精品解析：山东省淄博市淄川区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

初三数学试题 （时间120分 满分150分） 亲爱的同学们： 这份试题将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光．请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初三学年第二学期的期末数学学习画上圆满的句号!特别提醒：本次考试不允许使用计其器． 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个实数根，则代数式的值为（ ） A B. C. 2 D. 3 3. 一元二次方程中，根的判别式的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 20 D. 32 4. 如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是（ ） A. B. 平分 C. D. 是等边三角形 5. 如图，在矩形中，，点的坐标为，则的值为（ ） A 8 B. 6 C. 4 D. 3 6. 已知关于的方程的两个实数根分别为2和，则二次三项式可以因式分解为（ ） A. B. C. D. 7. 主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时倍好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，对角线相交于点E，若，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则的值为（　　） A. 4 B. C. D. 5 11. 取一张长与宽之比为的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图）．并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计）．这张长方形纸板的长为多少厘米？（　　） A. 24cm B. 30cm C. 32cm D. 36cm 12. 如图，在中，，，，垂足为D，F为线段上一点，若，则为（ ） A. B. C. 1 D. 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 请列举一个四条边相等的特殊平行四边形______． 14. 若，则的值为______． 15. 若与可以合并，则的最小整数值是______． 16. 请在横线上填写一个恰当的整数，使方程_______ 有两个不相等的实数根． 17. 用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为_____．（精确到） 18. 如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E的横坐标为，则点P的坐标为______． 19. 如图，在正方形中，点，为，上的点，且，与交于点，连接，点为中点，连接，若，，则的长为________． 20. 将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是______． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. 完成下列各题： 计算：，； 解方程：，． 22. 如图，矩形中，，，点E、F分别在、上，且． （1）求证：四边形菱形； （2）求线段的长． 23. 如图，梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 24. 某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同． （1）求该商品每次降价的百分率； （2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？ 25. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程衍生点的坐标为______； （2）已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 26. 【问题背景】（1）如图1，已知，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在和中，，，点在边上，与相交于点，连接． ①填空：的值为______； ②若，求的值； 【拓展创新】（3）如图3，是内一点，，，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三数学试题 （时间120分 满分150分） 亲爱的同学们： 这份试题将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，老师会一直投给你信任的目光．请你认真审题，看清要求，仔细答题．祝你考出好成绩，为初三学年第二学期的期末数学学习画上圆满的句号!特别提醒：本次考试不允许使用计其器． 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根或算术平方根，熟知立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根、立方根和平方的定义逐项计算即可． 【详解】解：，故A选项计算错误，不合题意； ，故B选项计算错误，不合题意； ，故C选项计算错误，不合题意； ，故D选项计算正确，符合题意； 故选：D． 2. 已知是方程的一个实数根，则代数式的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方程的解的概念、代数式的变形和整体代入的数学思想方法，由k是方程的一个实数根可得与的值，然后整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵k是方程的一个实数根， ∴，显然，两边同时除以k，得：， ∴，， ∴， 故选：B． 3. 一元二次方程中，根的判别式的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 20 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式计算，能够找准各项系数代入计算是解决这类题目的关键． 根据根的判别式公式直接代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程可化为， 原方程中， ， 故选：C． 4. 如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，仍不能使矩形成为正方形的是（ ） A. B. 平分 C. D. 是等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A选项，添加，满足“对角线互相垂直的矩形是正方形”，不合题意； B选项，平分，则，，，，，，是正方形，不合题意； C选项，添加，满足“有一组邻边相等的矩形是正方形”，不合题意； D选项，是等边三角形，则，不满足，不能使矩形成为正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，能熟记正方形的判定定理是解题的关键． 5. 如图，在矩形中，，点的坐标为，则的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查矩形的对角线长度，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用． 连接，根据点坐标求出的长，由矩形的性质即可得到，列方程即可求解． 【详解】如图，连接， ∵，四边形矩形， ， 的坐标为， ， ， 解得：或（舍去）， 故选：B． 6. 已知关于的方程的两个实数根分别为2和，则二次三项式可以因式分解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，运用因式分解法反向求方程的分解式． 根据方程的两根，将其配成两个相乘的式子，即是原方程的分解式．即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程的两个根为． ∴原方程为：． ∴二次三项式可分解为． 故选：A． 7. 主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时倍好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 点P是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P是黄金分割点，且，，则，， ， ． 故选：A． 8. 在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使，则，即可推出，则是边的垂线即可，由此求解即可． 【详解】解：当是的垂线时，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 根据作图痕迹可知， A选项中，是的角平分线，不符合题意； B选项中，不与垂直，不符合题意； 选项中，是的垂线，符合题意； 选项中，不与垂直，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 9. 如图，在四边形中，，对角线相交于点E，若，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】由四边形中， ，可得，再利用，，然后可求出，根据可得，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是与三角形的高相关的面积问题，平行线的性质，熟练的掌握同高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键． 10. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则的值为（　　） A 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，利用三角形相似建立等式，再根据根的判别式等于0建立方程求解． 【详解】∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵满足条件的点P有且只有一个， ∴方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定定理及性质，方程的思想，解题的关键是：掌握相似三角形的判定定理及建立方程进行求解． 11. 取一张长与宽之比为的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图）．并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计）．这张长方形纸板的长为多少厘米？（　　） A. 24cm B. 30cm C. 32cm D. 36cm 【答案】B 【解析】 【分析】设这张长方形纸板的长为厘米，宽为厘米，根据包装盒的容积为，得，解方程即可． 【详解】设这张长方形纸板的长为厘米，宽为厘米， 根据题意，得， 解方程，得（不合题意，舍去），， ∴这张长方形纸板的长为30厘米． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题的关键． 12. 如图，在中，，，，垂足为D，F为线段上一点，若，则为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作交于点H，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，求出，证明，得出，即，求出结果． 【详解】解：过点D作交于点H，如图所示， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识．熟练掌握中位线定理，证明三角形相似是解题的关键． 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 请列举一个四条边相等的特殊平行四边形______． 【答案】菱形（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的四条边相等即可求解． 【详解】解：菱形是四条边相等的特殊平行四边形， 故答案为：菱形（答案不唯一）． 14. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了比例的性质，此题比较简单，注意掌握比例的性质是解此题的关键． 设，即可解答． 【详解】解：∵， 设， 则， 故答案为：． 15. 若与可以合并，则的最小整数值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，化简，根据同类二次根式的定义即可得出答案． 【详解】解：， ∴m的最小整数值是6． 故答案为：6． 16. 请在横线上填写一个恰当的整数，使方程_______ 有两个不相等的实数根． 【答案】0（答案不唯一，小于的整数均可） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，设常数项为c，利用根的判别式的意义得，解不等式得到c的范围，然后在c的范围内取一个具体的整数值即可．解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”． 【详解】解：设常数项为c， 关于x的方程有两个不相等的实数根， ， 解得， c为整数， c可取0． 故答案为：0（答案不唯一，小于的整数均可）． 17. 用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为_____．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得． 【详解】解：一元二次方程中的， 则， 所以这个方程的正数解近似表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了近似数、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 18. 如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E的横坐标为，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的概念得到，求出，再证明，得到，即可求出，得到答案． 【详解】∵四边形为矩形，点B的坐标为， ∴， ∵点E的横坐标为， ∴ ∵矩形与矩形是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出是解题的关键． 19. 如图，在正方形中，点，为，上的点，且，与交于点，连接，点为中点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明，由全等三角形的性质可得，从而得到确定直角三角形，为直角三角形的斜边，，再由直角三角形斜边的中线的性质和勾股定理求出的长． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴直角三角形，为直角三角形的斜边， ∵点为中点， ∴由直角三角形的性质可得， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 20. 将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质，根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设． 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∵剩下的平行四边形与原来平行四边形相似， ∴对应边成比例， 分两种情况讨论： ①， ∴， 设，分子分母同时除以，得：， 解得：； ②， ， 设，则：， 解得：， 两个答案都满足， 综上：平行四边形的相邻两边与的比值是或． 故答案为：或． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. 完成下列各题： 计算：，； 解方程：，． 【答案】；1；或；或 【解析】 【分析】该题主要考查了二次根式的混合运算以及解一元二次方程，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和解一元二次方程的常用方法：配方法，因式分解法，公式法，直接开平方法． 根据二次根式的混合运算法则计算即可；根据二次根式的混合运算法则计算即可；整理后根据公式法求解即可；整理后根据配方法求解即可； 【详解】解： ； 解： ； 解： 整理得：， 则， ∴， ∴， ∴或； 解： 整理得：， 即， 配方得， ， 解得：或． 22. 如图，矩形中，，，点E、F分别在、上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）过F作于点H，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 ∵在矩形中，，, ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 过F作于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 23. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中，， ， ． 【小问2详解】 证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 24. 某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同． （1）求该商品每次降价的百分率； （2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？ 【答案】（1）10%；（2）6件 【解析】 【分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可； （2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价． 【详解】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x， 60（1-x）2=48.6， 解得x1=0.1，x2=1.9（舍去）， 答：该商品每次降价的百分率是10%； （2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件， 由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200， 解得a≥， ∵a为整数， ∴a的最小值是6， 答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型． 25. 定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为______； （2）已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②；③ 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 【小问2详解】 ①∵方程， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 26. 【问题背景】（1）如图1，已知，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在和中，，，点在边上，与相交于点，连接． ①填空：的值为______； ②若，求的值； 【拓展创新】（3）如图3，是内一点，，，，，直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）①；②3；（3） 【解析】 【分析】（1）由题意得出，则，可证得结论； （2）①根据即可求解； ②证明，再证，由相似三角形的性质得出，可证明，得出，则可求出答案． （3）过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， 证明，由相似三角形的性质得出，证明，得出，求出，由勾股定理求出，最后由直角三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ； （2）解：①如图2， ， ； ②如图2，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． （3）解：如图3，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 即， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】此题是相似三角形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$