精品解析：山东省泰安市肥城市2023-2024学年六年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度下学期期末考试 六年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共6页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A. 与表示同一个角 B. 表示的是 C. 也可用表示 D. 图中共有三个角，， 3. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 5. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据： 温度（） 声速（） 下列说法中错误的是（ ） A. 在这个变化中，温度是自变量，声速是因变量 B. 空气温度每升高，声速就增加 C. 由表中数据可推测，一定范围内，空气温度越高，声速越快 D. 当空气温度为时，声音可以传播 6. 若，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个②所示的矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ） A. B. C. D. 9. 若，，，．则（　　） A. B. C. D. 10. “戒烟一小时，健康亿人行”．小华就公众对在餐厅吸烟的态度进行了随机抽样调查，主要有四种态度：A．顾客出面制止；B．劝说进吸烟室；C．餐厅老板出面制止；D．无所谓．他将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，如图．以下结论：①这次抽样的公众有200人；②“餐厅老板出面制止”部分的人数是60；③在扇形统计图中，“无所谓”部分所对应的圆心角是18度；④若该城区有20万人，估计赞成“餐厅老板出面制止”的有6万人．其中正确的结论有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 请依据上述规律，写出展开式中含项系数是（ ） A B. C. D. 12. 如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( ) A. ∠BCD= ∠DCE; B. ∠ABC+∠BCE+∠CEF=360; C. ∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD; D. ∠ABC+∠BCE -∠CEF=180. 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 某区约1500名初一学生参加数学考试，拟从中抽取300名考生的数学成绩进行分析，则在该抽样调查中，样本是________． 14. 如图，，，点B、O、D在同一直线上，则的度数为_________． 15. 关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值为__________． 16. 汽车开始行驶时，油箱中有油150升，如果每小时耗油7升，则油箱内剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的关系式为_______________． 17. 已知，，则的值为____． 18. 如图，中，，D为边上任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作，垂足为F点．如果，，，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 19. 计算： （1）； （2）用整式乘法公式计算：； （3）； （4）． 20. （1）先化简，再求值：，其中，； （2）若，，求的值． 21. 4月23日是世界读书日，某校开展了以“诵读经典，传承文化”为主题的读书活动，学校对本校学生4月份阅读书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计，根据调查结果，绘制了如下不完整的统计表和扇形统计图． （1）本次调查只抽取学生多少人？ （2）求a的值及扇形统计图中“2本”部分所对应的圆心角的度数． （3）已知该校有2000名学生，请估计该校学生中4月份读书量不少于3本的学生人数． 22. 如图，直线相交于点O，已知，将分成两个角，且． （1）求的度数； （2）若平分，那么平分吗？若平分，请说明理由． 23. 某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费1.6元，当出租车行驶路程为x千米时，应收费为y元． （1）请写出当时，y与x之间的关系式； （2）小亮乘出租车行驶5千米，应付多少元？ （3）小亮付车费19.2元，出租车行驶了多少千米？ 24. 如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B． （1）若∠C＝40°，则∠BAM＝______； （2）如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数． 25. 阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值． （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 （3）将一根长铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期期末考试 六年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共6页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，属于基础题型，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式运算法则、同底数幂的除运算法则、合并同类项法则、完全平方公式逐项判断即得答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 2. 如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A. 与表示同一个角 B. 表示的是 C. 也可用表示 D. 图中共有三个角，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示，数形结合即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、与表示同一个角，正确，不符合题意； B、表示的是，正确，不符合题意； C、也可用表示，错误，符合题意； D、图中共有三个角，，，正确，符合题意； 故选：C． 3. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：． 故选D． 4. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键，根据对顶角的定义对各选项中的与逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意； B．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意； C．图中的与符合对顶角的定义，它们是对顶角，故选项符合题意； D．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意． 故选：C． 5. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据： 温度（） 声速（） 下列说法中错误的是（ ） A. 在这个变化中，温度是自变量，声速是因变量 B. 空气温度每升高，声速就增加 C. 由表中数据可推测，在一定范围内，空气温度越高，声速越快 D. 当空气温度为时，声音可以传播 【答案】D 【解析】 【分析】利用表格反映函数关系对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】、在这个变化中，由于声速随温度的变形而变化，所以自变量是温度，因变量是声速，选项说法正确，不符合题意； 、由表格可以看出空气温度每升高，声速就增加，选项的说法正确，不符合题意； 、由数据可以推测，在一定范围内，空气温度越高，声速越快，选项说法正确，不符合题意； 、当空气温度为时，声音可以传播，选项的说法不正确，符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，常量与变量，利用表格反映的函数关系对每个选项进行逐一判断是解题的关键． 6. 若，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角度大小的比较．先把化为度为单位，再逐项比较即可． 【详解】解：，， ， ． 故选：C． 7. 小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据路程、速度与时间的关系以及函数图象的特点，结合题意逐项判断解答即可． 【详解】解：由题意，小明先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，路程从0 开始随时间匀速增加到2千米； 途经超市时，买文具用了5分钟，路程不变； 再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校，离家路程随时间匀速增加到3千米． 故选：D． 【点睛】本题考查用图象表示变量间关系，理解题意，能判断出路程与时间的关系是解答的关键，注意买文具时路程不变． 8. 如图①所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个②所示的矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，根据题意分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可． 【详解】解：图1中阴影部分的面积表示为：，图2中阴影部分的面积表示为：， ， 故选：A． 9. 若，，，．则（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再进行有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， 故选：D． 10. “戒烟一小时，健康亿人行”．小华就公众对在餐厅吸烟的态度进行了随机抽样调查，主要有四种态度：A．顾客出面制止；B．劝说进吸烟室；C．餐厅老板出面制止；D．无所谓．他将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，如图．以下结论：①这次抽样的公众有200人；②“餐厅老板出面制止”部分的人数是60；③在扇形统计图中，“无所谓”部分所对应的圆心角是18度；④若该城区有20万人，估计赞成“餐厅老板出面制止”的有6万人．其中正确的结论有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①用顾客出面制止的人数除以相对应的百分比就是这次抽样的公众总数； ②“餐厅老板出门制止”的部分的人数=总人数-顾客出面制止的人数-餐厅老板出面制止的人数-无所谓的人数． ③在扇形统计图中“无所谓”部分对应的圆心角：它的百分比乘360° ④用样本中“餐厅老板出面制止”所占的百分比乘以城区总人数即可求出估计赞成“餐厅老板出面制止”的人数． 【详解】解：①根据A(顾客出面制止)的情况可得：本次抽样的公众的人数是：(人)，故①正确； ②“餐厅老板出面制止”部分的人数是：(人)，故②正确； ③在扇形统计图中，“无所谓”部分所对应的圆心角是：，故③正确； ④若该城区有20万人，估计赞成“餐厅老板出面制止”的人数为：(万人)，故④正确． 故正确的有：①②③④，共4个． 故选：D． 【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的综合问题，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 11. 我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 … … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，找规律．先根据题中给出项找到规律，再写出问题中第二项的系数即可． 【详解】解：由题知， 展开式中含项的系数是． 故选：A． 12. 如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( ) A. ∠BCD= ∠DCE; B. ∠ABC+∠BCE+∠CEF=360; C. ∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD; D. ∠ABC+∠BCE -∠CEF=180. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断. 详解：延长DC到H ∵AB∥CD，EF∥CD ∴∠ABC+∠BCH=180° ∠ABC=∠BCD ∠CE+∠DCE=180° ∠ECH=∠FEC ∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC ∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°. 故选D. 点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等. 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 某区约1500名初一学生参加数学考试，拟从中抽取300名考生数学成绩进行分析，则在该抽样调查中，样本是________． 【答案】300名考生的数学成绩 【解析】 【分析】从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本．根据样本的定义直接可得答案． 【详解】解：某区约1500名初一学生参加数学考试，，300名考生的数学成绩是总体的一个样本． 故答案为：300名考生的数学成绩． 【点睛】此题主要考查了样本，熟练掌握样本的定义是解题的关键． 14. 如图，，，点B、O、D在同一直线上，则的度数为_________． 【答案】##105度 【解析】 【分析】直接利用互余的定义得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点B，O，D在同一直线上， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了互余的定义以及邻补角的定义，正确把握定义是解题关键． 15. 关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式．根据公式即可推出． 【详解】解：关于的二次三项式是一个完全平方式 ． 故答案为：． 16. 汽车开始行驶时，油箱中有油150升，如果每小时耗油7升，则油箱内剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的关系式为_______________． 【答案】y=150－7t## y=－7t+150 【解析】 【分析】根据剩油量=原有油量-工作时间内耗油量，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵每小时耗油7升， ∴工作t小时内耗油量为7t， ∵油箱中有油150升， ∴剩余油量y=－7t+150， 故答案为：y=－7t+150． 【点睛】本题考查了列函数关系式，理解题意是解题的关键． 17. 已知，，则的值为____． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 【点睛】此题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂的除法的逆用，解题的关键是对相应的运算法则的熟练掌握． 18. 如图，中，，D为边上的任意一点，连接，E为线段上的一个动点，过点E作，垂足为F点．如果，，，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．过C作于F，交于E．则的最小值为，利用三角形等面积法求出，即为的最小值． 【详解】解：过C作于F，交于E， 则的最小值为． ∵，，， ∴， ∴CF=， 即的最小值为：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 19. 计算： （1）； （2）用整式乘法公式计算：； （3）； （4）． 【答案】（1） （2）185 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，整式的运算． （1）先算负整数指数幂，乘方，零指数幂，绝对值，再算加减即可； （2）用平方差公式计算即可； （3）先去括号再合并同类项即可； （4）先用平方差公式，再化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 ； 【小问4详解】 原式 ． 20. （1）先化简，再求值：，其中，； （2）若，，求的值． 【答案】（1），；（2）1． 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，完全平方公式的应用． （1）先去括号化简，再代入值计算即可； （2）先用完全平方公式展开，再两个式子相减即可． 【详解】解：（1） ； 当，时， 原式 ； （2），， ①， ②， 由得，， 解得． 21. 4月23日是世界读书日，某校开展了以“诵读经典，传承文化”为主题的读书活动，学校对本校学生4月份阅读书籍的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取的学生的读书量（单位：本）进行了统计，根据调查结果，绘制了如下不完整的统计表和扇形统计图． （1）本次调查只抽取学生多少人？ （2）求a的值及扇形统计图中“2本”部分所对应的圆心角的度数． （3）已知该校有2000名学生，请估计该校学生中4月份读书量不少于3本的学生人数． 【答案】（1）100人 （2）20； （3）1300人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图的综合运用以及用样本估计总体，了解扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小及从统计表中得到必要的信息是解本问题的关键． （1）由3本人数及其所占百分比即可得调查抽取总人数； （2）由（1）得调查抽取的总人数为100，减去其他读书量的人数即可得出的值，用圆周角360°乘读书量为“2本”的人数所占百分比即可得出扇形统计图中“2本”部分所对应的圆心角的度数； （3）总人数乘以样本中读书量不少于3本的学生人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意得本次调查读书量为3本的人数占调查人数的， 抽样调查的学生总数为：（人）， 答：本次调查只抽取学生100人． 【小问2详解】 解：由（1）得本次调查抽取学生100人， ， 扇形统计图中“2本”部分所对应的圆心角的度数为：． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生中4月份读书量不少于3本的学生人数为1300人． 22. 如图，直线相交于点O，已知，将分成两个角，且． （1）求的度数； （2）若平分，那么平分吗？若平分，请说明理由． 【答案】（1） （2）平分，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． （1）由对顶角相等得出，再根据即可求出的度数； （2）根据（1）中的结论先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，与的度数比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：平分，理由： 由（1）知， ， 平分， ， ， ， 平分． 23. 某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费1.6元，当出租车行驶路程为x千米时，应收费为y元． （1）请写出当时，y与x之间的关系式； （2）小亮乘出租车行驶5千米，应付多少元？ （3）小亮付车费19.2元，出租车行驶了多少千米？ 【答案】（1） （2）11.2元 （3）10千米 【解析】 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）5千米应付多少元，也就是当自变量时代入满足自变量的函数式求出y的值即为所求； （3）付车费19.2元，也就是当函数时代入满足自变量的函数式求出x的值即可． 【小问1详解】 所以，当时，y与x之间的关系式为： 【小问2详解】 当时，， 所以小亮乘出租车行驶5千米，应付11.2元． 【小问3详解】 ， 解得，． 小亮付车费19.2元，出租车行驶了10千米． 【点睛】本题考查了列函数关系式，求函数的函数值，一元一次方程的实际应用，解答时求出函数的解析式是关键． 24. 如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B． （1）若∠C＝40°，则∠BAM＝______； （2）如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数． 【答案】（1）130° （2）见解析 （3）∠DEB的度数为30° 【解析】 【分析】对于（1），过点B作平行线，即可得出AM∥BE∥NC，再根据“两直线平行，内错角相等”求出∠CBE，进而得出∠ABE，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案； 对于（2），过点B作平行线，根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠DBF＝90°，再根据“同角的余角相等”得∠ABD＝∠CBF，最后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案； 对于（3），设∠DEB＝x，可得出∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x，再作，可表示∠CBE=2x，然后表示∠DBC＝90°+x，最后根据∠DBC＝2∠CBE＝4x，列出方程，求出解即可. 【小问1详解】 过点B作BE∥AM，则AM∥BE∥NC， ∵BE∥NC，∠C＝40°， ∴∠CBE＝∠C＝40°． ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°． ∵AM∥BE， ∴∠BAM+∠ABE＝180°， ∴∠BAM＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130°； 【小问2详解】 证明：如图，过点B作BF∥DM，则∠ADB+∠DBF＝180°． ∵BD⊥AM， ∴∠ADB＝90°． ∴∠DBF＝90°，∠ABD+∠ABF＝90°． 又∵AB⊥BC， ∴∠CBF+∠ABF＝90°． ∴∠ABD＝∠CBF． ∵AM∥CN， ∴BF∥CN， ∴∠C＝∠CBF． ∴∠ABD＝∠C． 【小问3详解】 设∠DEB＝x，由（2）可得∠ABD＝∠C， ∵∠C＝∠DEB， ∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x． 过点B作BF∥DM，如图， ∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC． ∴∠CBE＝∠EBF+∠FBC＝∠DEB+∠C＝2x． ∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x． ∵BE平分∠DBC， ∴∠DBC＝2∠CBE＝4x，即4x＝90°+x，解得x＝30°． ∴∠DEB的度数为30°． 【点睛】本题主要考查了平行线性质，同角的余角相等，角平分线的定义等，构造平行线是解题的关键． 25. 阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值． （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【答案】（1）的最大值为14，此时的值为2． （2），理由见解析 （3）这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为 【解析】 【分析】（1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论； （3）设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，可分别求出两个正方形的边长为和，根据正方形的面积公式，列出代数式，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解． 【小问1详解】 解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 解得：， 的最大值为14，此时的值为2． 【小问2详解】 解：，理由如下： ，， ， 当时，有最小值2， 【小问3详解】 解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为， 根据题意得： ， ， 时，有最小值， 解得：，则， 这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为． 【点睛】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法，应熟练掌握． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$