第二部分 第8课时 等式性质与不等式性质-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

)数学 初高中教材衔接 7.已知命题“存在-1≤x≤1，-x2+3.x+a>0”为 10.若命题“3x∈R,使得x2+(a-1).x+1<0”是 真命题，则实数4的取值范围是 真命题，求实数a的取值范围. A.ala>- 9 B.{aa>4} C.{a-2<a<4} D.(ala>-2) 8.下列命题中全称量词命题是 :存在量词 命题是 ①正方形的四条边相等： ②有两个角是45的三角形是等腰直角三角形： ③正数的平方根不等于0： ④至少有一个正整数是偶数 9.已知命题“3x∈R,2x2+(a-1Dr+号<0”是假 命题，则实数a的取值范围是 第8课时 等式性质与不等式性质 ☐目标要求 性质5如果a>b,c>d,那么a十c十d: 性质6如果a>b>0,c>d>0,那么ac bd; 考点 学习目标 核心素养 性质7如果a>b>0,那么a b(n∈ N,n≥2). 不等关系 会用不等式（组）表示实际 数学建模 ☐典例讲解 的表示 问题中的不等关系 知识一用不等式（组）表示不等关系 数（式）大 会运用作差法比较两个数 【例1】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠 小比较 或式的大小 逻辑推理 墙的矩形菜园，墙长18m,要求菜园的面积不小 于110m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式表 掌握不等式的性质，会用 不等式 示其中的不等关系。 不等式的性质证明不等式 逻辑推理 的性质 【解】由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙 或解决范围问题 长为18m,所以0<x≤18，这时莱园的另一条边 ■知识储备 长为02=(5-营m 1.比较实数a,b的大小 因此莱国面和S=x(15-) (1)文字叙述 如果a一b是正数，那么 :如果a一b等 依题意有S≥110，即x(15-)>≥110， 于0，那么 :如果a一b是负数，那么 故该题中的不等关系可用不等式表示为 ,反过来也对. 0<r≤18， (2)符号表示 a-b>0台a b:a-b=0台a b: x(15-)≥110 a-b<0a b. 【归纳总结】利用不等式表示不等关系时的注 2.常用的不等式的基本性质 意点 性质1a>b一b a:性质2a>b,b>c (1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个 →a C: 量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之 性质3如果a>b,那么a十c b+c: 问不能用不等式来表示 性质4如果a>b,c>0.那么ac bc;如 (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单 果a>b,c<0,那么ac bc: 位统一 52 第二部分努力冲刺篇☒ 【举一反三】 【举一反三】 1.某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工 已知x>y>0,试比较x3-2y3与xy2-2.x2y的 参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理 大小 论考试成绩x超过85分，技能操作成绩y不低 于90分，答辩面试成绩之高于95分，用不等式 组表示为 x>85 x≥85 A.1y≥90 B.y>90 ≥95 x>95 x>85 「x≥85 C.y≥90 D.y>90 2>95 x≥95 2.雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度 的4.5倍还要高.设太阳表面温度为1℃，那么1 知识三不等式的基本性质 应满足的关系式是 【例3】(1)对于实数a,b,c,有下列说法： 知识二数（式）大小的比较 ①若a>b,则ac<bc: 【例2】(1)比较3.x3与3.x2-x+1的大小： ②若ac2>bc2,则a>b: (2)已知a≥1，试比较M=√a+I-√a和N= ③若a<b<0,则a2>ab>b2: 其中正确的是 (填序号). √a一√a-1的大小. 【解】(1)3.x3-(3.x2-x+1)=(3x3-3x2)+ (2)若c>a>b>0,求证：a>b c-a c-b' (x-1) 【解析】(1)①中，c的正、负或是否为0未知，因 =3.x2(x-1)+(x-1)=(3.x2+1)(x-1). 而判断ac与b加的大小缺乏依据，故①不正确. 当x≤1时，有x-1≤0，而3x2+1>0.所以(3.x2 ②中，由a2>bc2,知c≠0，故2>0， 十1)(x-1)≤0，所以3.x3≤3.x2-x十1. 所以a>b成立，故②正确. 当x>1时，(3x2+1)(x-1)>0, la<b, ③中 a<b, '→a2>ab, →ab>b, 所以3.x3>3.x2-x+1: a<0 1b0 (2)因为a≥1， 所以a2>ab>,故③正骑.故填②③. 所以M=√a+1-a>0,N=√a-√a-1>0. (2)证明：因为a>b>0→-a<-b→c-a<G -b. 州。品 因为c>a,所以c一a>0,所以0<c一a<e-b. 1 固为a+I+√a>a+√a-I>0, 上式两边同乘-@(C-万，得>、 c-ac-6>0. 所以<1，所以M<N。 又因为a>b>0,所以4> c-a c-b' 【归纳总结】利用作差法比较大小的四个步骤 【答案】①②③ (1)作差：对要比较大小的两个式子作差。 【归纳总结】利用不等式的性质证明不等式的 (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手 方法 段进行变形. (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用 (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判 不停式的性质，通过对不等式变形得证 断出差的符号 (2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直 (4)作出结论. 接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式 注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判 的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每 断符号”是目的，“变形”是关键.其中变形的技巧较 个因式（式子）的符号，利用符号法则判断最终的 多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等 符号，完成证明. 53 )数学 初高中教材衔接 【举一反三】 5.(多选题)若a,b∈R,且a+|b<0,则下列选项 已知a>0求证：治>治 错误的是 () A.a-b>0 B.a3+b>0 C.a2-b2<0 D.a+b<0. 6.设a,b是实数，则“a>b>1”是“a十1>b+1 a 的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 口当堂巩固 D.既不充分又不必要条件 1.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500 7.当x>1时，x3与x”一x十1的大小关系为 元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工 资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则工 8.给出下列命题： 人满足的关系式是 ( ①若ab>0,a>b,则1< A.5.x+4y<200 B.5.x+4y≥200 a h C.5.x+4y=200 D.5.x+4y≤200 ②若a>b.c>d,则a-c>b-d: 2.若x≠一2且y≠1，则M=x2+y2+4.x-2y的 值与一5的大小关系是 ( ) ③对于正数a6,m,若a<6,则公<公十册 b+m 其中真命题的序号是 A.M>-5 B.M<-5 C.M>-5 D.M-5 9.若a>b>0,e<d<0,e<0.求证：a- 3.若}<<0，有下面四个不等式：①1a>b1: a b e ②a<b:③a十b<ab:④a3>b3,不正确的不等式 (h-d)2 的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 4.(多选题)已知下列四个条件：①b>0>a,②0> 。>6.@a>0>6:④0>>0，能推出}<名成立 的有 A.① B.② C.③ D.④ 第9课时 基本不等式 ☐目标要求 口知识储备 考点 学习目标 核心素养 1.重要不等式与基本不等式 重要不等式一a262aba,bER) 基本不等式 理解基本不等式的内 逻辑推理 容及导出过程 等号成立的条件 当且仗当a=b 时，等号成立 基本不等式一 ≤生a>0,6>0 能够运用基本不等式 利用基本不等 求函数或代数式的 数学运算 文字表述 两个下数的算术平均数不 式求最值 最值 小于它们的儿何平均数 54参考答案☒ 2.解析：当x=1时，x=r成立 2.解析：因为命题“Vz∈R,r一2r十1≥0" =(x-y)(r+y)(x+2y), 答案：A 为全称量词命题，所以命题的否定为 国为r>y>0,所以x-y>0,+v>0,x 3.解析：由于x<1即一1<<1，A显然不 3x∈R,x-2x十1<0.放选C. +2y>0,所以(x-2y)-(xy 能使一1<<1成立，议D满是题意 答案：C 2.x2y)>0,即x2-2y>xy-2r. 答案：BCD 当堂巩固 知识三 4.解析：x一x<0→0<x<1,话用集合的 1.解折：选项A中，<<且rZ 举一反三 知识易知只有C中由与<r<号可以 证明：因为>b>0,所以√a>D>0.① 推出0<x1,其余均不可. 不成立：选项B电，=一吉，与rE乙 又因为>b>0,两边同桌正教办得 答案：C 矛盾：选项C中，x≠士1时，x一1≠0： 5,解析：国为p是？的充分条件，所以 选项D正确 1>1>0.@ p→g,所以q是p的必要条件 答案：ABC 答案：B 2.解析：“关于x的不竿式(x)>0有解"等 ①0两式相乘，得治>6 6,解析：若a=2且b=一1，a>b成立，但 价于“存在实数x,使得f(x)>0成立” 当堂巩固 答案：A >方若a-2且1，。<方3.解析，Y的否定是1,3的否 1.解析：根据题意知，500x十4005y ≤20000，p5.r+4y≤200. 成立，但是u<b n≥x的否定是n<x, 答案：D 答案：D 答案：D 2.解析：M-(-5)■x2+y+4.x-2y+5 7,解析：由x=一1→x一x一2=0，所以 .解析：本题中的命题仅保留了结论，省 =(x+2)2+(y一1)2，因为x≠一2，y “r=一1”是“r2-r-2=0"的充分条 略了条件“任意实数x,y”,改成全称量 ≠1，所以(x十2)>0.(y一1)2>0，周 件，“x一r一2■0”是“x■一1”的必要 词命题为：对任意实数x,y,都有x十 此(x+2)2+(y-1)>0,故MD>-5. 条件. y2≥2xy成立 答案：A 答案：充分必要 答案：A 8.解析：方程x一4x十a=0有实根，需要5.解析：①④为全称量问命题：②③为存在 品解析：由日<<0，可得0>a>6:所 △≥0，即G4,所以当a=2时方程有 量词命题：①②③为真命题：④为氧命题 以a<b,故①②不减立：所以a十b 实根。所以是充分条件。 答案：C <0<b,a>都成立，故③①一定 答案：充分 6.解析：①方程一2.x十x一1=0无实根： 正确， 9.解：因为p是g的充分条件， ②2是质数，但不是奇数：①①正确， 答案：C 所以侣S62”解之得m≥ 答案：B 4.解析：运用例数性质，由a>bab>0可 7.解析：命题存在“一1≤x≤1，一x2+3x 故实数m的取值范国是{mm≥4. +a>0”为真命题，等价于a>x2一3z 得。<，四，④正确：又正大于负 第7课时 全称量词与存在量词 在{x一1≤x≤1}上有解，令y=x 软，①正确，③错误 知识储备 3.x,(-1≤r≤1D,则等价于a>ym 答案：ABD 1.全称量词存在量问x∈M,p(x) 一2，所以a>一2. 5.解析：a十b<0知a<0,且a>b 2.存在量词命题Hx∈M.b(x)全 答案：D 当0时，a十<0成立，当<0时，阳 称量词命题 8.解析：①②③是全称量词命题，④是存 十b<0成立，所以a十b<0. 典例讲解 在量词命题. 答案：ABC 知识一 答案：①②③① 6,解析：因为4+1 - 举一反三 9.解析：由题意可得“对x∈R.2x2+ (+)）- 解：(1)M∈R,x2+r+1>0. (a-1)z+号>0恒成立“是真题，令 (a-b)(ub-1业，所以若4>b>1,显然 (2)Ha,b∈R,ar十b■0拾有一个解 ab (3)3x,y∈Z,3x-2y=10. △=(a一1)-4<0得-1<a<3. -)=a=bm(ah-D>0. )YreQ,号+安r+1是有理批 答案：{d|-1<a<3) 10.解析：因为3x∈R,使得x十(a一1)x 1 知识二 十1<0是真命题， 则充分性成立当a=号b-号时，这 举一反三 所以(a-1)-4>0,即(a-1)>4 然不等式a+>6叶方成主，但a>6 上，解析：对于A.是全称量词命题，但不是 所以4-1>2或a-1<-2, >1不成立，所以必要性不成立】 真命题：故A不正确：对于B,是假命 所以a>3或a<一1. 题，也不是全称量词命题，故B不正确： 第8课时 等式性质与不等式性质 答案：A 7.解析：因为x2-（x2-x+1)=x2-x 对于C,是全称量词命题，也是真命题，知识储备 十x1=x(x-1)十(x-1)=(x-1) 故C正确：对于D,是真命题，但不是全 1.d>h a=b a<h >= (x+1). 称量词命题，故D不正确.故速C 2. > 义因为x>1,故(x一1)（十1）>0，所以 答案，C 典例讲解 x-(x-r+1)>0,聊23>x一x+1. 2.解析：对于A,Vx∈R,r>0是全称量 知识 答案：x>x2一十1 词命题，不合题意：对于B,3x∈， 举一反三 8.解析：对于①，若ab>0,d>b,则a>b>0 >2是存在量词命题，且是真命题，满1.解析：x超过85分表示为x>85,y不 或0>a>b, 足题意：对于C,Hx∈N,x2∈N是全称 低于90分表示为y≥90，x高于95分， 童词命题，不合题意：对于D,3x,yE 表示为：>95，故选C 所以<行所以①正确：对于国，不 R,x十y<0是存在量词命题，是假命 答案：C 妨令a=2,b=1c=一1，d=一3. 题，不合题意.故这B, 2,解析：由题意得，太阳表面温度的4.5 别4一=3，b一d=4. 答案：B 倍小于雷电的温度，即4.5t<28000. 所以a一c>b一d不成立，②错误： 知识三 答案：4.5<28000 对于③，对于正数4，b,m, 举一反三 知识二 若a<h,剥a时n,所以ah十am<ab十 1.解析：量河“存在”否定后为“任嘉”，结 举一反三 论“它的平方是有理数”否定后为“它的 1.解：由题意，知(x一2y)一(y一2xy m,即a(b+m)<b(a十n),所以分 平方不是有理数”，故选B =r-ry+2r'y-2y=r(x'-y)+ 日十m 答案：B 2y(x°-y)=(x2-y2)(x+2y) b十n 87 )数学 初高中教材衔接 综上，正确的命题序号是①③ 所以4xy-(x十2y)4xy-2√2xy, y=3, 答案：①③ 所以4≤4xy一2√2xy,则（√2xy一2） 9.证明：因为c<d0,所以一r>一d>0. r y 又因为a>b>0.所以a一c>h一d>0, (√2.xy+1)≥0，所以√2r3y≥2，所以 所以(a-c)>(h-d)2>0. y2. 脚当r=4,y=12时，x+y取得最小 值16. 答案：D 所以0 1 4.解析：因为x>1.所以x一1>0.所以 第10课时 二次函数与一元二 (a-c)2(6-d0 y=x+9-)+9=x+9+9 次方程、不等式 又周为<0，所以a-)之b一d -1 -1 知识储备 9 第9课时 基本不等式 x一1+ 是+10≥21哥 1.+个a.r+br+c>0ar+r十<0 知识储备 2.ar+r+c=03.{x1.或x> 10-16当且仅当r-1=9 2.r=y {xx-)R{xx,<x<》 x=y 2p -即4 2a 时，y取最小值16，所以函数y=x十 马的植线为[16，十. 00 典例讲解 典例讲解 知识一 知识一 举一反三 答案：D 举一反三 解桥：当名号均为正载时，名+号≥2 /2 L解：原不等式等价于不等式组 x2-3x>-2① 故只须，b同号即可，所以①③①均可 x2-3x≤10②， 以.故选C >2,音且仅每日-君时取”- 不等式①可化为x-3.x十2>0，解得x 答案：C 答案：C >2或x<1, 知识二 6.解析：由已知得：=x2一3xy+4y2, 不等式②可化为x-3r一10≤0，解得 举一反三 (*) -2x5. 1.解析：因为x>0,y>0,且x十y=8,所 y 故原不等式的解集为(x一2≤x<1或 以(1十x)(1十y)=1+x十y+xy=9+ 2-3+4W+-3 2<x5} 知识三 ≤9+（空）=9+=25，周光当 当且仅当x=2y时取等号，把x=2y代 举一反三 且仅当x=y=4时，(1+r)(1十y)取兼 入(*)式，得x=2y,所以2+1-2 1.解析：图为不等式(x一a)(x-b)<0的 大值25. 答案：B =1+11 解集为1<r<2},所以1和2为方 y yy =-(-)+11 程(.x一a)(x一b)=0的两个根，则有 2.解析国为，b都是正数，所以 答案：B 8线8所以a+6=1+2=3, (+合)1+0)-5+&+#≥5+ 3 b 7.解析：y=x十 2 即a十b的值为3. 答案：A 2,√·-9，当具仅当6=2a时取 1 2.解析：周为不等式x一a+2a>0在R -2≥2 2 上恒成立， 等号. I+ 2 所以4=（一a)一8a<0,解得0<a<8. 答案：C 知识三 =0,当且仅当x十 2 1即=2 答案：0<a8 当堂巩固 举一反三 x L.解析：由一元二次不等式的定义可知， L.解析：y=3(x2+1)十 6 时等号成立，所以函数的最小值为0 CD为一元二次不等式 +1-3≥ 答案：0 答案：BCD 6 8.解析：国为x十y一xy=1,所以x+ 2.解析：因为不等式ax十br十2>0的解 23(x+D+1 -3=2√/18-3= 3y2=1+xy 所以(r+y)2=1+3r≤1+3X中】 桑是-<<号以- 23 6√2一3，当且仅当x2=√2一1时等号 2 是方程ax2十b.x十2=0的两个实数根. 成立，故选D 即(x十y)≤4，解得一2≤x十y≤2 答案：D 当且仅当上=y=1时等号成立，所以 且<0片以-合=-十2 2解析：x+y=《x+y)· (+) x十y的最大值为2 答案：2 号×，解得a三12,6=一2，所以 =10+义+9>10+2√2· 9.解析：(1)因为x>0,y>0,2x十3y=6 4+b=-14. =10 答案：B 所以xy= +6=16. 言(2x·3y)≤6· 3.解析：不等式一2十3x一2x2>0可化为 脚x=4,y=12时等号成立，所以x十y 2.x2-3r+2<0,图为△=（一3）2一4× 的最小值为16， 2 2×2=-7<0,所以不等式-2+3x- 答案：16 当2x=3y,即7=多3y=1时，y取到 2.x>0的解集为0. 当堂巩固 答案：D 最大值 4,解析：由已知，集合M={x|x<1}= 2 r-2<r<21,N=(xl2-2x-3<0 (6+0+台)≥号 ={x一1<r<3},所以M∩N={,x 1<x<21. 答案：C 所以x十y=(x十y)· (+号) 答案：C 2.解析：因为0≤x≤6，所以8一x>0,所 5.解析：由f(x)>0,得ax十(ub一1)x一 以fr)=8-≤+8-=4. =1+9r+义+9=义+9虹+10. b>0,又其解集是（一1,3），所以a<0, y 2 又因为x>0,y>0, 1-ab=2: 当且仅当x=8一x,即x=4时，等号成 y.9+10=16. 且( 立.数f(x)的最大值为4. 所以￥+g+102√ =-3, r y y 答案：B 3.解析：因为x>0,y>0.x十2y 当且仅当义-，中y=3时，等号 y 解得a=-1我号（含去） 2√2xy, 成立 所以a■一1，b■一3， 88