2024年七年级数学暑假预习课讲义第八讲 有理数的除法

七年级暑假预习课讲义 第八讲 有理数的除法 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 有理数的除法 1.有理数除法法则 ①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 例1-1 .如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（　　） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 例1-2 .下面结论正确的是（　　） A．互为相反数的两个数的商为﹣1 B．在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1 C．当|x|＝﹣x，则x＜0 D．带有负号的数一定是负数 2.有理数除法运算 除法步骤： ①将除号变为乘号。 ②将除数变为它的倒数。 ③按照乘法法则进行计算 注意：先定符号，再计算绝对值 例1-3 .计算 (1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)； (3)(－0.75)÷(0.25)． 例1-4 .计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 知识点2有理数除法的应用 1.利用有理数除法的法则化简分数 分数化简的实质： 分数的化简，就是将分数改写成分子除以分母的除法运算，利用有理数的除法法则进行化简。 分数的符号法则： 分数的分子、分母、分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。 例2-1 .化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 2.有理数除法生活中的应用 读懂题意列出除法算式，利用有理数除法法则进行计算，得出结论。 例2-1.五（1）班要买24本故事书，现在有两家书店可供选择．大众书店：九折出售；求知书店：买5本赠送1本，不满5本不赠送．这两个书店的标价都是每本20元．请你算一算到哪家书店购买合算？ 例2-3．李叔叔驾车以75千米/小时的速度在公路上行驶，前方出现限速60千米/小时的标志，如果他保持原速继续行驶，将受到扣几分的处罚？ 《道路交通安全法实施条例》规定： 超速以上扣12分； 超速以上未达扣6分； 超速未达扣3分. . 知识点3 有理数乘除混合运算 1.有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 例3-1 .计算： (1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)． 例3-2 .计算： （1）（﹣36 ）÷9 （2）（﹣ ）×（﹣3 ）÷（﹣1 ）÷3． 2.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的。 例3-3．计算下面各题.（能简算的要简算） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 例3-4．学校图书馆平均每天借出图书50册，如果某天借出53册，就记作+3；如果某天借出40册，就记作-10.上星期图书馆借出图书记录如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 0 +8 +6 -2 -7 （1）上星期五借出图书多少册？ （2）上星期五天平均每天借出图书多少册？ 例3-5．先计算，再阅读材料，解决问题： （1）计算：. （2）认真阅读材料，解决问题： 计算：. 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算： 解：原式的倒数是： . 故原式. 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：. 3.有理数的加减乘除混合运算的应用 （1） 根据实际问题分析题意，列出数学算式； （2） 通过有理数的运算解决问题。 例3-6．阅读理解： 阅读材料：如今网络团购已经走进我们的生活，聪聪的爸爸妈妈准备星期天带他去吃火锅(预计总消费在200元以上).妈妈说，她在网上发现团购代金券了，70元一张，可抵100元消费，每桌限用两张，多余部分不找零钱，不足部分用现金补齐.爸爸打电话订座位时，服务员告诉他可以享受消费七五折优惠，但使用代金券不能优惠.爱动脑筋的聪聪听后，立即拿出纸笔演算起来：“使用代金券最多可节省(元)，如果采用打折方式，要想节省60元钱，总的消费额应达到(元)，总消费额越多，节省钱数就越多.”一想到这里，聪聪兴奋地对爸爸妈妈说：“老爸、老妈，如果我们消费的钱数少于240元，使用代金券比较划算，如果我们消费的钱等于240元，两种方式消费的钱数一样多，如果我们消费的钱数大于240元，采用打折方式比较划算”，爸爸妈妈听了，直夸聪聪爱动脑筋! 在生活中，有许多实际问题可以像上面这样分段考虑，进行合理选择! 问题解决： 某游泳馆推出两种付费方式：单次卡，每次收费30元；办理会员年卡，一次性缴纳360元会员费，每次游泳另收费18元(一年内有效).王叔叔打算去该游泳馆游泳，选择什么方式更划算呢？请你帮王叔叔算一算，选一选. (1)王叔叔叔一年游泳达______次，两种付费方式所用钱数相等. (2)请根据上面的计算结果，给王叔叔提出合理建议？ 3、 易错点点拨 易错点1除法的符号法则与加减运算符号法则混淆出错 例1 .计算的结果为（    ） A． B．1 C． D．4 易错点2 有理数除法运算中误用分配律 例2. 计算 易错点3 有理数混合运算的实际应用中混淆数量关系 例3. 一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是，小莉此时在山脚测得温度是7． 已知该地区高度每增加100m，气温大约降低0.8，这个山峰的高度大约是多少米？ 四、针对训练 1 有理数的除法 1. ． 2.计算： (1)(－18)÷(－)； (2)16÷(－)÷(－)． 3.计算 (1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)； (3)(－0.75)÷(0.25)． 2有理数除法的应用 1.化简下列分数： （1） ＝ ； （2） ＝ ； （3） ＝ ． 2．在湖北省抗击新冠病毒期间，国家实行“一省帮一市对口”支援，春雨矿泉水厂向武汉市的某地区运送矿泉水，该地区人口约12万，每人每天需2瓶水，24瓶水装成一箱，则该厂每天需要装运多少箱矿泉水？ 3．（1）两数的积是1，已知一个数是-2，求另一个数； （2）两数的商是-3，已知被除数是4，求除数． 4．某自行车厂一周计划每日生产400辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆、393辆、397辆、410辆、391辆、385辆、405辆． （1）用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况； （2）该车厂本周实际共生产多少辆自行车？平均每日实际生产多少辆自行车？ 3 有理数乘除混合运算 1.计算，结果正确的是(    ) A． B． C． D． 2甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距（　　）米． A．900 B．720 C．540 D．1080 3.定义一种新运算：．例如．则的值为（    ） A． B．9 C．15 D．27 4.计算： （1）-5×2+3÷ -（-1）； （2）（ ）÷ ． 5.用简便方法计算：（﹣ ﹣ + ）÷（﹣ ）． 6.在计算时，小明的解法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________； (2)请在下面给出正确的解答过程． 7.某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃．若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 4 3 4 5 3 (1)这20箱樱桃质量相差最大是多少千克？ (2)这20箱樱桃的总质量是多少千克？ (3)水果店购进这批樱桃需要付运费100元，要把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得利润为成本的作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批樱桃的过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本＝总进价＋运费） 8．为常态化开展社会人群核酸检测工作，我市在人群密集、流动量大的区域布局了健康小屋（便民核酸采样点）．某采样点计划每天完成人次的核酸采样，实际每天采样的数量相比有出入，下表是十月份某一周该采样点的实际采样人次（超过为正，不足为负，单位：人次） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)根据记录可知该采样点前三天共完成了多少人次的核酸采样？ (2)采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了多少人次？ (3)该采样点采用十人混检的方式收集核酸样本（将个人的样本采集后放到同一根采样管中进行检测），该采样点在这周至少需要多少根采样管？ 4、 能力提升 提升1 有理数的除法 1.计算：． 2.计算． 提升2有理数除法的应用 1.根据如图给出的数轴，解答下面的问题： （1）点A表示的数是 　 　，点B表示的数是 　 ．若将数轴折叠，使得A与﹣5表 示的点重合，则B点与数 　 　　 表示的点重合； （2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：　 　； （3）化简：＝　 　，并将化简的结果在下面的数轴上表示出来． 2.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，且甲比乙快.开始后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲刚好下到半山腰，求甲从出发到返回出发点共需多少小时？ 3．一只船被发现漏水时，已经进了一些水，水均匀进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？ 4．2022年2月6日，女足2022亚洲杯决赛，中国队以的比分逆转韩国队，时隔16年再次获得亚洲杯冠军. （1）这场决赛，中国队的进球数是韩国队进球数的几倍？ （2）你了解足球吗？足球的表面是由32块的黑色五边形和白色六边形围成.其中黑色五边形的块数是3和4的最小公倍数，请问黑色五边形和白色六边形各有多少块？ （3）淘气是一名足球爱好者，他要从甲城到相距360千米的乙城去看一场期待已久的足球赛，已知他前3小时行驶了180千米，照这样的速度，行完全程需要几小时？ 提升3 有理数乘除混合运算 1.(1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)． 2.计算：． 解法1：原式① ② ③ 解法2：原式① ② ③ (1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可） (2)请给出正确解答． 3.请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是（﹣+）÷（） ＝（﹣+）×（﹣30） ＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于﹣ 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 4.如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度． 5.如图， 7          2     5      1 (1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______ (2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ， (3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取的数为______________，算式为___________________ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级暑假预习课讲义 第八讲 有理数的除法（解析版） 一、专题导航 2、 知识点梳理 知识点1 有理数的除法 1.有理数除法法则 ①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 例1-1 .如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（　　） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．以上都不是 【分析】根据数轴的性质即可求出答案． 【解答】解：由于两个有理数分布在原点两侧，故必为一正一负， 所以两个数相除所得的商是负数， 故选：A． 【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算，本题属于基础题型． 例1-2 .下面结论正确的是（　　） A．互为相反数的两个数的商为﹣1 B．在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1 C．当|x|＝﹣x，则x＜0 D．带有负号的数一定是负数 【分析】根据数轴与实数的关系，绝对值的性质或举反例进行判断即可． 【解答】解：A．0的相反数为0，但它们的商无意义， 则A不符合题意； B．∵一个点与数轴上与表示数4的点相距3个单位长度， ∴该点对应的数为：4﹣3＝1或4+3＝7， 则B符合题意； C．当x≤0时，|x|＝﹣x， 则C不符合题意； D．如﹣（﹣3）＝3，它是正数， 则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查实数的相关定义及性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2.有理数除法运算 除法步骤： ①将除号变为乘号。 ②将除数变为它的倒数。 ③按照乘法法则进行计算 注意：先定符号，再计算绝对值 例1-3 .计算 (1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)； (3)(－0.75)÷(0.25)． 解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5； (2)12÷(－)＝－(12÷)＝－48； (3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3. 例1-4 .计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】①②③根据有理数的除法运算法则计算即可； ④⑤几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【点睛】本题考查有理数的除法，有理数的乘法．有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，注意：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0；特别注意有多个数相除时，一般先将除法转化为乘法再进行运算．有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．理解和掌握有理数除法、乘法法则是解题的关键． 知识点2有理数除法的应用 1.利用有理数除法的法则化简分数 分数化简的实质： 分数的化简，就是将分数改写成分子除以分母的除法运算，利用有理数的除法法则进行化简。 分数的符号法则： 分数的分子、分母、分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。 例2-1 .化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)20 【分析】直接根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】此题考查有理数的除法，解题关键是先明确式子的符号，再利用除一个数就是乘这个数的倒数的计算法则计算． 2.有理数除法生活中的应用 读懂题意列出除法算式，利用有理数除法法则进行计算，得出结论。 例2-1.五（1）班要买24本故事书，现在有两家书店可供选择．大众书店：九折出售；求知书店：买5本赠送1本，不满5本不赠送．这两个书店的标价都是每本20元．请你算一算到哪家书店购买合算？ 【答案】到求知书店购买合算． 【解析】解：到大众书店购买需要的钱数为：（元）， ∵， ∴到求知书店购买需要的钱数为：（元）， ∵， ∴到求知书店购买合算． 例2-2．小马在计算“”时，误将“÷”看成“+”，结果得35，则的值为________. 答案： 解析：根据题意，得：， ， 则， 故答案为：. 例2-3．李叔叔驾车以75千米/小时的速度在公路上行驶，前方出现限速60千米/小时的标志，如果他保持原速继续行驶，将受到扣几分的处罚？ 《道路交通安全法实施条例》规定： 超速以上扣12分； 超速以上未达扣6分； 超速未达扣3分. 答案：如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚 解析： ， ， 根据交通条例，如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚， 答：如果李叔叔保持原速继续行驶，他将受到扣6分的处罚. 知识点3 有理数乘除混合运算 1.有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 例3-1 .计算： (1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)． 解：(1)原式＝－××(－)＝××＝1； (2)原式＝(－)×(－)×(－)＝－(××)＝－4. 例3-2 .计算： （1）（﹣36 ）÷9 （2）（﹣ ）×（﹣3 ）÷（﹣1 ）÷3． 【答案】 （1）解：原式=﹣（36+ ）× ， =﹣（36× + × ）， =﹣4 （2）解：原式=﹣（ × × × ）， =﹣ 【解析】【分析】（1）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数进行计算即可；（2）首先根据除法法则统一成乘法，然后再确定结果的符号，然后计算即可． 2.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的。 例3-3．计算下面各题.（能简算的要简算） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 答案：（1）5 （2） （3）11 （4） （5） （6） 解析：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； 例3-4．学校图书馆平均每天借出图书50册，如果某天借出53册，就记作+3；如果某天借出40册，就记作-10.上星期图书馆借出图书记录如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 0 +8 +6 -2 -7 （1）上星期五借出图书多少册？ （2）上星期五天平均每天借出图书多少册？ 答案：（1）43册 （2）51本 解析：（1）根据题意得：（册）， 则上星期五借出图书43册； （2）上星期平均每天借出图书：（本）. 例3-5．先计算，再阅读材料，解决问题： （1）计算：. （2）认真阅读材料，解决问题： 计算：. 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算： 解：原式的倒数是： . 故原式. 请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：. 答案：（1）8 （2） 解析：（1）计算：； （2）原式的倒数是： 故原式. 3.有理数的加减乘除混合运算的应用 （1） 根据实际问题分析题意，列出数学算式； （2） 通过有理数的运算解决问题。 例3-6．阅读理解： 阅读材料：如今网络团购已经走进我们的生活，聪聪的爸爸妈妈准备星期天带他去吃火锅(预计总消费在200元以上).妈妈说，她在网上发现团购代金券了，70元一张，可抵100元消费，每桌限用两张，多余部分不找零钱，不足部分用现金补齐.爸爸打电话订座位时，服务员告诉他可以享受消费七五折优惠，但使用代金券不能优惠.爱动脑筋的聪聪听后，立即拿出纸笔演算起来：“使用代金券最多可节省(元)，如果采用打折方式，要想节省60元钱，总的消费额应达到(元)，总消费额越多，节省钱数就越多.”一想到这里，聪聪兴奋地对爸爸妈妈说：“老爸、老妈，如果我们消费的钱数少于240元，使用代金券比较划算，如果我们消费的钱等于240元，两种方式消费的钱数一样多，如果我们消费的钱数大于240元，采用打折方式比较划算”，爸爸妈妈听了，直夸聪聪爱动脑筋! 在生活中，有许多实际问题可以像上面这样分段考虑，进行合理选择! 问题解决： 某游泳馆推出两种付费方式：单次卡，每次收费30元；办理会员年卡，一次性缴纳360元会员费，每次游泳另收费18元(一年内有效).王叔叔打算去该游泳馆游泳，选择什么方式更划算呢？请你帮王叔叔算一算，选一选. (1)王叔叔叔一年游泳达______次，两种付费方式所用钱数相等. (2)请根据上面的计算结果，给王叔叔提出合理建议？ 答案(1)30 (2)见详解 解析：(1) (次) 答：王叔叔叔一年游泳达30次，两种付费方式所用钱数相等，故答案为：30； (2)王叔叔一年游泳不足30次时，不用办会员；正好30次时，可办也可以不办会员；超过30次时，办会员划算. 3、 易错点点拨 易错点1除法的符号法则与加减运算符号法则混淆出错 例1 .计算的结果为（    ） A． B．1 C． D．4 错解-4 正解 【答案】D 【分析】根据乘除混合运算的规则进行计算求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算．解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则 易错点2 有理数除法运算中误用分配律 例2. 计算 错解: ． 正解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握相关运算法则和运算顺序，正确的计算，是解题的关键． 易错点3 有理数混合运算的实际应用中混淆数量关系 例3. 一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是，小莉此时在山脚测得温度是7． 已知该地区高度每增加100m，气温大约降低0.8，这个山峰的高度大约是多少米？ 错解：x0.8x100=640 正解 【答案】1000米 【分析】先求出山脚和山顶的温差，然后用温差除以0.8，所得的结果乘以100即为山峰高度． 【详解】解：由题意知，（米）， 答：这个山峰的高度大约是1000米． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用．解题的关键在于理解题意并正确运算． 四、针对训练 1 有理数的除法 1. ． 【答案】/ 【解析】解：. 2.计算： (1)(－18)÷(－)； (2)16÷(－)÷(－)． 解：(1)(－18)÷(－)＝(－18)×(－)＝18×＝27； (2)16÷(－)÷(－)＝16×(－)×(－)＝16××＝. 3.计算 (1)(－15)÷(－3)； (2)12÷(－)； (3)(－0.75)÷(0.25)． 解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5； (2)12÷(－)＝－(12÷)＝－48； (3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3. 2有理数除法的应用 1.化简下列分数： （1） ＝ ； （2） ＝ ； （3） ＝ ． 【答案】 （1） ﹣8 （2） （3） 0 【分析】根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：； ； ， 故答案为：﹣8；；0． 【点睛】本题考查了有理数的除法法则，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0是解题的关键． 2．在湖北省抗击新冠病毒期间，国家实行“一省帮一市对口”支援，春雨矿泉水厂向武汉市的某地区运送矿泉水，该地区人口约12万，每人每天需2瓶水，24瓶水装成一箱，则该厂每天需要装运多少箱矿泉水？ 【解析】先计算每天需要矿泉水的瓶数，再用总瓶数除以每箱矿泉水的瓶数即可得出答案． 解：120000×2÷24=10000（箱）， 答：则该厂每天需要装运10000箱矿泉水． 3．（1）两数的积是1，已知一个数是-2，求另一个数； （2）两数的商是-3，已知被除数是4，求除数． 【解析】根据题意列出算式即可求出答案． 解：（1）1÷（-2）=1×（-）=-； （2）4÷（-3）=×（-）=- 4．某自行车厂一周计划每日生产400辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆、393辆、397辆、410辆、391辆、385辆、405辆． （1）用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况； （2）该车厂本周实际共生产多少辆自行车？平均每日实际生产多少辆自行车？ 【解析】（1）在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．比400辆多出的数记作正数，比400辆少的记作负数； （2）本周实际共生产自行车的辆数=本周内每日实际生产量之和，再除以7即得平均每日实际生产自行车的辆数． 解：（1）以每日生产400辆自行车为标准，多出的数记作正数，不足的数记作负数，则有 +5，-7，-3，+10，-9，-15，+5； （2）405+393+397+410+391+385+405=2786（辆），2786÷7=398（辆）． 即总产量为2786辆，平均每日实际生产398辆． 3 有理数乘除混合运算 1.计算，结果正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解： ，故选：A． 2甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距（　　）米． A．900 B．720 C．540 D．1080 【答案】A 【解析】解： ， ， （米）， 3.定义一种新运算：．例如．则的值为（    ） A． B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】先求出的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ = = =， ∴ = = = =15． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义下的有理数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 答：A、B两地相距900米， 4.计算： （1）-5×2+3÷ -（-1）； （2）（ ）÷ ． 【答案】 （1）解：原式=-10+3×3+1=-10+9+1=0， 故答案为：0； （2）解：原式= ， 故答案为：-23． 【解析】【分析】（1）利用有理数的加减乘除混合运算计算求解即可； （2）利用有理数的加减乘除混合运算计算求解即可。 5.用简便方法计算：（﹣ ﹣ + ）÷（﹣ ）． 【答案】 解：原式=（﹣ ﹣ + ）×（﹣36） =16+15﹣6 =25． 【解析】【分析】根据乘法的分配律计算即可. 6.在计算时，小明的解法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)小明的解法是错误的，主要错在第_______步，错因是___________； (2)请在下面给出正确的解答过程． 【答案】(1)一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算 (2)见解析 【分析】（1）观察小明的计算过程可以发现，第一步没有按照运算顺序计算，所以错误； （2）按照有理数混合运算顺序和法则计算即可． 【详解】（1）解：通过观察小明的计算过程发现，第一步在计算乘除的同级运算时，没有按照从左到右的顺序依次计算导致错误， 故答案为：一，同级运算没有按照从左到右的顺序依次进行运算； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，掌握有理数的混合运算顺序和法则是解题的关键．． 7.某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃．若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 4 3 4 5 3 (1)这20箱樱桃质量相差最大是多少千克？ (2)这20箱樱桃的总质量是多少千克？ (3)水果店购进这批樱桃需要付运费100元，要把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得利润为成本的作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批樱桃的过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本＝总进价＋运费） 【答案】(1)这20箱樱桃质量相差最大是1．3千克 (2)这20箱樱桃的总质量是205千克 (3)该水果店销售这批樱桃共盈利1312元 【详解】（1）解：（千克） 答：这20箱樱桃质量相差最大是1.3千克． （2） （千克） 这20箱樱桃的总质量是205千克． （3） （元） （元） （元） 答：该水果店销售这批樱桃共盈利1312元． 8．为常态化开展社会人群核酸检测工作，我市在人群密集、流动量大的区域布局了健康小屋（便民核酸采样点）．某采样点计划每天完成人次的核酸采样，实际每天采样的数量相比有出入，下表是十月份某一周该采样点的实际采样人次（超过为正，不足为负，单位：人次） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)根据记录可知该采样点前三天共完成了多少人次的核酸采样？ (2)采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了多少人次？ (3)该采样点采用十人混检的方式收集核酸样本（将个人的样本采集后放到同一根采样管中进行检测），该采样点在这周至少需要多少根采样管？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：（人次） 答：该采样点前三天共完成了人次的核酸采样； （2）解：（人次） 答：采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了人次； （3）解：（人次） （根） 答：该采样点在这周至少需要根采样管 4、 能力提升 提升1 有理数的除法 1.计算：． 【答案】． 【详解】解： ． 2.计算． 【答案】 【详解】原式 提升2有理数除法的应用 1.根据如图给出的数轴，解答下面的问题： （1）点A表示的数是 　 　，点B表示的数是 　 ．若将数轴折叠，使得A与﹣5表 示的点重合，则B点与数 　 　　 表示的点重合； （2）观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：　 　； （3）化简：＝　 　，并将化简的结果在下面的数轴上表示出来． 【分析】（1）根据数轴上的点表述的特点，对称的性质来填空即可； （2）根据数轴两点的距离定义来做即可； （3）利用分数的性质约分，并在数轴上表示出来． 【解答】解：（1）点A表示的数是 1，点B表示的数是﹣3．若将数轴折叠，使得A点与﹣5表示的点重合，则B点与数﹣1表示的点重合； 故答案为：1；﹣3；﹣1； （2）根据数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：﹣3或5； 故答案为：﹣3或5； （3）化简：＝2.5； 故答案为：2.5． 【点评】本题考查了数轴与有理数的除法，解题的关键是掌握数轴的意义，约分． 2.甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，且甲比乙快.开始后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲刚好下到半山腰，求甲从出发到返回出发点共需多少小时？ 答案：1.5小时 解析：下山的600米相当于上山：（米）， 甲下山走一半的路程，相当于甲用上山的速度走的路程，也就是乙上山走一个全程， 甲上山走一个个全程. 甲乙两人的速度比是， 甲上山速度是：（米/小时）， 甲下山速度是（米/小时）. 1个上山全程是（米）. 出发1小时后，甲还有下山路（米）， 要走（小时）； 一共要走（小时）. 答：甲从出发到返回出发点共需1.5小时. 3．甲、乙两地相距720千米.一辆汽车从甲地匀速开往乙地，已经行驶了4小时，剩下的路程比已经行驶的多40千米.这辆汽车的速度是多少千米/时？ 答案：这辆汽车的平均速度是85千米/时 解析：（千米/时）， 答：这辆汽车的平均速度是85千米/时. 3．一只船被发现漏水时，已经进了一些水，水均匀进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？ 答案：14 解析：设一人一小时淘出的水量定为1， 3小时的总水量：， 8小时的总水量：， 每小时的进水量：， 2小时的总水量：， 需要的人数：（人）， 答：需要安排多少人淘水14人. 4．2022年2月6日，女足2022亚洲杯决赛，中国队以的比分逆转韩国队，时隔16年再次获得亚洲杯冠军. （1）这场决赛，中国队的进球数是韩国队进球数的几倍？ （2）你了解足球吗？足球的表面是由32块的黑色五边形和白色六边形围成.其中黑色五边形的块数是3和4的最小公倍数，请问黑色五边形和白色六边形各有多少块？ （3）淘气是一名足球爱好者，他要从甲城到相距360千米的乙城去看一场期待已久的足球赛，已知他前3小时行驶了180千米，照这样的速度，行完全程需要几小时？ 答案：（1）倍 （2）12块，20块 （3）6小时 解析：（1）， 即中国队的进球数是韩国队进球数的倍； （2）3和4的最小公倍数是， 则黑色五边形有12块， 则白色六边形有块； （3）因为前3小时行驶了180千米， 所以每小时行驶千米， 所以照这样的速度，行完全程需要小时. 提升3 有理数乘除混合运算 1.(1)－2.5÷×(－)； (2)(－)÷(－)×(－1)． 解：(1)原式＝－××(－)＝××＝1； (2)原式＝(－)×(－)×(－)＝－(××)＝－4. 2.计算：． 解法1：原式① ② ③ 解法2：原式① ② ③ (1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可） (2)请给出正确解答． 【答案】(1)①；③ (2)解答过程见详解 (1)解：解法1，步骤①中“先算加减后算乘除”不符合有理数混合运算法则，故步骤①错误； 解法2，，步骤③不符合有理数加法法则，故步骤③错误． 故答案为：①；③． (2)解：原式 3.请你先认真阅读材料： 计算 解：原式的倒数是（﹣+）÷（） ＝（﹣+）×（﹣30） ＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30） ＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于﹣ 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：． 【分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数（﹣+﹣）÷（﹣）的结果，再算出原式结果即可． 【解答】解：原式的倒数是： （﹣+﹣）÷（﹣） ＝（﹣+﹣）×（﹣42） ＝﹣（×42﹣×42+×42﹣×42） ＝﹣（7﹣9+28﹣12） ＝﹣14， 故原式＝﹣． 【点评】此题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 4.如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． (3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度． 【答案】(1)点B所对应的数是4； (2)A，B两点间的距离是14个单位长度； (3)经过5秒或9秒A、B两点相距4个单位长度． 【详解】（1）解：， 故点B所对应的数是4； （2）解：（秒）， （个单位长度）， 故A，B两点间的距离是14个单位长度； （3）解：①运动后的B点在A右边4个单位长度， （秒）； ②运动后的B点在A左边4个单位长度， （秒）， 故经过5秒或9秒A、B两点相距4个单位长度． 5.如图， 7          2     5      1 (1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______ (2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是 ， (3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取的数为______________，算式为___________________ 【答案】(1)35 (2) (3)，2，5，1；（答案不唯一） 【详解】（1）解：从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是， 故答案为：35； （2）从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是； 故答案为：； （3）选取：，2，5，1； 算式为：（答案不唯一） 学科网（北京）股份有限公司 $$