精品解析：湖南省邵阳市新宁县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年八年级下册数学期末检测试卷 一、单选题（共30分） 1. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 多边形的外角和都等于 B. 直角三角形角的对边等于另一直角边的一半 C. 一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 （安顺中考） 2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在—个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 若函数是关于x的一次函数，则m的值为（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 2 7. 某流域主要江河总体水质良好．下图是该流域主要江河水体污染超标断面统计图，根据超标断面个数，该流域主要江河最严重的污染指标是（ ） A. 氨氮 B. 化学需氧量 C. 总磷 D. 铭（六价） 8. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 9. 如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法： ① .四边形EFGH一定平行四边形； ②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形； ③.若AC⊥BD，则四边形EFGH矩形． 其中正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 10. 图1是y与x关系的图象．图2是z与y关系的图象．珍珍设计了一个计算程序，输入x的值后，程序便自动对应图1的图象得到y的值．随后立即将该y值对应图2的图象终得到z的值．若随机输入6个不同的x的值，得到对应的z值．形成6组数对，然后在坐标系中进行描点．则正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 日前，中国科学技术大学在二维材料的非线性量子光源研究中首次实现超薄的量子光源，厚度可低至46纳米，已知，数据用科学记数法表示为，则_____． 12. 年 6 月 6 日是第二十九个“爱眼日”．在一次对九年级的视力检查中，随机检查了位学生的视力，其中右眼视力的结果如下：，则右眼视力为的频率是________． 13. 如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是_____． 14. 《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度． 15. 有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有_______（填序号）． 16. 小明在自家的院子里种下一棵小树苗，随着一天天过去，小树苗也一天天长高．小明每个月都记录了小树苗的高度，发现小树苗的高度与时间之间的关系如图所示．若用t（月）表示时间，用表示小树苗的高度，则用含有t的关系式表示__________． 17. 如图，正方形和边长分别是a和b()，点B，C，E在同一直线上，点C，G，D在同一直线上，如果在这个图形基础上再画一个正方形，使得新正方形（阴影部分）的面积等于正方形和面积之和，下列四个正方形(阴影部分)的面积符合要求的是______（填写序号即可）． 18. 如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为_________． 三、解答题（共66分） 19 （1）计算：； （2）化简：． 20. （1）点在函数的图象上，求的值； （2）将直线向下移动个单位长度后，经过点，求的值． 21. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断的形状； （3）求这块空地的面积． 22. 某校举办了首届“英语原创演讲比赛”，经选拔后有若干名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于 60 分）绘制出如下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表提供的信息完成下列各题． 表a: 分数段 60－70 70－80 80－90 90－100 频数 6 19 m 5 频率 15% n 25% 12．5% （1）参加决赛的学生有 名，请将图b补充完整； （2）表a中的m＝ ，n＝ ； （3）如果测试成绩不低于80分为优秀，那么本次测试的优秀率是 ． 23. 如图，在中，D，E分别是的中点，，平分．求证：四边形是菱形． 24. 李维家到学校的路程为38km，李维从家去学校总是先乘公交车，下车后再步行2km才能到学校，路途所用的时间共，已知公交车的速度是李维步行速度的9倍，求李维步行的速度． （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程如下： 甲： 乙： ①理顺甲、乙两名同学所列方程的思路，请你分别指出未知数x、y表示的意义： 甲：x表示________； 乙：y表示________； ②补全甲、乙两人所列方程； （2）求李维步行的速度（写出完整的解答过程）． 25. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一 甲 乙 总费用（元） 购进数量（本） 3 4 288 购进数量（本） 5 2 270 素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本进价． 任务二：①写出关于的关系式； ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利元，请直接写出利润的最大值为________元． 26. 已知，如图，在正方形中，点分别是边上的动点． （1）如图1，若，垂足为，求证：； （2）如图2，点是边上一点，且，垂足为． ①判断与是否相等？并说明理由； ②如图3，若垂直平分，交对角线交于点，写出线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年八年级下册数学期末检测试卷 一、单选题（共30分） 1. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 多边形的外角和都等于 B. 直角三角形角的对边等于另一直角边的一半 C. 一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形的外角和，含角的直角三角形的性质，平行四边形的判定及等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】A、因为多边形的外角和都等于，故原命题是真命题，符合题意； B、因为直角三角形角的对边等于斜边的一半，故原命题是假命题，不符合题意； C、因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原命题是假命题，不符合题意； D、因为等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角角平分线重合，故原命题是假命题，不符合题意； 故选择：A 【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假的关键是熟练掌握相关的性质和判定． （安顺中考） 2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：轴对称图形关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．①既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；②是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；③既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；④是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误．综上可得共有两个符合题意．故选B． 考点：中心对称图形；轴对称图形． 点评：本题主要考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，关键是熟练掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 3. 为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程，在—个三角形地块中分出一块（阴影部分）作为劳动实践用地，尺寸如图所示，则的长是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．根据中位线定理解答即可． 【详解】解：如图， ∵ ， 是的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵ ∴ 故选：D． 4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴， 故选A 【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，解之即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称， ∴， ∴， 故选：D． 6. 若函数是关于x的一次函数，则m的值为（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据形如、是常数且的函数叫做一次函数进行求解是解题的关键． 根据一次函数的定义列出有关的方程，继而求出的值． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， 故选：C． 7. 某流域主要江河总体水质良好．下图是该流域主要江河水体污染超标断面统计图，根据超标断面个数，该流域主要江河最严重的污染指标是（ ） A. 氨氮 B. 化学需氧量 C. 总磷 D. 铭（六价） 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，根据统计图找到频数最多的指标即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，指标氨氮的个数最多，则该流域主要江河最严重的污染指标是氨氮， 故选：A． 8. 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 9. 如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法： ① .四边形EFGH一定是平行四边形； ②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形； ③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形． 其中正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，EH=BD，EF=AC，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， ∴，EH=BD， EF=AC， ∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意； 若AC=BD，则EF=EH， ∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意； 若AC⊥BD，则EF⊥EH， ∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 10. 图1是y与x关系的图象．图2是z与y关系的图象．珍珍设计了一个计算程序，输入x的值后，程序便自动对应图1的图象得到y的值．随后立即将该y值对应图2的图象终得到z的值．若随机输入6个不同的x的值，得到对应的z值．形成6组数对，然后在坐标系中进行描点．则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，根据函数图像确定函数关系，然后设出解析式，，整理得到，确定图象即可解题． 【详解】解由图象可得y是x的一次函数，z是y的正比例函数， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴z是x的一次函数， 故选D． 二、填空题（共24分） 11. 日前，中国科学技术大学在二维材料的非线性量子光源研究中首次实现超薄的量子光源，厚度可低至46纳米，已知，数据用科学记数法表示为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂．根据题意表示出，即可得出n的值． 【详解】解：用科学记数法表示为， ∴． 故答案为：． 12. 年 6 月 6 日是第二十九个“爱眼日”．在一次对九年级的视力检查中，随机检查了位学生的视力，其中右眼视力的结果如下：，则右眼视力为的频率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率的定义．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据频率的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，位学生的视力中，右眼视力为的有4个， 右眼视力为的频率是， 故答案为：． 13. 如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的折叠问题，设，由折叠可知，，在中，根据列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设，则， 由折叠可知，， 在中，，即：， 解得：，即， ∴点坐标是， 故答案为：． 14. 《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则______度． 【答案】####． 【解析】 【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可． 【详解】解：由题意可知， 矩， 欘宣矩， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算． 15. 有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有_______（填序号）． 【答案】② 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②是分式方程， ③（为不等于2的常数），是一元一次方程， 故答案为：②． 16. 小明在自家的院子里种下一棵小树苗，随着一天天过去，小树苗也一天天长高．小明每个月都记录了小树苗的高度，发现小树苗的高度与时间之间的关系如图所示．若用t（月）表示时间，用表示小树苗的高度，则用含有t的关系式表示__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由图象可知小树苗原来高度为40cm，又可求出平均每个月增长15cm，即可得出h和t的关系式． 【详解】解：由题意可知，小树苗原来高度为40cm，长到70cm用了2个月， ∴小树苗平均每个月增长cm， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查用关系式表示变量间的关系．读懂题意和图象，正确列出关系式是解题关键． 17. 如图，正方形和边长分别是a和b()，点B，C，E在同一直线上，点C，G，D在同一直线上，如果在这个图形基础上再画一个正方形，使得新正方形（阴影部分）面积等于正方形和面积之和，下列四个正方形(阴影部分)的面积符合要求的是______（填写序号即可）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】设阴影正方形的边长为c，其面积设为S，且，根据题意，得，，由勾股定理，得即得到，判断①正确；根据题意，得即，判定②错误；据题意，得即，得到，判定③正确；根据正方形的性质，证明，得到，继而得到即得到，判定④正确，解答即可． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，三角形全等是解题的关键． 【详解】设阴影正方形的边长为c，其面积设为S，且，根据题意，得，， 由勾股定理，得即得到， 故①正确； 根据题意，得， 故， 故②错误； 据题意，得即， 得到， 故③正确； 根据正方形的性质， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， 得到， 故④正确， ． 故答案：①③④． 18. 如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，设，，证明，求得，由折叠的性质求得，在中，利用勾股定理列式计算，即可求解． 【详解】解：连接，设，， 由矩形的性质和折叠的性质知，，， ∵，， ∴， ∴， 由矩形的性质知： ∴， 折叠的性质知：， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴，即， 在中，，即， 解得， ∴， 故答案为： 三、解答题（共66分） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（）； （）． 【解析】 【分析】（）按照有理数的乘方，零指数幂、负整数次幂，算术平方根，立方根和化简绝对值法分别计算，最后合并即可； （）先计算括号内的分式减法运算，再计算分式除法即可； 此题考查了实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1）原式= ； （2）原式 ． 20. （1）点在函数的图象上，求的值； （2）将直线向下移动个单位长度后，经过点，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象的平移； （1）将点代入，进而即可求解． （2）根据一次函数的平移可得平移后的解析式为，将代入，即可求解． 【详解】解：（1）将点代入，得 ∴ （2）依题意，平移后的解析式为，将代入，得， 解得： 21. 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）连接，判断的形状； （3）求这块空地的面积． 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3）这块空地的面积为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【小问1详解】 解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． 【小问2详解】 解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． 【小问3详解】 解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 22. 某校举办了首届“英语原创演讲比赛”，经选拔后有若干名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于 60 分）绘制出如下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表提供的信息完成下列各题． 表a: 分数段 60－70 70－80 80－90 90－100 频数 6 19 m 5 频率 15% n 25% 12．5% （1）参加决赛的学生有 名，请将图b补充完整； （2）表a中的m＝ ，n＝ ； （3）如果测试成绩不低于80分为优秀，那么本次测试的优秀率是 ． 【答案】（1）40，图见解析 （2）10，47.5% （3）37.5% 【解析】 【分析】（1）根据表a中60-70分段的频数除以频率即为参加决赛的学生总人数，再利用80-90分段的频率求出m的值，即可补充表b； （2）在（1）问中已求出m，根据频率=频数/总数即可求出n; （3）先统计出80分以上人数之和，再除以总人数即可． 【小问1详解】 根据图a可知，分数60-70之间的人数有6人，频率为15%， 所以参加决赛的学生总数为人， ∵80-90分段的频率为25%， ∴80-90分段的频数为人， 故答案为：40． 补充图b如下： 【小问2详解】 根据（1）问中已求出的80-90分段的频数10即为m， 从表a可知，70-80分段人数为19， 所以， 故答案为：10；47.5%． 【小问3详解】 由表a可知，80分以上人数有10+5=15人， 所以优秀率=， 故答案为：37.5%． 【点睛】本题考查直方图，熟练掌握频数、频率的算法及直方图的作法是解题的关键． 23. 如图，在中，D，E分别是的中点，，平分．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是的中位线，得出，结合，证明四边形是平行四边形，再得出一组邻边相等的平行四边形即为菱形，即可作答． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∴四边形是菱形． 24. 李维家到学校的路程为38km，李维从家去学校总是先乘公交车，下车后再步行2km才能到学校，路途所用的时间共，已知公交车的速度是李维步行速度的9倍，求李维步行的速度． （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程如下： 甲： 乙： ①理顺甲、乙两名同学所列方程的思路，请你分别指出未知数x、y表示的意义： 甲：x表示________； 乙：y表示________； ②补全甲、乙两人所列的方程； （2）求李维步行的速度（写出完整的解答过程）． 【答案】（1）李维步行速度，李维步行的时间；②， （2）李维步行的速度为6． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． （1）甲依据的相等关系是：公交车行驶的时间李维步行的时间，乙依据的相等关系式：公交车的速度李维步行速度，据此求解即可； （2）设李维步行速度为，则公交车行驶速度为，可根据甲的相等关系得出，解之求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：①甲所列方程中表示李维步行速度， 乙所列方程中表示李维步行的时间， 故答案为：李维步行速度，李维步行的时间； ②甲所列方程为， 乙所列方程为； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设李维步行速度为，则公交车行驶速度为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 答：李维步行的速度为． 25. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一 甲 乙 总费用（元） 购进数量（本） 3 4 288 购进数量（本） 5 2 270 素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二：①写出关于的关系式； ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利元，请直接写出利润的最大值为________元． 【答案】任务一：甲类图书每本进价为36元，乙类图书每本进价为45元；任务二：①；②380 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 任务一：设甲类图书每本的进价是a元，乙类图书每本的进价是b元， ，根据“购进3 本甲类图书和4本乙类图书共需元； 购进5本甲类图书和2本乙类图书共需270元．”列出方程组，即可求解； 任务二：①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出w关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：任务一：设甲类图书每本的进价是a元，乙类图书每本的进价是b元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲类图书每本的进价是元，乙类图书每本的进价是元； 任务二：①根据题意得：， ∴关于的关系式为； ②设书店所获利润为w元， 根据题意得： ∵， ∴W随x的增大而减小， ∵甲类图书的购进数量不少于本， ∴， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴最大利润为元． 26. 已知，如图，在正方形中，点分别是边上的动点． （1）如图1，若，垂足为，求证：； （2）如图2，点是边上一点，且，垂足为． ①判断与是否相等？并说明理由； ②如图3，若垂直平分，交对角线交于点，写出线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见详解 （2）①，理由见详解；②，理由见详解 【解析】 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）①作于，则，，由证明，即可得出结论； ②连接、，过作于，交于，则，，，则，证明是等腰直角三角形，得出，证出，由线段垂直平分线的性质得出，，由证明得出，证出，得出是等腰直角三角形，得出，证出是等腰直角三角形，得出，由①得：，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ； 【小问2详解】 解：①；理由如下： 作于，如图2所示： 则，， ， ， ， ， 在和中，， ， ； ②；理由如下： 连接、，过作于，交于，如图3所示： 则，，， 则， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 垂直平分， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由①得：， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $