精品解析：河北省邢台市南宫市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023——2024学年度第二学期期末教学质量检测 八年级数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 为进一步了解学校“双减”工作的实施情况，某中学随机调查了15名学生，了解他们每天在家完成作业的用时情况，列表如下： 完成作业用时/分钟 30 50 70 90 人数 3 8 2 2 则这15名学生每天在家完成作业用时的中位数和众数分别为（ ） A. 50，60 B. 50，50 C. 60，50 D. 60，60 4. 下列不能表示是的函数的是（ ） A. 0 5 10 15 3 3.5 4 4.5 B. C. D. 5. 小明参加以“传承经典，筑梦未来”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是分、9分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（ ） A. 8分 B. 分 C. 9分 D. 分 6. 已知函数是关于的一次函数，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 7. 如图，网格中每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C都在格点上，以 A为圆 心 ，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点 D， 则图中线段CD的长是（ ） A. 0.8 B. C. D. 3- 8. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( ) A. B. C. D. 9. 如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 15 10. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 11. 一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 随的增大而减小 D. 当时， 12. 如图，在中，，是两条对角线，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ） A. 27° B. 53° C. 57° D. 63° 14. 如图，用每张长为的纸片，重叠粘贴成一条纸带，则纸带的长度与纸片的张数x之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 15. 已知点和点均在一次函数的图象上，且，则a的值可能是（ ）． A 3 B. 0 C. D. 16. 如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形……按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分） 17. 比较大小：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 18. 我们知道平行四边形具有不稳定性，即：当平行四边形的四条边确定时，得到的平行四边形是不唯一的．如图，中，． （1）的面积的最大值为_________． （2）当面积变为最大面积的一半时，则等于_________°． 19. 如图，在平面直角坐标系中，线段端点为，． （1）直线的函数表达式为______． （2）某同学设计了一个动画：在函数中，输入的值，得到直线，其中点C在x轴上，点D在y轴上．当直线与线段有交点时，直线就会发红光，则此时输入的b的取值范围是______． 三、解答题（本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. （1）计算：． （2）已知，，求的值． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数解析式； （2）若点在该一次函数的图象上，求的值． 22. 如图，在中，，是上的点，连接，，，，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． 23. 某校组织学生参加教育局组织的安全卫生知识竞赛，根据比赛要求，在学校预赛中以班级为单位进行选拔，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成如下的统计图． 请你根据以上提供的信息，解答下列问题． （1）此次预赛中，八年级（1）班成绩在C等级以上（包括C等级）的人数为___________． （2）将表格补充完整． 班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 八年级（1）班 ___________ 90 ___________ 八年级（2）班 86.5 ___________ 80 （3）根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班参加安全卫生知识竞赛？请简述两个理由． 24. 学校计划在总费用3500元的限额内，租用客车送294名学生和6名教师去承德魁星楼研学，出于安全考虑，每辆客车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 54 46 租金/（元/辆） 600 480 设共租用了客车辆，其中租用甲种客车辆，租车总费用为元． （1）求关于的函数解析式． （2）求出最节省费用的租车方案，并说明理由． 25. 已知与x成正比例，且当 时，．直线． （1）求关于x的函数解析式，并在图中画出其图象． （2）将直线向上平移个单位长度得到直线．设图象，直线 分别与x轴交于点A，B，且O，A，B三个点中的两个点关于另一个点中心对称．当 时，求a的值． （3）若在 时，对于x的每一个值都有，直接写出m的取值范围． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求直线的解析式和线段，的长． （2）在线段上有一动点（不与点，重合），过点作轴于点，于点，以，为邻边作． ①求的周长． ②当为菱形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023——2024学年度第二学期期末教学质量检测 八年级数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义；熟练掌握二次根式对被开方数的要求是解题的关键． 根据二次根式的定义．要求被开方数非负，逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，无意义，不是二次根式； B．一定是二次根式； C．当时，无意义，不是二次根式； D．当时，无意义．不是二次根式； 故选：B． 2. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数式有意义时自变量的取值范围．此题考虑分母不为0即可． 【详解】 自变量的取值范围只要满足分母 即． 故选：C． 3. 为进一步了解学校“双减”工作的实施情况，某中学随机调查了15名学生，了解他们每天在家完成作业的用时情况，列表如下： 完成作业用时/分钟 30 50 70 90 人数 3 8 2 2 则这15名学生每天在家完成作业用时的中位数和众数分别为（ ） A. 50，60 B. 50，50 C. 60，50 D. 60，60 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中位数、众数的意义及求法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数，在一组数据中出现次数最多的数是众数．从15个学生每天在家完成作业的时间中，找出出现次数最多的数是众数，排序后处在第8位的数是中位数． 【详解】解：15名学生每天在家完成作业时间从小到大排列后处在第8位的是50分钟，因此中位数是50， 50分钟的出现次数最多，是8次，因此众数是50， 故选：B． 4. 下列不能表示是的函数的是（ ） A. 0 5 10 15 3 3.5 4 4.5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义（如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数）及利用待定系数法确定一次函数解析式依次进行判断即可得． 【详解】解：A、根据图表进行分析为一次函数，设函数解析式为：， 将，，， 分别代入解析式为： ， 解得：，， 所以函数解析式为：， ∴y是x的函数； B、从图象上看，一个x值，对应两个y值，不符合函数定义，y不是x的函数； C、D选项从图象及解析式看可得y是x的函数． 故选：B． 【点睛】题目主要考查函数的定义及利用待定系数法确定一次函数解析式，深刻理解函数定义是解题关键． 5. 小明参加以“传承经典，筑梦未来”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是分、9分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（ ） A. 8分 B. 分 C. 9分 D. 分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，小明的最终比赛成绩是（分）， 故选：D． 6. 已知函数是关于的一次函数，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴，， 解得，，， ∴， 故选：A． 7. 如图，网格中每个小正方形的边长均为 1，点 A，B，C都在格点上，以 A为圆 心 ，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点 D， 则图中线段CD的长是（ ） A. 0.8 B. C. D. 3- 【答案】D 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据正方形的边长、圆的性质可得AD、CE、AE的长，再根据勾股定理可求出DE的长，然后根据线段的和差即可得． 【详解】如图，连接AD 由题意得： 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理等知识点，利用勾股定理求出DE的长是解题关键． 8. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可． 【详解】解：∵一次函数y=x+1，其中k=1>0，b=1>0， ∴图象过一、二、三象限， 故选C． 【点睛】此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 9. 如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可． 【详解】解：∵，对角线与相交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：的周长为9； 故选B． 10. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【详解】∵=>=， ∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵=<<， ∴选择甲参赛， 故选A． 【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定. 11. 一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：由图象知，，且y随x的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴正半轴的交点坐标为，所以，B选项错误； 当时，图象位于x轴的下方，则有，即，D选项正确， 故选：D． 12. 如图，在中，，是两条对角线，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，不能推出是菱形，故不符合要求； B中，不能推出是菱形，故不符合要求； C中，能推出是菱形，故符合要求； D中，不能推出是菱形，故不符合要求； 故选：C． 13. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ） A. 27° B. 53° C. 57° D. 63° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED． 【详解】解：如图所示： ∵AE//BF， ∴∠EAB=∠ABF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB//CD，∠ABC=90°， ∴∠ABF+27°=90°， ∴∠ABF=63°， ∴∠EAB=63°， ∵AB//CD， ∴∠AED=∠EAB=63°． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 14. 如图，用每张长为的纸片，重叠粘贴成一条纸带，则纸带的长度与纸片的张数x之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，解决本题的关键是得到白纸粘合后的总长度的等量关系． 根据粘合后的总长度张纸条的长个粘合部分的长，列出函数解析式即可． 【详解】解：根据纸带的长度y随着纸片的张数x的变化规律得， ， 故选：D． 15. 已知点和点均在一次函数的图象上，且，则a的值可能是（ ）． A. 3 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，熟知一次函数增减性与一次项系数的关系式解题的关键． 16. 如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形……按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，第1个正方形的边长为1，面积为1；第2个正方形的边长为，面积为2；第3个正方形的边长为，面积为4；第4个正方形的边长为，面积为8；……，可推导一般性规律为第个正方形的边长为，面积为；然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，第1个正方形的边长为1，面积为1； 第2个正方形的边长为，面积为2； 第3个正方形的边长为，面积为4； 第4个正方形的边长为，面积为8； ……， ∴可推导一般性规律为第个正方形的边长为，面积为； ∴第个正方形的边长为，面积为； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，图形的规律探究等知识．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，图形的规律探究是解题的关键． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分） 17. 比较大小：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 18. 我们知道平行四边形具有不稳定性，即：当平行四边形的四条边确定时，得到的平行四边形是不唯一的．如图，中，． （1）的面积的最大值为_________． （2）当面积变为最大面积的一半时，则等于_________°． 【答案】 ① 40 ②. 30或150##150或30 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角： （1）如图所示，过点A作于E，由平行四边形面积计算公式可得，则当最大时，的面积的最大，再由，即可得到答案； （2）根据（1）所求可得，进而解直角三角形得到，再分当点E上时，当点E在延长线上时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点A作于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当最大时，的面积的最大， ∵， ∴的面积的最大值为， 故答案为：； （2）由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在上时，，当点E在延长线上时，． 故答案为：30或150． 19. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为，． （1）直线的函数表达式为______． （2）某同学设计了一个动画：在函数中，输入的值，得到直线，其中点C在x轴上，点D在y轴上．当直线与线段有交点时，直线就会发红光，则此时输入的b的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查求一次函数解析式和两直线的交点坐标， （1）设直线方程并利用待定系数法求得解析式即可； （2）求出当直线过点A时和直线过点B时b的值，即可求得答案． 【详解】（1）设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线AB的表达式为． 故答案为：； （2）当线段经过A点时，，解得； 当线段经过B点时，，解得， ∴当时，直线就会发红光． 故答案为：． 三、解答题（本大题有7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. （1）计算：． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和求值，能正确根据运算法则进行化简和计算是解此题的关键． （1）根据二次根式的加减混合运算法则计算； （2）先用完全平方公式将变形，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ； 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若点在该一次函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）将代入一次函数解析式求出a的值即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， 这个一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：点在该一次函数的图象上， ， 解得：． 22. 如图，在中，，是上的点，连接，，，，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，然后根据．得到，即可证明结论； （2）根据，得出，结合，证明，得出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； 【小问1详解】 证明：如图，连结，交于点O． ∵平行四边形， ∴， 又∵， ， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵是平行四边形， ∴． 23. 某校组织学生参加教育局组织的安全卫生知识竞赛，根据比赛要求，在学校预赛中以班级为单位进行选拔，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成如下的统计图． 请你根据以上提供的信息，解答下列问题． （1）此次预赛中，八年级（1）班成绩在C等级以上（包括C等级）的人数为___________． （2）将表格补充完整． 班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 八年级（1）班 ___________ 90 ___________ 八年级（2）班 86.5 ___________ 80 （3）根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班参加安全卫生知识竞赛？请简述两个理由． 【答案】（1）18 （2）见解析 （3）八年级（1）班参加安全卫生知识竞赛，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据条形图即可得出答案； （2）分别根据平均数、众数和中位数的定义求解即可； （3）根据平均数、众数和中位数的定义分析即可． 【小问1详解】 解：八年级（1）班成绩在C级以上（包括C级）的人数为（人）； 【小问2详解】 解：由题意可得：八年级（1）班成绩的平均分为：（分）； 八年级（1）班成绩中90分出现的次数最多， 八年级（1）班成绩的众数为：90分； 八年级（1）班总人数人， 则八年级（2）班总人数为20人， 八年级（2）成绩中为A级人数有（人）， B级的人数有：（人）； C级的人数有：（人）； D级的人数有：（人）， 把八年级（2）的成绩按照从小到大的顺序排列，处于中间的两个成绩为：90分、80分， ∴八年级（2）成绩的中位数为：（分）， 补充表格如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 八年级（1）班 87 90 90 八年级（2）班 86.5 85 80 【小问3详解】 解：从平均数的角度看八年级（1）班成绩要好；从中位数和众数的角度看八年级（1）班成绩要好， 八年级（1）班成绩好， 八年级（1）班参加安全卫生知识竞赛． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了平均数、中位数、众数的定义及其应用． 24. 学校计划在总费用3500元的限额内，租用客车送294名学生和6名教师去承德魁星楼研学，出于安全考虑，每辆客车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 54 46 租金/（元/辆） 600 480 设共租用了客车辆，其中租用甲种客车辆，租车总费用为元． （1）求关于的函数解析式． （2）求出最节省费用的租车方案，并说明理由． 【答案】（1） （2）租甲种客车3辆，乙种客车3辆时，最节省费用，最小费用为3240元 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一次不等式组的综合应用，由题意得出租用辆甲种客车与总租金费用的函数关系是解决问题的关键． （1）根据题意可列出与的等式关系，再化简整理得出的表达式； （2）根据共有师生300人，费用不超过3500元，列不等式组求解；然后根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，租用5辆车不能将学生和老师运送完，因为每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆，即6， 设租甲种客车(辆)、学校租车所需的总费用(元)，依题意，得， 整理，得． 所以与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， ∵为整数，， ∴y随的增大而增大， ∴当时，y最小，最小值(元)； ∴租甲种客车3辆，乙种客车3辆时，最节省费用，最小费用为3240元． 25. 已知与x成正比例，且当 时，．直线． （1）求关于x的函数解析式，并在图中画出其图象． （2）将直线向上平移个单位长度得到直线．设图象，直线 分别与x轴交于点A，B，且O，A，B三个点中的两个点关于另一个点中心对称．当 时，求a的值． （3）若在 时，对于x的每一个值都有，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），画图间解析 （2）或1 （3） 【解析】 【分析】（1）先用待定系数法求得函数解析式，然后再描点画出图像即可； （2）先根据平移确定平移后的解析式，然后再确定A、B两点坐标，然后再分三种情况分别根据中心对称的特点解答即可； （3）先求出时m的临界值，再求出直线与图象平行时m的临界值，然后再结合函数图像即可解答． 【小问1详解】 解：∵与x成正比例， ∴设， ∵当 时，， ∴，解得， ∴，即； 画出图象如图所示： 【小问2详解】 解：∵， ∴直线， ∵将直线向上平移个单位长度得到直线， ∴直线：， ∵图象，直线 分别与x轴交于点A，B， ∴， ∵三个点中的两个点关于另一个点中心对称， ∴①当点关于点B中心对称时，则，解得：； ②当点关于点A中心对称时，则，解得：； ③当点关于点O中心对称时， ∵，解得不合题意舍去， ∴此种情况不存在． 综上，a的值为或1． 【小问3详解】 解：当时，对于x的每一个值都有， ∴当时，令，有，即， 解得； 当直线与图象平行时，则，此时直线在图象的下方， 综上所述，在时，对于x的每一个值都有，m 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式、画函数图形、函数图像的平移、中心对称、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求直线的解析式和线段，的长． （2）在线段上有一动点（不与点，重合），过点作轴于点，于点，以，为邻边作． ①求的周长． ②当为菱形时，求点的坐标． 【答案】（1）直线，， （2）①6；② 【解析】 【分析】（1）将代入得，，可求，即直线；当时，，即；当时，，可求，即；进而可求，； （2）①如图，连接，由，，可得，可求，进而可求的周长；②由①可知，，由为菱形，可得，，，则，，，设，则，可求，则，进而可求． 【小问1详解】 解：将代入得，， 解得，， ∴直线； 当时，，即； 当时，， 解得，，即； ∴，， ∴直线，，； 【小问2详解】 ①解：如图，连接， 由（1）知， ∴，， ∴， 解得，， ∵， ∴的周长为6． ②解：由①可知，， ∵为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的性质等知识．熟练掌握一次函数解析式，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$