精品解析：广西壮族自治区玉林市容县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

容县2024年春季期期末适应性训练 八年级数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本考卷分试题卷和答题卡两部分．请将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答案卡上对应题目的选项标号涂黑． 3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的条件，掌握二次根式的条件是解题的关键．根据二次根式的条件即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 故选D． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的定义，最简二次根式满足：被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式； B. ，不是最简二次根式； C. 是最简二次根式； D. ，不是最简二次根式； 故选C． 3. 直线的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的一次项系数为，常数项为， ∴此函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键． 4. 某同学对数据32，36，28，33，4■，43，50进行统计分析，发现两位数“4■”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差、平均数、众数、中位数，关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可. 【详解】解：∵中位数是从小到大排列后处于中间的1个数或中间2个数的平均数， ∴中位数不受影响的， 故选：C． 5. 根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定性质逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意； B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意； C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意； D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，是矩形 B. 当时，是菱形 C. 当是正方形时， D. 当是菱形时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定和性质逐个分析判断即可． 【详解】解：A、当时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，故该选项不符合题意； C、当是正方形时，由正方形的对角线可得，故该选项不符合题意； D、当是菱形时，可得，不能得到，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 7. 如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（ ） A. 三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 8. 如图，已知P是正方形对角线上一点，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、角平分线定义和三角形外角的性质等，根据正方形性质得，根据角平分线定义求得，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：C． 9. 勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即绳索的长是， 故：A． 10. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则的值是（ ） A. 48 B. 56 C. 66 D. 78 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形面积计算，勾股定理，正确作出辅助线，由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键．连接，由勾股定理，得，于是，代入求解即可． 详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 11. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变(如图)，若正方形教具边长为，，则四边形的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质．过点作交延长线于E，先证明四边形是菱形，得，则，利用等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理求得，然后菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点作交延长线于E，如图， ∵正方形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴， 故选：B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为，连接，以为边，为直角，在右侧作等腰直角三角形，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质； 首先求出点，进而得，，过点D作轴于点E，证，得，，由此求出，据此可得点D的坐标． 【详解】解：对于，当时，， 则点， 又∵点C的坐标为， ∴，， 过点D作轴于点E，如图所示： ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 比较大小∶ 2________ (填“>” “<”或“=” ) ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，被开方数越大，其值越大，能熟练应用算术平方根进行转化，是解题的关键． 由2是4的算术平方根，可比较出大小． 【详解】 故答案为： 14. 甲、乙两名同学次跳远成绩的方差分别为，，则跳远成绩更稳定的是__________． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．解题的关键是理解并掌握：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴跳远成绩更稳定的是甲． 故答案为：甲． 15. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题． 一次函数的图象在轴下方时，，再根据图象写出解集即可． 【详解】解：当不等式时，一次函数的图象在轴下方， ∴． 故答案为：． 16. 如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角为________度． 【答案】45 【解析】 【分析】根据正方形的性质，由两个角度为45°的等腰直角三角形构成，即可得解. 【详解】根据题意，由正方形的性质，得 两个等腰直角三角形构成正方形， 即角度为45°. 【点睛】此题主要考查正方形的性质运用，熟练掌握，即可解题. 17. 如图，中，．以点C圆心，长为半径作弧，交于点D，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点P，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出，然后根据作图可得，，据此计算即可得到结论． 【详解】∵，， ∴，， 由作图过程可得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，矩形中，，为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点在边上时，则；③当时，则；④的最小值为．其中正确的结论是______(填写序号)． 【答案】②④ 【解析】 【分析】由及，可判定①；当点在边上时，可求得，从而由矩形的性质及等腰三角形的性质，可得的度数，根据互余关系可求得的度数，从而对②作出判断；当时，可求得的长，进而可求得的函数值，则可对③作出判断；取，连接，，证明，则，从而，在中求出，即可对④作出判断． 【详解】解：①∵，， ∴， 故①错误； ②当点在边上时，如图，     ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ③当时，如图， ∵， ∴是等边三角形， 如图，过点作于，交于， 则，四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 而， ∴， ∴， 故③错误； ④如图，取，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长； 在中，， 由勾股定理得， 故④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，构造辅助线证明两个三角形全等是解决取得最小值的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的加减混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 先计算乘方、算术平方根、与二次根式的除法、化简绝对值，再计算实数的加减即可得． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法，再约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 已知是三边的长，且满足关系式． （1）求的值； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2）是等腰直角三角形，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了算数平均数的非负数的性质，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定． （1）根据可得，由二次根式非负数的性质即可求出答案． （2）由（1）可得，再证明，得到．则是等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，． 【小问2详解】 是等腰直角三角形， 理由：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形． 22. 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明． （1）如图1，点D，E分别是的边，的中点，求证：，且； （2）如图2，四边形中，点M是边的中点，点N是边的中点，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）如图所示，延长到F，使得，证明，得到，则，再由点D是的中点，得到，即可证明四边形是平行四边形，则，，再由，即可证明； （2）如图所示，连接并延长交延长线于E，证明，得到，，即点N是的中点，由（1）的结论可知，则． 【小问1详解】 证明：如图所示，延长到F，使得， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∴，且； 【小问2详解】 解：如图所示，连接并延长交延长线于E， ∵， ∴， ∵点N是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，即点N是的中点， 又∵点M是的中点， ∴由（1）的结论可知， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀)，绘制了如下统计图表： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 m 中位数 8 b 众数 a 7 根据上述信息，解答下列问题： （1）学生成绩统计表中______， ______； （2）求八年级学生成绩的平均数m； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航空航天知识掌握更好？并说明理由． 【答案】（1）8，75 （2）7.55 （3）七年级，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的计算方法进行求解即可； （2）利用加权平均数的计算方法，进行求解即可； （3）利用中位数和众数进行判断即可． 【小问1详解】 解∶ 解：七年级中8分的人数所占的比重最大， ∴； 八年级的成绩排序后，第10个和第11个数据为7和8； ∴， 故答案为∶8，7.5； 【小问2详解】 解∶ 答：八年级学生成绩的平均数是7.55． 【小问3详解】 解：七年级的学生对航天航空知识掌握更好， 理由如下：因为两个年级的平均数相同，但七年级的中位数和众数均高于八年级，所以七年级的学生对航天航空知识掌握更好． 24. 通过《一次函数》学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质． 下面是他的探究过程，请你补充完整： （1）列表： x … 0 1 y … 3 2 1 0 k 2 3 直接填空： ______． （2）描点并画出该函数的图象． （3）观察的图象，类比一次函数，写出该函数的两条性质： ①______；②______． （4）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内(不包括边界)整点的个数为______． 【答案】（1）1 （2）见解析 （3）函数有最小值为； 当时，随着的增大而增大；时，随着的增大而减小 （4）9 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图象即可； （3）观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可； （4）观察图象即可解答． 【小问1详解】 解∶ 当 时， ， ， 故答案为∶ 1； 【小问2详解】 解∶ 描点、连线画出该函数图象如图： 【小问3详解】 解∶写出该图象的两条性质： ①函数有最小值为， ②当时，随着的增大而增大；时，随着的增大而减小， 故答案为：函数有最小值为； 当时，随着的增大而增大；时，随着的增大而减小； 【小问4详解】 解∶如图， 该函数图象与直线 围成的区域内 (不包括边界) 整点的个数为9， 故答案为∶ 9． 25. 【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解电动汽车电池需要多久能充满，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计如下两组实验． 实验一：探究得出电池充电状态下汽车仪表盘显示电量(%)与充电时间t(小时)的关系式为． 实验二：探究满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量(%)与行驶里程(千米)的关系，数据记录如表1． 表1：汽车行驶过程 已行驶里程(千米) 电量(%) 【建立模型】（1）结合表1的数据求出仪表盘显示电量(%)与行驶里程(千米)之间的函数表达式； 【解决问题】（2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车平均每小时行驶千米，行驶小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间? 【答案】（1）；（2）要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的实际运用，一次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，即可． （1）根据图表，设，把将，代入，解出，，即可； （2）根据题意，先求出满电时行驶小时的路程，再求出剩余电量，假设充电充了小时，应增加电量：；根据题意，求出剩余路程，此时满电状态下剩余电量为，得到应耗电量为，根据，解出，即可． 【详解】解：（1）根据表中数据可以得出仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）之间的函数关系为一次函数，设， 将，代入 ∴得， 解得：， ∴仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）之间的函数解析式为：； （2）由题意得，先在满电的情况下行走了， 当时，， ∴在服务区未充电前电量显示为， 假设充电充了小时，应增加电量：， ∴再次出发时电量为，剩余路程， ∴满电状态下剩余电量为， ∴应耗电量为， ∴， 解得：． 答：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电小时． 26. 综合实践：在一节综合实践课上，数学老师要求同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，点M是边的中点，点P、Q是边上的两个动点，连接、，将折叠，使点A落在线段上的点处，是折痕，将折叠，使点B落在线段上的点．处，是折痕． （1）如图1，当点P与点Q重合时． ①线段与线段的位置关系是： ； ②请说明：； （2）如图2，当点P在点Q的左侧时，若，求的度数； （3）若，直接写出的度数为 ．（用含α的代数式表示） 【答案】（1）①；②见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，补角，折叠的性质，两个角的和与差，分类思想． （1）① 根据折叠的性质，得，，结合，化简计算即可． ②由①可知，则，由正方形的性质可知，得，再由等角的补角相等即可证明结论； （2）根据折叠的性质，得，，结合，，计算结合计算即可． （3）分点P在点Q的左侧和右侧两种情况，类比（2）计算即可． 【小问1详解】 ① 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：； ②由①可知，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴． 【小问3详解】 如图，当点P在点Q的左侧时， 根据折叠的性质，得，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 当点P在点Q的右侧时， 根据折叠的性质，得，， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 故得度数为或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 容县2024年春季期期末适应性训练 八年级数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本考卷分试题卷和答题卡两部分．请将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答案卡上对应题目的选项标号涂黑． 3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 直线的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 4. 某同学对数据32，36，28，33，4■，43，50进行统计分析，发现两位数“4■”的个位数字模糊不清，则下列统计量不受影响的是（ ） A 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，是矩形 B. 当时，菱形 C. 当是正方形时， D. 当是菱形时， 7. 如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（ ） A. 三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 8. 如图，已知P是正方形对角线上一点，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，则的值是（ ） A. 48 B. 56 C. 66 D. 78 11. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学科代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变(如图)，若正方形教具边长为，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为，连接，以为边，为直角，在右侧作等腰直角三角形，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 比较大小∶ 2________ (填“>” “<”或“=” ) ． 14. 甲、乙两名同学次跳远成绩的方差分别为，，则跳远成绩更稳定的是__________． 15. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是______． 16. 如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角为________度． 17. 如图，中，．以点C圆心，长为半径作弧，交于点D，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点P，若，则_____． 18. 如图，矩形中，，为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点在边上时，则；③当时，则；④的最小值为．其中正确的结论是______(填写序号)． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知是三边的长，且满足关系式． （1）求的值； （2）若，判断形状，并说明理由． 22. 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明． （1）如图1，点D，E分别是的边，的中点，求证：，且； （2）如图2，四边形中，点M是边的中点，点N是边的中点，若，，，直接写出的长． 23. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展“航空航天”知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀)，绘制了如下统计图表： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 m 中位数 8 b 众数 a 7 根据上述信息，解答下列问题： （1）学生成绩统计表中______， ______； （2）求八年级学生成绩的平均数m； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航空航天知识掌握更好？并说明理由． 24. 通过《一次函数》学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质． 下面是他的探究过程，请你补充完整： （1）列表： x … 0 1 y … 3 2 1 0 k 2 3 直接填空： ______． （2）描点并画出该函数的图象． （3）观察的图象，类比一次函数，写出该函数的两条性质： ①______；②______． （4）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点．则该函数图象与直线围成的区域内(不包括边界)整点的个数为______． 25. 【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解电动汽车电池需要多久能充满，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计如下两组实验． 实验一：探究得出电池充电状态下汽车仪表盘显示电量(%)与充电时间t(小时)的关系式为． 实验二：探究满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量(%)与行驶里程(千米)的关系，数据记录如表1． 表1：汽车行驶过程 已行驶里程(千米) 电量(%) 【建立模型】（1）结合表1的数据求出仪表盘显示电量(%)与行驶里程(千米)之间的函数表达式； 【解决问题】（2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车平均每小时行驶千米，行驶小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间? 26. 综合实践：在一节综合实践课上，数学老师要求同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，点M是边的中点，点P、Q是边上的两个动点，连接、，将折叠，使点A落在线段上的点处，是折痕，将折叠，使点B落在线段上的点．处，是折痕． （1）如图1，当点P与点Q重合时． ①线段与线段的位置关系是： ； ②请说明：； （2）如图2，当点P在点Q的左侧时，若，求的度数； （3）若，直接写出的度数为 ．（用含α的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$