精品解析：吉林省通化市靖宇中学、东辽一中等2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

2023—2024学年度第二学期高一盟校期末考试 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号，座位号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4 3. 在中，角的对边分别是，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 已知向量满足，且，则向量的夹角是（ ） A. B. C. D. 5. 某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数 6. 在正四棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 7. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则（ ） A. 该商场有20名销售员 B. 该商场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元 C. 该商场这个月有的销售员的销售额超过7万元 D. 该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元 10. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 在长方体中，，点在线段上，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值的最小值是 C. 的最小值是 D. 三棱锥外接球的表面积的最小值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件两两互斥，若，则__________. 13. 如图，在正四面体中，分别在棱上，且，若，则__________；__________. 14. 已知是的外心，若，则内角的最大值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为底面圆上的点，，是母线的中点. （1）证明：平面. （2）求四棱锥的体积. 16. 在中，角的对边分别是，且. （1）求； （2）若，的面积是，求的周长. 17. 某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的. （1）求甲第二次答题通过初赛的概率； （2）求乙通过初赛的概率； （3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率. 18. 如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，，分别在线段上，且. （1）证明：. （2）求的长的最小值. （3）当的长取得最小值时，求二面角的正弦值. 19. 是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. （1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，由点对施以视角运算，，求的周长； （3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期高一盟校期末考试 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号，座位号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 2. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列式计算即得. 【详解】由，得，即，解得. 故选：C 3. 在中，角的对边分别是，若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由正弦定理可得，即， 且，则或. 故选：A 4. 已知向量满足，且，则向量的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两边平方，结合数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，且， 所以，即，解得， 所以，又，所以. 故选：B 5. 某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，中位数，极差以及众数的定义，即可判断. 【详解】平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变， 中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变， 极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将重复记录在数据中，最大值与 最小值并未改变，所以极差一定不变， 众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变. 故选：C 6. 在正四棱锥中，是棱的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据几何图形特征求出,再应用余弦定理求解即可. 【详解】 在中， 在中，因为 由余弦定理得. 在中，因为, 由余弦定理得. 过B作 在中，由余弦定理得 因为所以. 故选：D. 7. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用列举法，求出样本空间的样本点数，再找出满足题意的种数，最后运用古典概型公式求解即可. 【详解】样本空间{（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑）， （小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑）， （芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}， 共有15个样本点.其中任取2个节气，这2个节气不在同一个月的样本点有12个. 所以这2个节气不在同一个月的概率为. 故选：． 8. 在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则为直线与平面所成角，从而得到，所以当取最小值时取得最大值，求出的最小值，即可求出，连接，由勾股定理求出，即可得到点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，即可求出轨迹长. 【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角， 所以，又直线与平面所成角的最大值是， 所以，当且仅当取最小值时取得最大值， 因为，所以当时取最小值，此时， 所以， 又点在底面内，且，连接， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为， 所以点的轨迹长为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是由线面角求出的长度，再由勾股定理求出，即可确定的轨迹. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则（ ） A. 该商场有20名销售员 B. 该商场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元 C. 该商场这个月有的销售员的销售额超过7万元 D. 该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据统计图，统计即可求解AC，根据平均数的计算即可求解B，根据百分位数的计算即可求解D. 【详解】由统计图可知该商场有名销售员，则A正确. 该商场这个月所有销售员销售额的平均数为万元，则B错误. 该商场这个月销售额超过7万元的销售员有6人，占总人数的百分比为，则C正确. 因为，所以该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是万元，则D正确. 故选：ACD 10. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，然后由复数的模长公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， 则，故A正确； 当时，， 当时，，故B错误； 因为，则，故C错误； 因为，则，故D正确； 故选：AD 11. 在长方体中，，点在线段上，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值的最小值是 C. 的最小值是 D. 三棱锥外接球的表面积的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直证明线线垂直；利用线面角的定义计算夹角的正弦值；利用空间向量法结合两点之间距离公式，求得结果；根据题意解析三棱锥外接球的半径，再结合球的表面积求答案； 【详解】对于A，在长方体中，， 可得又是平面内两条相交直线，所以平面, 又因为平面，所以，A正确； 对于B，在长方体中，点到平面的距离等于， 点在线段上，， , 在等腰三角形中，， 可知直线与平面所成角的正弦值为,B错误； 对于C，如图建立空间直角坐标系， , 设，所以， ， 代表点x轴上的动点到两点的距离和，最小值为，C正确； 对于D，三棱锥中，的外接圆半径为3，所以三棱锥外接球的半径最小为3，即球的表面积的最小值是，D正确； 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知事件两两互斥，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】因为事件两两互斥， 所以， 又因为， 所以， 同理可得， 所以. 故答案为：. 13. 如图，在正四面体中，分别在棱上，且，若，则__________；__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则及基本定理求出、、，再根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】依题意，， 因为 ， 又，所以，所以； 则 . 故答案为：； 14. 已知是的外心，若，则内角的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接，因为是的外心，所以，根据平面向量加法的三角形法则和平面向量数量积的定义将和转化为边得到边之间的关系，再利用余弦定理结合重要不等式即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图： 因为是的外心，所以， 设中对应边分别为， 则 ， 同理可得， 因为， 所以， 根据余弦定理得：， 当且仅当时等号成立， 因为函数在为减函数，且， 所以内角的最大值是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为底面圆上的点，，是母线的中点. （1）证明：平面. （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， 因为是母线的中点，所以且， 又，， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）首先求出圆锥的高，再连接、求出、、的面积，最后由锥体的体积公式计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为圆锥的母线为，底面半径， 所以圆锥的高， 又，， 连接、，所以、、均为边长为的等边三角形， 所以， 所以， 又平面， 所以. 【点睛】 16. 在中，角的对边分别是，且. （1）求； （2）若，的面积是，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）首先求出，由面积公式求出，由余弦定理求出，即可求出，从而得解. 【小问1详解】 由正弦定理（为外接圆的半径）， 则，，， 因为，所以， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 又，所以， 由余弦定理，即，解得， 所以， 所以的周长. 17. 某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的. （1）求甲第二次答题通过初赛的概率； （2）求乙通过初赛的概率； （3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得； （3）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记甲第二次答题通过初赛为事件，则； 【小问2详解】 记乙通过初赛为事件，则； 【小问3详解】 依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为， 记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件， 则. 18. 如图，在三棱柱中，平面是等边三角形，，分别在线段上，且. （1）证明：. （2）求的长的最小值. （3）当的长取得最小值时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：取分别为线段的中点，连接， 在三棱柱中，平面是等边三角形， 所以， 又且是平面内两条相交直线 所以平面平面， 可知两两互相垂直，则以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． ，设.可得 因为， 所以 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量法证明线线垂直； （2）利用两点之间距离和二次函数最值解出答案； （3）利用空间向量法计算面面夹角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知 令，根据二次函数的最小值可知， 当时，取最小值为， 所以的长的最小值为. 【小问3详解】 当的长取得最小值时，即，则 ， 设平面的法向量为，则 ，令，则 设平面的法向量为，则 ，令，则 设二面角的平面角为，所以 ， 所以 二面角的正弦值. 19. 是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上. （1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，由点对施以视角运算，，求的周长； （3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，从而得到，即可得解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求出，即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 所以， 所以的周长为. 【小问3详解】 因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是推导出，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $