第二部分 第10课时 二次函数与一元二次方程、不等式-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

第二部分努力冲刺篇 第10课时二次函数与一元二次方程、不等式 ■目标要求 ☐典例讲解 考点 学习目标 核心素养 知识一解不含参数的一元二次不等式 【例1】解下列不等式： 一元二次不等 掌握一元二次不等式 数学运算 (1)2.x2+7x+3>0: 式的解法 的解法 (2)-4x2+18x一4≥0： 三个“二次”之 理解一元二次方程、 一元二次不等式与二 (3)-2.x2+3.x-2<0: 间的关系 数学抽象 (4)-12.x2+3.x-5>0. 次函数的关系 【解】(1)因为4=72-4×2×3=25>0， 所以方程2x2十7x十3=0有两个不等实根x1= 一元二次不等 会用一元二次不等式 数学建模 式的实际应用 解决有关实际问题 又二次函数y=2x2+7x十3的图象开口向上， ■知识储备 所以原不等式的解集为-3或>-昌 1.一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有 未知数，并且 (2②)原不￥式可化为(2x一2)<0 未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次 不等式 所以原不等式的解集为：=号》 (2)一元二次不等式的一般形式是 或 (3)原不等式可化为2x2-3.x+2>0, (其中a,b,c均为常数，a≠0) 因为△=9-4×2×2=-7<0， 2.二次函数的零点 所以方程2.x2一3x十2=0无实根， 一般地，对于二次函数y=a.x2十br十c,我们把 又二次函数y=2x2-3.x十2的图象开口向上， 使 的实数x叫做二次函数y=ax2十bx 所以原不等式的解集为R 十c的零点 (4)原不等式可化为x2-6x+100,△=(-6)2 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应 -40=一4<0，所以方程x2一6.x+10=0无实 关系 根，又二次函数y=x2一6.x十10的图象开口向 4>0 4-0 △<0 上，所以原不等式的解集为心 【归纳总结】解不含参数的一元二次不等式的 方法 y=ax +bx (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分 +r(a>0)的 图象 解，即能够转化为儿个代数式的乘积形式，则可 0=家 以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到 不等式的解集。 有两个不相 有两个相等 (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全 ur +br +c 等的实数根 =0(4>0) 的实数根 平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等 没有实数根 于零，则不等式的解集易得 的根 r:) (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求 元二次不等式的解集的通法，即判别式法， a.r+br+c 【举一反三】 >0(a>0)的 解不等式：-2<x2-3.x≤10. 解集 ur'+hr+c <0(a>0)的 解集 57 )数学初高中教材衔接 知识二解含参数的一元二次不等式 【例2】解关于x的不等式x2+x-a(a-1)>0, 代入不等式cx2-br+a>0中得 6ax2+ 6a.x+ (a∈R). a>0(a<0). 【解】因为关于x的不等式x2十x一a(a-1) >0, 即名2+名+1<0，化商得2+5x+6<0 所以(.x+a)(.x十1-a)>0, 解得-3<x<-2, 当-。>a-1,即a<号时a-1或>-@ 所以所求不等式的解集为{x|一3<x<-2 当a-lD-a,即a>号时K-a或x>a-l 【归纳总结】三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函 当a-1=-a,脚a=号时x≠-号 数主要是将间题转化为一元二次方程和一元二 所以当a<号时，原不等式的解桑为xr<山-1 次不等式的形式来研究 (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将 或x>-a}, 其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图 当a>2时，原不等式的解集为{xx<一a或 象及性质来解决问题，关系如下： x>a-1}, ar26r+e>0线<a≠0的解集岸点 当a=时，原不等式的解集为 方稻ar+bs+ea≠0)的思函致a+br+c6≠0)的零点 xx≠- .ER). 【举一反三】 【归纳总结】“含参一元二次不等式的解法 1.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x< 2}.则a+b的值为 () 二次项若含有参数应讨论是等 讨论二次 于0，小于0，还是大于0，然后将不 A.3 B.1 项系数 等式转化为二次项系数为正的 C.-3 D.-1 形式 2.已知关于x的不等式x2一a.x+2a>0在R上恒 成立，则实数a的取值范围是 判断方程 判断方程的根的个数讨论判别 很的个数 式△与0的关系 口当堂巩固 1,(多选题)下列不等式中是一元二次不等式的是 确定无根时可直接写出解集，确 () 写出解集 定方程有两个根时，要讨论两根 的大小关系，从而确定解集形式 A.(m+1)x2>x B.-x2+5.x+6>0 知识三 三个“二次”之间的关系 C.(x+a)(x+a+1)<0D.2.x2-x>2 【例3】 若关于x的一元二次不等式a.x2十.x十 2.不等式ax2+bx+2>0的解集是 <0的解集为女<号或>号，求关于x的 {-< ,则a十b的值是 () 不等式cx2一bx十a>0的解集. A.10 B.-14 a<0, C.14 D.-10 1 b 【解】 由题意知3十2 3.在下列不等式中，解集是心的是 a 1 1 A.2z2-3.x+2>0 B.x2+4.x+4≤0 3 C.4-4x-x2<0 D.-2+3x-2x2>0 a0, 4.已知集合M={xx2<4},V={xx2-2.x-3< 所以 = 6a>0. 0),则集合M∩N等于 () A.{xx<-2 B.{xx>3} C= 6a<0, C.{x|-1<x2} D.{x2<x<3} 58 第二部分努力冲刺篇☒ 5.已知函数f(x)=(a.x-1)(x+b),如果不等式 9.已知f(x）=a.x2+x-a.a∈R f(x)>0的解集是{x|-1<x<3},则不等式 (1)若不等式f(x)<b的解集为{xlx<一1或 f(一2x)<0的解集是 () x>3},求a,b的值： Ar<-或> (2)若a<0,解不等式f(x)>L. 2 Cr<-或>是 D-< 6.已知集合A={-1,0,1,2},B={xx2≤1}，则 A∩B= () A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0.1,2 7.不等式x2-2x一5>2x的解集是 8.在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(.x一2)<0的实数x的取值范围是 第11课时 函数的概念 ☐目标要求 2.区间的概念及表示 (1)区间定义及表示 考点 学习目标 核心素养 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 函数的 理解函数的概念，了解 数学抽象 概念 构成函数的三要素 {xa≤x≤b 闭区间 [a,b] ra<I<b) 开区间 求函数 会求一些简单函数的定 {xa≤x<b半开半闭区间 的定义域 义域，并会用区间表示 数学运算 {xa<x≤b)半开半闭区间 同一 掌握同一个函数，并会 个函数 判断 数学抽象 (2)无穷概念及无穷区间表示 定义 R >al rlasay(rlr<a 符号 ,十 求函数 会求简单函数的函数值 值和值域 和值域，并会用区间表 数学运算 ☐典例讲解 示值域 知识一 函数的概念 【例1】(1)如图可作为函数y=f(x)的图象的是 ■知识储备 1.函数的有关概念 前世素件一给定两个集合A,月为非始数集 如果对丁集合A中付任意一个数x,按 定义 对应关系 照某种确定的对应关系不在集合B巾 都才难一跳定的数y和它对成 (2)下列三个说法： 结论 称：B为从集合A到集合B的，个函 ①若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只 数，记作：y=fa)x∈A 含有一个元素： 足义城 的象值在HA ②若f(x)=5(x∈R),则f(x)=5一定成立： 值蚊 的数值的集合：川xEA ③函数就是两个集合之间的对应关系. 59)数学 初高中教材衔接 综上，正确的命题序号是①③ 所以4xy-(x十2y)4xy-2√2xy, y=3, 答案：①③ 所以4≤4xy一2√2xy,则（√2xy一2） 9.证明：因为c<d0,所以一r>一d>0. r y 又因为a>b>0.所以a一c>h一d>0, (√2.xy+1)≥0，所以√2r3y≥2，所以 所以(a-c)>(h-d)2>0. y2. 脚当r=4,y=12时，x+y取得最小 值16. 答案：D 所以0 1 4.解析：因为x>1.所以x一1>0.所以 第10课时 二次函数与一元二 (a-c)2(6-d0 y=x+9-)+9=x+9+9 次方程、不等式 又周为<0，所以a-)之b一d -1 -1 知识储备 9 第9课时 基本不等式 x一1+ 是+10≥21哥 1.+个a.r+br+c>0ar+r十<0 知识储备 2.ar+r+c=03.{x1.或x> 10-16当且仅当r-1=9 2.r=y {xx-)R{xx,<x<》 x=y 2p -即4 2a 时，y取最小值16，所以函数y=x十 马的植线为[16，十. 00 典例讲解 典例讲解 知识一 知识一 举一反三 答案：D 举一反三 解桥：当名号均为正载时，名+号≥2 /2 L解：原不等式等价于不等式组 x2-3x>-2① 故只须，b同号即可，所以①③①均可 x2-3x≤10②， 以.故选C >2,音且仅每日-君时取”- 不等式①可化为x-3.x十2>0，解得x 答案：C 答案：C >2或x<1, 知识二 6.解析：由已知得：=x2一3xy+4y2, 不等式②可化为x-3r一10≤0，解得 举一反三 (*) -2x5. 1.解析：因为x>0,y>0,且x十y=8,所 y 故原不等式的解集为(x一2≤x<1或 以(1十x)(1十y)=1+x十y+xy=9+ 2-3+4W+-3 2<x5} 知识三 ≤9+（空）=9+=25，周光当 当且仅当x=2y时取等号，把x=2y代 举一反三 且仅当x=y=4时，(1+r)(1十y)取兼 入(*)式，得x=2y,所以2+1-2 1.解析：图为不等式(x一a)(x-b)<0的 大值25. 答案：B =1+11 解集为1<r<2},所以1和2为方 y yy =-(-)+11 程(.x一a)(x一b)=0的两个根，则有 2.解析国为，b都是正数，所以 答案：B 8线8所以a+6=1+2=3, (+合)1+0)-5+&+#≥5+ 3 b 7.解析：y=x十 2 即a十b的值为3. 答案：A 2,√·-9，当具仅当6=2a时取 1 2.解析：周为不等式x一a+2a>0在R -2≥2 2 上恒成立， 等号. I+ 2 所以4=（一a)一8a<0,解得0<a<8. 答案：C 知识三 =0,当且仅当x十 2 1即=2 答案：0<a8 当堂巩固 举一反三 x L.解析：由一元二次不等式的定义可知， L.解析：y=3(x2+1)十 6 时等号成立，所以函数的最小值为0 CD为一元二次不等式 +1-3≥ 答案：0 答案：BCD 6 8.解析：国为x十y一xy=1,所以x+ 2.解析：因为不等式ax十br十2>0的解 23(x+D+1 -3=2√/18-3= 3y2=1+xy 所以(r+y)2=1+3r≤1+3X中】 桑是-<<号以- 23 6√2一3，当且仅当x2=√2一1时等号 2 是方程ax2十b.x十2=0的两个实数根. 成立，故选D 即(x十y)≤4，解得一2≤x十y≤2 答案：D 当且仅当上=y=1时等号成立，所以 且<0片以-合=-十2 2解析：x+y=《x+y)· (+) x十y的最大值为2 答案：2 号×，解得a三12,6=一2，所以 =10+义+9>10+2√2· 9.解析：(1)因为x>0,y>0,2x十3y=6 4+b=-14. =10 答案：B 所以xy= +6=16. 言(2x·3y)≤6· 3.解析：不等式一2十3x一2x2>0可化为 脚x=4,y=12时等号成立，所以x十y 2.x2-3r+2<0,图为△=（一3）2一4× 的最小值为16， 2 2×2=-7<0,所以不等式-2+3x- 答案：16 当2x=3y,即7=多3y=1时，y取到 2.x>0的解集为0. 当堂巩固 答案：D 最大值 4,解析：由已知，集合M={x|x<1}= 2 r-2<r<21,N=(xl2-2x-3<0 (6+0+台)≥号 ={x一1<r<3},所以M∩N={,x 1<x<21. 答案：C 所以x十y=(x十y)· (+号) 答案：C 2.解析：因为0≤x≤6，所以8一x>0,所 5.解析：由f(x)>0,得ax十(ub一1)x一 以fr)=8-≤+8-=4. =1+9r+义+9=义+9虹+10. b>0,又其解集是（一1,3），所以a<0, y 2 又因为x>0,y>0, 1-ab=2: 当且仅当x=8一x,即x=4时，等号成 y.9+10=16. 且( 立.数f(x)的最大值为4. 所以￥+g+102√ =-3, r y y 答案：B 3.解析：因为x>0,y>0.x十2y 当且仅当义-，中y=3时，等号 y 解得a=-1我号（含去） 2√2xy, 成立 所以a■一1，b■一3， 88 参考答案☒ 所以f(x)=一x2+2x+3,所以f(- (3)委使此西数有意义，则 第12课时 函数的表示法 2x)=-4x2-4x+3.由-4x2-4.x+3 282-2>-8具 典例讲解 <0,得4x2+4.x一3>0， 1r+2≠0 知识一 解得>或K- 3 x≠一2.所以f(x)的定义域为(xx≥ 举一反 2 -3且r≠一2 1.解析：由题意可知，一开始速度较快，后 答案：A 知识三 6.解析：B={xx≤1={x一1≤r≤1}，所 举一反三 采建度变授，所以开给曲线比较陡峭 以A∩B={-1,0,11. 解析：A项中两西教的定义线和对应美 后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的 答案：A 系相问，为同一个函数：B项中，「(r)的 距离，所以开始时距离最大，最后距离 7.解析：由x2-2x一5>2.x得x2一4x-5 定义域为R,g(x)的定义域为（一c0,一1） 为0. >0, U(-1,十o∞)：C项中f八x)的定义战为 答案：D 因为方程x2一4x一5=0的两根为一 R,g(x)的定义城为[0，+o∞)：D项中 2.解析：当0<x<5时，f(x)>x的整数 1.5. f(x)的定义规为R,g(x)的定义域为 解为{1,2,3}. 故不等式2-4x-5>0的解为x< (-o,1)U(1,十∞).B,C,D三项中两 当5110时，f(x)>x的整数解为{5}， 1或x>5. 个函轻的定义城都不相同，所以不是相 当10≤<15时，(x)>x的整数解为☑ 答案：{xx<一1或x>5} 等函数.故选A 答案：A 当15≤r<20时，f)>r的整数解为. 8.解析：报据定义，x⊙(T-2)=x(x一2) 综上所述，(x)>x的处数解的集合是 +2r+(x-2)=2+x一2<0，解得- 当堂巩固 1,2,3,5}. 2<x<1. 1,解析：按照盛数定义，选项B中，集合A 答案：{x-2<x<1 中的元素1对应集合中的元素士1，不 答案：(1,2,3,5 9,解析：(1)由已知方程4x2十x一a一b= 持合函数定义中一个自变量的值对 应 知识二 举一反三 0的两根分别为一1,3，且a0,所以 唯一的函数值的条件：选项C中的元 解：因为f(x)十2f(一r)=x+2x,① -1+3=-1 0取倒数漫有意义，不符合函数定义 解得=一 集合A中的任意元素部对应唯一函数 所以将工换成一x, -1×3=a-b 值的要求选项D中，集合A中的元素 得f（-x)+2f(x)=x一2x.② 4 b=-1. 0在集合B中没有元素与其对应，也不 2②×2-①得3f(.x)=x2-6x, (2)若a<0,不等式为a.x2+x一(a+1) 特合西数定义，只有选项A持合函数 >0.*-10(+)<0. 定义 所以)=言r-2x 答案：A 周为1-(-a+1）-2a+1=0→a 2.解析：图A,B,D中，对任意的x只有唯 知识三 一的y与其对应，而在图C中，当x>0 举一反三 时，有两个y值与其对应， 解：(1)因为x≤3，所以函数的图象为 答案：C 战段，而不是直战，如园(1)： 所以当a一专时。-1，不等式 3.解析：对于B,集合A中的元素1对应 集合B中的元友士1，不符合函数的定 的解集为{x-中<r<1}: 义：对于C,集合A中的元素0取倒数 没有意义，在集合B中没有元素与之对 时。-中-1，不等式的解 应，不符合函数的定义：对于D,集合A 1-1012 当a=-1 2 -24 中的元素0在集合B中也没有元素和 纂为⑦： 它对应，不符合函数的定义：只有A特 () e 当-名<a<0时，->1，不等式 合函数的定义 (2)圆为x∈Z且|x≤2，所以函数的图 答案：A 象是五个孤立的点，如图(2). 的解集为{1<r<-“+1 4解析：对于C,当x=4时，y=了>2不 当堂巩固 1,解析：由题图知函数的图象是一条直 第11课时函数的概念 符合题意 线，可以用一次品数表示，设为y=kx 知识储备 答案：C 十b,将点(30,330).(40,630)代入得k 2.(a,b)[a,b)(a,b] 5.解析：由函数解析式有意义知r≠0. =30,b=-570,所以y=30x-570,令 (a,+o）(-oo,a](-oo,a) 答案：D 典例讲解 6,解析：，b并号，则一个经过一，三，四象 y=0得x=19. 限，芳一个经过一，二，四象限 答案：C 知识一 举一反三 答案：AD 2.解析：由图可知甲与乙跑共问的位移S 1,解析：由函数的定义和选C 答案：C 7解折：图为y号 2 时，甲用的时间较少 答案：D 2,解析：②显然正确，由于①中的集合P 所以函数的定义城为R.因为x十1≥ 中的元素0在集合Q中没有对应元素， 3解析：设/)=专，由f(-3)=-,得 并且③中的集合P不是数集，从而①图 1,所以0 不正确， 1+2. 3-1,所以k=3,所以f()=3 所以{y一1<y≤1)，所以函数的定义 答案：② 城为R.离数的值城为{y一1<y≤1 答案：B 知识 答案：Ry一1<v≤1 举一反三 4.解析：起（一子）看成一个整体，然后 解：(1)要使此菡敏有意义，应满足 8.解析：f(x一1)=2x一8x十11，设x-1 r-1≥0， =1,则x=1十1， 对函致式运用配方法将式子整理成 14-x20, 所以f()=2(1+1)2-8(:+1)+11= 解得1≤x≤4，所以此品数的定义域是 22-41+5, (-)-(-子)+2，整体替 {x1r≤4. 所以(x)=2x”一4x+5 换，所以f(x》=x2+2 (2)因为0°无意义，所以x十1≠0， 答案tf(.x)=2x一4r十5 答案：A 即x≠-1.① 9.解：(1)山y=3.x-2,x∈[-1,2]的图 作为分母不能为0，二次根式的被开方 象知，y∈[一5,4们，故值战为[一5,4门. 2+5=3. 5,解析：周为2)=3，所以2a+ 数不能为负， (2)①m一2=0时，y=一3符合题意： 所以|x一x>0.呷x<0.② 所以2a+ =-2.f(-2)=-2a+ 由①②可得函数y=《红十1)的定艾 0m-20,0. Vzl-r 所以m>2, 42+5=-(2a+)+5-7 域是{xx<0且x≠-1)， 所以m的取值范国为m≥2， 答案：A 89