精品解析：湖南省常德市澧县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

七年级数学练习题 一、选择题（本小题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件 B. 连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上 C. 从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件 D. 掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性 2. 若，则下列不等式中成立的是（     ） A. B. C. D. 3. 某商场为吸引顾客设计了如图所示自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，等边的两个顶点A，分别在直线和上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 《孙子算经》是中国古代重要数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ） A. 关于x方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 8. 如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是1和2，则正方形的面积是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 9. 某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，假设某一商品的定价为，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是（　 ） A. 买两件等值的商品可减100元，再打三折，最后不到1000元 B. 买两件等值的商品可打三折，再减100元，最后不到1000元 C. 买两件等值的商品可减100元，再打七折，最后不到1000元 D. 买两件等值的商品可打七折，再减100元，最后不到1000元 10. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　　） A. B. C. D. 二、填空题（本小题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中球搅匀，从中任意摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为______个． 12. 如图，直线，，，则的度数为__________． 13. 如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为_________． 14. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为__________． 15. 若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则的取值范围为____________． 16. 如图所示，点，，，……在轴上，点点，，，……在直线上．已知，轴，……，……，，则的坐标为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分） 17. （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 18. 解方程组： （1）； （2）． 19. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． （1）求出摸出的球是黄球的概率； （2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球，那么这9个球中，红球和黄球的数量分别应是多少？ 20. 中，垂直平分线段，交于点，垂直平分线段，交于点，与的交点恰好在的一边上． （1）求证：是的中点； （2）求证：． 21. 某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段，分别表示该工作室每天的成本（单位：元），收入（单位：元）与销售量（单位；）个）之间的函数关系．求该工作室一天制作工艺品超过多少个时开始盈利？ 22. 如图，是由边长为1个单位的正方形组成的小方格平面，线段的两个端点在小方格的格点上（小正方形的顶点），请你在该方格平面内仅用直尺画出一条线段，使且，垂足为点，并证明作图合理的原因． 23. 近年来，电动自行车成为人们短距离出行的重要交通工具，但也存在较大安全隐患，骑行时合理佩戴头盔可有效降低安全隐患．某商店购进甲种头盔30个，乙种头盔20个共花费2700元、已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等． （1）求甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店第一次进货很快售完，决定再次购进两种型号的头盔80个，且所购甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的2倍，求商店第二次购进头盔最少花费多少钱？ 24. 已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，使，，连接． 问题发现： 如图1，当点在边上时， （1）请写出和之间的位置关系为___________，并猜想和、之间的数量关系：__________． 尝试探究： （2）如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系、和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当点在边的延长线上且其他条件不变时，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学练习题 一、选择题（本小题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 买一张电影票，座位号为奇数是不确定事件 B. 连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上 C. 从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件 D. 掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查时间发生的可能性，理解题意，列出事件发生的结果数，即可判断事件发生的可能性大小，即可求解． 【详解】解：A、买一张电影票，座位号为奇数不确定事件，正确，不符合题意； B、连续抛5次硬币，至少有一次国徽面朝上，是可能发生也可能不发生的，错误，符合题意； C、从一个装有2个红球，2个白球的密闭盒子里任取一个球，取出的球的颜色是红球或白球是等可能事件，正确，不符合题意； D、掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是2的倍数的可能有2，4，6三种结果，掷出的点数是3的倍数的可能性有3，6两种结果，故掷出的点数是2的倍数的可能性大于掷出的点数是3的倍数的可能性，正确，不符合题意； 故选B． 2. 若，则下列不等式中成立的是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变， ∴， ， 故A正确，C错误； ∵不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， ∴，故B错误； ∵不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变， ∴，故D错误； 故选：A 3. 某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率，阴影部分的圆心角与整个圆的圆周角的比值，即可得；掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵阴影部分占， ∴阴影部分占整个圆面积的：， 该顾客获奖的概率为：， 故选：D． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式的解集；分别解两个不等式，在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 在数轴上表示不等式的解集如图， 故选：A． 5. 如图，直线，等边的两个顶点A，分别在直线和上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，等边三角形的性质，过点C作，根据平行线的性质得，根据是等边三角形得，即可得，根据直线，得，根据两直线平行，内错角相等即可得；掌握平行线的判定与性质，等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵直线，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵直线，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 7. 如图所示，一次函数（k，b是常数，）与正比例函数（m是常数，）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数与正比例函数是常数，的图象相交于点， A．关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意； B．关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； C．当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； D．关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是1和2，则正方形的面积是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、余角的性质、勾股定理、正方形的性质，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的性质与判定． 首先根据题意，利用判定出，然后再利用全等三角形的性质，得出，，然后再根据勾股定理得出，即可得出正方形的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， 根据勾股定理，可得：， ∴， ∴正方形的面积． 故选：A． 9. 某商场促销，小鱼将促销信息告诉了妈妈，假设某一商品的定价为，并列出不等式为，那么小鱼告诉妈妈的信息是（　 ） A. 买两件等值的商品可减100元，再打三折，最后不到1000元 B. 买两件等值的商品可打三折，再减100元，最后不到1000元 C. 买两件等值的商品可减100元，再打七折，最后不到1000元 D. 买两件等值的商品可打七折，再减100元，最后不到1000元 【答案】C 【解析】 【分析】根据0.7（2x-100）＜1000，可以理解为买两件减100元，再打7折得出总价小于1000元． 【详解】由关系式可知： 0.7（2x-100）＜1000， 由2x-100，得出两件商品减100元，以及由0.7（2x-100）得出买两件打7折， 故可以理解为：买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元． 故选C． 【点睛】此题主要考查了由不等式联系实际问题，根据已知得出最后打7折是解题关键． 10. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图过程可得，AP是EC的垂直平分线，可得AE＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，即可求出∠CAD的度数，进而即可求解． 【详解】解：由作图过程可知： AP是EC的垂直平分线，也是∠CAE的角平分线， ∴AE＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∵∠C＝2∠CAD， ∴3∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝30°， ∴∠EAD＝30°， ∴=45°-30°=15°． 故选：A． 【点睛】本题考查了作图−基本作图，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 二、填空题（本小题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现次摸到红球，则这个口袋中红球的个数约为______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，以及用概率求数量．掌握用多次试验发生的频率稳定值来估计概率是解题关键．根据多次重复试验的结果估计摸到红球的概率约是，再用总数乘以概率，即可求出红球的个数． 【详解】解：∵共摸了次球，发现次摸到红球， ∴摸到红球的概率约是， ∴这个口袋中红球的个数约为（个）， 故答案为：． 12. 如图，直线，，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角定义以及性质，根据平行线的性质可得出，再根据三角形的外角定义以及性质可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用等边对等角的性质，得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，然后利用三角形内角和定理，求得，进而得到，即可求出的长． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，三角形内角和定理，解题关键是掌握等边对等角和等角对等边的性质． 14. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】设绳索长为尺， 可列方程为：， 故答案为：． 15. 若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是熟练掌握由一元一次不等式组的解集求参数的方法． 根据题意得到不等式组的两整数解后即可推出的取值范围． 【详解】解：依题得：有且仅有两个整数解， 则整数解为，， ． 故答案为：． 16. 如图所示，点，，，……在轴上，点点，，，……在直线上．已知，轴，……，……，，则的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，求一次函数的值，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，，的规律是解题的关键．根据题意可知是等腰三角形，从而推出，根据平行线的性质同理可推出，……，，代入，即可得到坐标． 【详解】解： 是等腰三角形 又轴， ， ，轴 是等腰三角形，且 同理，,，是等腰三角形 当时， 点坐标为 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分） 17. （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了以及解一元一次不等式组及求不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据去分母、去括号，移项合并同类项、系数化为1，计算求解即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得：； （2）， 由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 18. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可； 掌握消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程进行求解，是解题的关键． 【小问1详解】 解： ，得：，解得：； 把，代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， ，得：，解得：； 把，代入①，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 19. 在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． （1）求出摸出的球是黄球的概率； （2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球，那么这9个球中，红球和黄球的数量分别应是多少？ 【答案】（1） （2）这9个球中红球有7个，则黄球为2个． 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）设这9个球中红球有x个，则黄球为个，根据摸出两种球的概率相同，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵袋子中装有5个红球和10个黄球， ∴将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球，摸出的球是黄球的概率为． 【小问2详解】 解：设这9个球中红球有x个，则黄球为个，根据题意得： ， 解得：， 黄球个数为：（个）， 答：这9个球中红球有7个，则黄球为2个． 20. 中，垂直平分线段，交于点，垂直平分线段，交于点，与的交点恰好在的一边上． （1）求证：是的中点； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及平行线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得，，等量代换得，从而可证结论成立； （2）由等腰三角形的性质得，由三线合一得，可证，从而． 小问1详解】 连接， ∵垂直平分线段， ∴． ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴是的中点； 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 21. 某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段，分别表示该工作室每天的成本（单位：元），收入（单位：元）与销售量（单位；）个）之间的函数关系．求该工作室一天制作工艺品超过多少个时开始盈利？ 【答案】该工作室一天制作工艺品超过15个时开始盈利 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求得函数解析式是解题的关键． 运用待定系数法求出成本（单位：元），收入（单位：元）与销售量x（单位：个）之间的函数关系式，若该工作室某一天既不盈利也不亏损，则，由此可构造方程，求解即可解答． 【详解】设工作室每天的成本与销售量x之间的函数关系式为 ∵该函数图象过点， ∴ 解得 ∴ 设工作室每天的收入与销售量x之间的函数关系式为 ∵该函数图象过点 ∴ 解得 ∴ 当时， 解得 ∴由图可知该工作室一天制作工艺品超过15个时开始盈利． 22. 如图，是由边长为1个单位的正方形组成的小方格平面，线段的两个端点在小方格的格点上（小正方形的顶点），请你在该方格平面内仅用直尺画出一条线段，使且，垂足为点，并证明作图合理的原因． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺画图，全等三角形的判定与性质，取格点C，连接，则线段BC即为所求．取格点M和N，证明即可证明作图合理． 【详解】如图，取格点C，连接，则线段BC即为所求． 取格点M和N， 和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 近年来，电动自行车成为人们短距离出行的重要交通工具，但也存在较大安全隐患，骑行时合理佩戴头盔可有效降低安全隐患．某商店购进甲种头盔30个，乙种头盔20个共花费2700元、已知3个甲种头盔的总钱数与4个乙种头盔的总钱数相等． （1）求甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店第一次进货很快售完，决定再次购进两种型号的头盔80个，且所购甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的2倍，求商店第二次购进头盔最少花费多少钱？ 【答案】（1）甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元； （2）商店第二次购进头盔最少花费4410元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程、不等式是解题的关键． （1）设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购只甲种头盔，则购只乙种头盔，根据题意列出不等式求解，然后列代数式求出费用即可得出结果． 【小问1详解】 解：设甲种头盔的单价为x元，购买乙种头盔的单价为y元， 根据题意，得， 解得：， 答：甲种头盔的单价是60元，乙种头盔的单价是45元； 【小问2详解】 解：设购只甲种头盔，则购只乙种头盔， 则， 解得：， 花费的钱数为：， m越大，费用越高， ∴取时，花费最少，最少为：， 答：商店第二次购进头盔最少花费4410元． 24. 已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，使，，连接． 问题发现： 如图1，当点在边上时， （1）请写出和之间的位置关系为___________，并猜想和、之间的数量关系：__________． 尝试探究： （2）如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系、和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当点在边的延长线上且其他条件不变时，，，求线段的长． 【答案】（1）， （2）当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系仍然成立，和、之间的数量关为：，理由见详解． （3）13 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据证明，则可得，．又由，可得，进而可得，则可得，． （2）根据证明，则可得，．又由，可得，进而可得，则可得，． （3）根据证明，则可得，．再证，然后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， 即， 又，， ， ，， 中，，， ， ， ， 即， ， ， ， ． 故答案为：， （2）当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系仍然成立，和、之间的数量关为：，理由如下： ， ， 即， 又，， ， ，， 中，，， ， ， ， 即， ， ， ， ． （3）， ， 即， 又，， ， ，， 中，，， ， ， ， ， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$