了利用图形的面积验证平方差公式，根据两个图形的面积相等列出等式是解题的关键. 13. 右边的框图表示解不等式的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据______________________． 【答案】不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变． 【解析】 【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1即可． 【详解】解：∵“系数化为1”这一步时，为负数， ∴依据是：不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变（或不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 14. 如图，直线与的交点坐标为，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】在图中找到两函数图象的交点，根据一次函数图象的交点坐标与不等式组解集的关系即可作出判断． 【详解】解：∵直线l1：y1=k1x+a与直线l2：y2=k2x+b的交点坐标是（1，2）， ∴当x=1时，y1=y2=2. 而当时，即时，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了直线交点坐标与一次函数组成不等式组的解的关系，利用图象即可直接解答，体现了数形结合思想在解题中的应用． 15. 如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作辅助线；证明，得到；求出、的长，即可解决问题， 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，， ∴为等边三角形， ∴，， 由旋转性质可知：，，而， ∴， ∴垂直平分， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，且； 在中，由勾股定理得： ∴， ∴， 在，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，化为最简二次根式，作辅助线构造出全等三角形并求出在等边三角形的高上是解题的关键． 16. 在▱中，对角线，相交于点，点为的中点，如果▱周长为，，那么______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，得到，利用三角形中位线定理得到，进一步可得到，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 点为的中点， 是的中位线， ∴， ▱周长为， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 本学期学习了一元一次不等式的解法，下面是甲同学的解题过程： 解不等式． 解：不等式两边同时乘以4，得： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化1，得： 不等式的解集在数轴上表示为： 上述甲同学的解题过程从第___步开始出现错误，错误的原因是____．请帮甲同学改正错误，写出完整的解题过程，并把正确解集在数轴上表示出来． 【答案】①；利用不等式的性质时漏乘；过程与数轴见解析 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式解题过程，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1问题可解． 【详解】解：第①步开始出现错误，错误的原因是利用不等式的性质漏乘， 正确的步骤是: 不等式两边都乘以4得， 在数轴上表示为： 故答案为：①，利用不等式的性质漏乘． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，画出； （2）画出与关于原点O的对称图形，并写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析 （2）（－2，－4） 【解析】 【分析】（1）先根据平移的性质得到的坐标，然后描出，最后顺次连接即可得到答案； （2）先根据关于原点对称的点的坐标特征得到，然后描出，最后顺次连接即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ∵将向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到，，，， ∴ 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； ∵关于原点O的对称图形是，， ∴． 【点睛】本题主要考查了画平移图形，画与原点对称的图形，熟知相关知识是解题的关键． 19. 已知a是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，分式的化简求值；先化简分式，再求解不等式的最小整数解，再代入计算即可； 【详解】解： ． 由，得， ∵a是不等式的最小整数解， ∴． ∴原式． 20. 如图，将ABC绕点B顺时针旋转90°得到DBE（点A，点C对应点分别为点D，点E）． （1）根据题意补全图形； （2）连接DC，CE，如果∠BCD＝45°．用等式表示线段DC，CE，AC之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的定义即可作图； （2）根据旋转的性质得到，△CBE是等腰直角三角形，得到，由已知条件可得，根据勾股定理和等量替换即可证明． 【详解】（1）根据题意补全图形 （2）结论：. 证明：由题意可知，. ∴ ，. ∴△CBE是等腰直角三角形. ∴. ∵， ∴. 在Rt△DCE中. ∴． 【点睛】此题主要考查旋转与几何综合，解题的关键是熟知旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质． 21. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 例如：方程 的解为 ，不等式组 的解集为 ，因为 ，所以，称方程为不等式组的关联方程. （1）在方程①，②，③中，不等式组 的关联方程是 ；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可） （3）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围. 【答案】（1）③；（2）答案不唯一，只要所给一元一次方程的解为即可，如方程：（3）m的取值范围是1≤m＜2. 【解析】 【详解】分析： （1）求出所给的3个方程的解及所给不等式组的解集，再按“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出所给不等式组的整数解，再结合“关联方程”的定义进行分析解答即可； （3）先求出所给不等式组的解集和所给的两个方程的解，再结合“关联方程的定义”和“已知条件”进行分析解答即可. 详解： （1）解方程 ①得 ：；解方程②得：； 解方程③得：； 解不等式组 得：， ∵上述3个方程的解中只有在的范围内， ∴不等式组 的关联方程是方程③； （2）解不等式组得：， ∴原不等式组的整数解为1， ∵原不等式组的关联方程的解为整数， ∴解为的一元一次方程都是原不等式组的关联方程， ∴本题答案不唯一，如：就是原不等式组的一个关联方程； （3） 解不等式①，得：x＞m， 解不等式②，得：x≤m+2， ∴原不等式组的解集为m＜x≤m+2， 解方程：2x-1= x+2得：x=3，解方程： 得：x=2， ∵方程2x-1= x+2和方程方程都是原不等式组的关联方程， ∴和都在m＜x≤m+2的范围内， ∴m的取值范围是1≤m＜2. 点睛：“读懂题意，理解“关联方程”的定义，熟练掌握一元一次不等式组的解法”是解答本题的关键. 22. 已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC， （1）证明ABDF是平行四边形； （2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得． （2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：∵BD垂直平分AC， ∴AB=BC，AD=DC， 在△ADB与△CDB中， ， ∴△ADB≌△CDB（SSS） ∴∠BCD=∠BAD， ∵∠BCD=∠ADF， ∴∠BAD=∠ADF， ∴AB∥FD， ∵BD⊥AC，AF⊥AC， ∴AF∥BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， （2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5， ∴▱ABDF是菱形， ∴AB=BD=5， ∵AD=6， 设BE=x，则DE=5-x， ∴AB2-BE2=AD2-DE2， 即52-x2=62-（5-x）2 解得：x=， ∴， ∴AC=2AE=． 考点：1．平行四边形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理． 23. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克. （1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ （2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； （2）水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【解析】 【分析】（1）设乙种水果的进价是x元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案； （2）设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后利用一次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：设乙种水果的进价是x元/千克， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则， 答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克； 【小问2详解】 解：设水果店购进甲种水果a千克，获得的利润为y元，则购进乙种水果（150－a）千克， 由题意得：， ∵－1＜0， ∴y随a的增大而减小， ∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍， ∴， 解得：， ∴当时，y取最大值，此时，， 答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键． 24. 在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当 AB＞AC时，∠C＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整： 　 　　　 　 （1）在△ABC中，AD是BC边上的高线． ①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD； ②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD ∠CAD．（填“>”，“<”，“=”） 证明：∵ AD是BC边上的高线， ∴∠ADB=∠ADC=90°． ∴ ∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C． ∵AB＞AC， ∴ （在同一个三角形中，大边对大角）． ∴∠BAD ∠CAD． （2）在△ABC中，AD是BC边上的中线． ①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD； ②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD ∠CAD．（填“>”，“<”，“=”） 证明： 【答案】（1）①见解析，②∠B<∠C，>；（2）①见解析；②＜ 【解析】 【分析】（1）①由HL证明Rt△ABD≌Rt△ACD可得结论； ②由AB＞AC得∠C＞∠B即可得出结论； （2）①由SSS证明△ABD≌△ACD可得结论； ②作辅助线证明△，得，∠，证得∠，即可得到结论． 【详解】解：（1）①证明：∵AD是BC边上的高线 ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ADB和Rt△ADC中 ∴Rt△ABD≌Rt△ACD ∴∠BAD=∠CAD； ②证明：∵ AD是BC边上的高线， ∴∠ADB=∠ADC=90°． ∴ ∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C． ∵AB＞AC， ∴ ∠B<∠C（在同一个三角形中，大边对大角）． ∴∠BAD > ∠CAD． 故答案为：∠B<∠C，>； （2）①证明：∵AD是BC边上的中线 ∴BD=CD 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD ∴∠BAD=∠CAD ②如图，延长AD至点E，使AD=ED，连接BE， ∵AD是△ABC的BC边上的中线， ∴ 在△BDE和△CDA中， ∴△ ∴，∠， 又， 则 ∴∠ ∴∠． 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$