专题2.13 有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.13 有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的乘方 1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 【要点提示】 （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 【知识点二】乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 【要点提示】 (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 【知识点三】科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝. 【要点提示】 （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数幂的概念的理解 【例1】（2023七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 【变式1】计算＝（　　） A． B． C． D． 【变式2】在中，指数是 ，底数是 ，幂是 ． 【题型2】有理数乘方运算 【例2】（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ， ， ． 【题型3】乘方运算中的符号规律问题 【例3】（2022七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若，则的值为 ． 【题型4】有理数乘方的应用 【例4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． （1）你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ （2）如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【变式1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（   ） A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时 【变式2】（2023·四川广元·一模）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天 【题型5】科学记数法 【例5】（23-24七年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列各数： (1)__________________； (2)__________________； (3)__________________． 【变式1】（2024·云南·模拟预测）2024年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024六年级下·上海·专题练习）一个数用科学记数法表示为，则这个数有 个整数位． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·湖北武汉·中考真题）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2022·西藏·中考真题）已知，都是实数，若，则 ． 2、拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，解答下列问题： （1）由，可得_____， _____． （2）若，求的值． 【例2】（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.13 有理数的乘方（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的乘方 1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)． 即有：.在中，叫做底数， n叫做指数. 【要点提示】 （1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写． 【知识点二】乘方运算的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ． 【要点提示】 (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数． 【知识点三】科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝. 【要点提示】 （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数幂的概念的理解 【例1】（2023七年级上·江苏·专题练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 【答案】(1）底数是，指数是5； (2)底数是，指数是6； (3)底数是m，指数是 【分析】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． （1）解：， 其中底数是，指数是5； （2）解： 其中底数是，指数是6； （3）解：（个m）， 其中底数是m，指数是． 【点拨】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． 【变式1】计算＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握求n个相同因数积的运算，叫做乘方是解题的关键． 根据幂的意义和乘法是相同加数的和的简便运算即可得出答案． 解：原式， 故选：B 【变式2】在中，指数是 ，底数是 ，幂是 ． 【答案】 3 ﹣ ﹣ 【分析】an中，a是底数，n是指数，an是幂，据此作答． 解：在中，指数是3，底数是，幂是． 故填：3；；． 【点拨】本题考查幂的定义，熟练掌握定义是关键. 【题型2】有理数乘方运算 【例2】（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的运算，原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后加减运算即可. 解： ； 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案． 解：A、与不相等，不符合题意； B、与相等，符合题意； C、与不相等，不符合题意； D、与不相等，不符合题意．     故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ， ， ． 【答案】 4 / 【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键． 根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可． 解：；；． 故答案为：，4，． 【题型3】乘方运算中的符号规律问题 【例3】（2022七年级上·全国·专题练习）判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正； (2)负； (3)负；(4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． （1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点拨】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方以及绝对值的性质，根据偶次方以及绝对值具有非负性来解即可． 解且 解得： 故答案为：． 【题型4】有理数乘方的应用 【例4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． （1）你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ （2）如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【答案】(1)层数； (2)6.4毫米 【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键． （1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系； （2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解． （1）解：∵对折1次，层数， 对折2次，层数， 对折3次，层数， ∴对折n次，层数； （2）解： （毫米）， 答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米． 【变式1】（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）有一种细菌，经过1分钟分裂成2个，再过1分钟，又发生了分裂，变成4个．把这样一个细菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被细菌充满为止，用了1小时，如果开始时，就在瓶子里放入这样的细菌16个，那么细菌充满瓶子所需要的时间为（   ） A．44分钟 B．56分钟 C．半小时 D．1小时 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的应用，列出等式是解此题的关键．先计算出装满一瓶的细菌，个，设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶，则，再根据1小时分，求解即可． 解：一个细菌1分钟分裂成2个，2分钟分裂成4个，分钟分裂成个，一个细菌经过1小时的繁殖能使瓶子充满， 设将16个这种细菌放入同样的培养瓶中经过分钟就能分裂至满一瓶． ， ， 小时分， ， 故选：B 【变式2】（2023·四川广元·一模）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天 【答案】516 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意以及图形分析，根据满七进一求解是解题的关键． 解：绳结表示的数为， 故答案为：516； 【题型5】科学记数法 【例5】（23-24七年级上·全国·课堂例题）用科学记数法表示下列各数： (1)__________________； (2)__________________； (3)__________________． 【答案】(1)； (2)；(3) 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． （1）； 故答案为：； （2） 故答案为：； （3） 故答案为：． 【点拨】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【变式1】（2024·云南·模拟预测）2024年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 解：4500万即45000000， ， 故选：D． 【变式2】（2024六年级下·上海·专题练习）一个数用科学记数法表示为，则这个数有 个整数位． 【答案】7/七 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向后移几位． 解：， 用科学记数法表示为，则这个数有个整数位． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·湖北武汉·中考真题）国家统计局2024年4月16日发布数据，今年第一季度国内生产总值接近亿元，同比增长，国家高质量发展取得新成效．将数据用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 解：， 故选：C． 【例2】（2022·西藏·中考真题）已知，都是实数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值，偶次幂的非负性求出，，再代入计算即可． ∵， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了绝对值，偶次幂的非负性，求出，的值是解本题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知，解答下列问题： （1）由，可得_____， _____． （2）若，求的值． 【答案】(1)，； (2)2 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法，解题的关键是掌握有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法． （1）根据绝对值的定义和有理数的乘方的定义即可得出答案； （2）由得出，或，，代入计算即可得出答案． （1）解：∵， ∴，； （2）解：由（1）得，， 又∵， 异号， ∴，或，； 或， 综上所述，． 【例2】（23-24六年级下·全国·假期作业）阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．设，然后两边同乘以3，进而按照题中所给方法进行求解即可． 解：设 则 所以， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$