第二部分 第7课时 全称量词与存在量词-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

)数学 初高中教材衔接 第7课时 全称量词与存在量词 ☐目标要求 ☐典例讲解 考点 学习目标 核心素养 知识一全称量词命题与存在量词命题的辨析 【例1】判断下列语句是否为全称量词命题或存在 理解全称量词，全称 量词命题 全称量词命题 量词命题的定义，理 数学 (1)所有不等式的解集A,都满足A二R: 与存在量词命 解存在量词、存在量 (2)有些实数a,b能使|a一b=a+|b: 抽象 题的定义 词命题的定义 (3)对任意a,b∈R,若a>b,则1<1： ab i (4)自然数的平方是正数： 全称量词命题 掌握判断全称量词命 逻辑 与存在量词命 【解】因为“自然数的平方是正数”的实质是“任 题与存在量词命题真 推理 意一个自然数的平方都是正数”，所以(1)(3)(4) 题的真假判断 假的方法 都是全称量词命题：(2)含有存在量词“有些”，所 理解全称量词命题与 以(2)是存在量词命题. 全称量词命题 存在量词命题的关 【归纳总结】判断一个语句是全称量词命题 与存在量词命 系，掌握对全称量词 数学 还是存在量词命题的思路 抽象 题的否定 命题或存在量词命题 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命愿 进行否定的方法 的关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词. 【举一反三】 ☐知识储备 用量词符号“”“3”表述下列命题 (1)所有实数x都能使x2十x十1>0成立： 1.全称量词和存在量词 (2)对所有实数a,b,方程ax十b=0恰有一个解： 全称量词 存在量词 (3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10成立： 存在一个、至少有 (0所有的有理数上都能位号2+号十1是有 量词 所有的、任意一个 一个 理数 符号 3 含有 的命 含有 的命 命题题叫做全称量词 题叫做存在量词 命题 命题 “对M中任意一个 “存在M中的元素 命题 x,p(x)成立”，可 x,p(x)成立”，可 知识二全称量词命题与存在量词命题的真假判断 形式 用符号简记为 用符号简记为“3x 【例2】判断下列命题的真假 ∈M,p(.x)” (1)3x∈Z,x3<1: 2.全称量词命题和存在量词命题的否定 (2)存在一个四边形不是平行四边形： (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(.x,y) p p 结论 都对应一点P; 全称量词命题 (4)Vx∈N,x2>0. 全称量词命题 3x∈M, 的否定是 【解】(1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1， Hx∈M,p(x) 7p(x) 所以“3x∈Z,x3<1”是真命题 (2)真命题，如梯形. 存在量词命题 (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的，点的对 存在量词命题 的否定是 应关系知，它是真命题 3x∈M,p(x) (4)因为0∈N,02=0,所以命题“Hx∈N,x2>0” 是假命题. 50 第二部分努力冲刺篇☑ 【归纳总结】判断全称量词命题和存在量词命 2.命题“Vx∈R,x2-2.x+1≥0”的否定是( 题真假的方法 A3.x∈R,x2-2x+1≤0 (1)要判断一个全称量词命题为真，必须对在给 B.3x∈R,x2-2.x+1≥0 定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为真：但 C.3x∈R,.x2-2x+1<0 要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的 D.Vx∈R,x2-2x+1<0 集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假. (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定 口当堂巩固 的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真：要 1.(多选题)下列四个命题中是假命题的为( 判断一个存在量词命题为假，必须对在给定集合 A存在x∈Z,1<4x<3 中的每一个元素x,使命题p(x)为假. B.存在x∈Z.5.x+1=0 【举一反三】 C.任意x∈R,x2-1=0 1.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 D.任意x∈R,.x2十x十2>0 A.Hx∈R,2x+1>0 2.“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于() B.若2x为偶数，则Hx∈N A.存在x∈R,使得f(x)>0成立 C.所有菱形的四条边都相等 B.存在x∈R,使得f(x)≤0成立 D.π是无理数 C.对任意x∈R.使得f(x)>0成立 2.下列是存在量词命题且是真命题的是 ( D.对任意x∈R,使得f(.x)≤0成立 A.Hx∈R,x2>0B.3x∈Z,x2>2 3.命题“Hx∈R,3n∈N,使得n≥x2”的否定形 C.Vx∈N,x2∈ND.3x,y∈R,x2+y2<0 式是 () 知识三全称量词命题与存在量词命题的否定 A.x∈R,3n∈N·,使得n<x2 【例3】写出下列命题的否定，并判断其真假， B.Hx∈R,n∈N,使得n<x (1)p:所有的方程都有实数解： C.3x∈R,3n∈N·,使得n<x (2)q:Hx∈R,4x2-4.x+1≥>0： D.3x∈R,n∈N,使得n<x (3)r:3x∈R,x2+2x+2≤0： 4.将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题为 (4)s:某些平行四边形是菱形， () 【解】(1)门：存在一个方程没有实数解，真命 A.对任意xy∈R,都有x2+y2≥2xy成立 题，比如方程x2十1=0就没有实数解， B.存在xy∈R,使x2+y≥2.xy成立 (2)9:3z∈R,4x2-4x十1<0，假命题 C.对任意x>0,y>0,都有x2+y≥2xy成立 由于Hx∈R,4.x”-4x十1=(2x-1)2≥0恒成 D.存在x<0,y<0,使x2+y2≤2xy成立 立，是真命题， 5.给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2 所以g是假命题。 整除：②有的菱形是正方形：③存在实数x,使 (3)r:x∈R,x2+2x+2>0,真命题， (4)一s:每一个平行四边形都不是菱形，假命题. x>0:④对于任意实数x,2x十1都是奇数.下列 说法正确的是 () 【归纳总结】写全称量词命题与存在量词命题 A.四个命题都是真命题 的否定的思路 B.①②是全称量词命题 在书写全称量词命题与存在量词命题的否定时， 一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手， C,②③是存在量词命题 书写命题的否定.全称量词命题的否定是存在量 D.四个命题中有两个假命题 词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。 6.下列说法中，正确的个数是 【举一反三】 ①存在一个实数，使-2.x2+x一4=0： 1.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否 ②所有的质数都是奇数： 定是 ③在同一平面中斜案相等且不重合的两条直线 A.任意一个有理数，它的平方是有理数 都平行： B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 ④至少存在一个正整数，能被5和7整除 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 A.1 B.2 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 C.3 D.4 51 )数学 初高中教材衔接 7.已知命题“存在-1≤x≤1，-x2+3.x+a>0”为 10.若命题“3x∈R,使得x2+(a-1).x+1<0”是 真命题，则实数4的取值范围是 真命题，求实数a的取值范围. A.ala>- 9 B.{aa>4} C.{a-2<a<4} D.(ala>-2) 8.下列命题中全称量词命题是 :存在量词 命题是 ①正方形的四条边相等： ②有两个角是45的三角形是等腰直角三角形： ③正数的平方根不等于0： ④至少有一个正整数是偶数 9.已知命题“3x∈R,2x2+(a-1Dr+号<0”是假 命题，则实数a的取值范围是 第8课时 等式性质与不等式性质 ☐目标要求 性质5如果a>b,c>d,那么a十c十d: 性质6如果a>b>0,c>d>0,那么ac bd; 考点 学习目标 核心素养 性质7如果a>b>0,那么a b(n∈ N,n≥2). 不等关系 会用不等式（组）表示实际 数学建模 ☐典例讲解 的表示 问题中的不等关系 知识一用不等式（组）表示不等关系 数（式）大 会运用作差法比较两个数 【例1】用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠 小比较 或式的大小 逻辑推理 墙的矩形菜园，墙长18m,要求菜园的面积不小 于110m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式表 掌握不等式的性质，会用 不等式 示其中的不等关系。 不等式的性质证明不等式 逻辑推理 的性质 【解】由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙 或解决范围问题 长为18m,所以0<x≤18，这时莱园的另一条边 ■知识储备 长为02=(5-营m 1.比较实数a,b的大小 因此莱国面和S=x(15-) (1)文字叙述 如果a一b是正数，那么 :如果a一b等 依题意有S≥110，即x(15-)>≥110， 于0，那么 :如果a一b是负数，那么 故该题中的不等关系可用不等式表示为 ,反过来也对. 0<r≤18， (2)符号表示 a-b>0台a b:a-b=0台a b: x(15-)≥110 a-b<0a b. 【归纳总结】利用不等式表示不等关系时的注 2.常用的不等式的基本性质 意点 性质1a>b一b a:性质2a>b,b>c (1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个 →a C: 量才可用不等式来表示，没有可比性的两个量之 性质3如果a>b,那么a十c b+c: 问不能用不等式来表示 性质4如果a>b,c>0.那么ac bc;如 (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单 果a>b,c<0,那么ac bc: 位统一 52参考答案 2.解析:因为命题“VR,-2r+10” 2.解析:当-1时,r^一r成立. 一(r-y)(r+y)(x+2y). 为全称量词命题,所以命题的否定为 答案:A 因为_y0,所以r-y>0,r+y>0,r 3.解析:由于<1即-1<1,A然不 xER,-2x+10.故选C. +2y>0,所以(r-2y)-(ry- 答案:C 能使一1<11成立,D满是题意。 $.)0,即-2y-2ry 答案:BCD 当堂巩固 知识三 4.解析:r-<0→0<r 1,适用集合的 1.解析;选项A中,<<3且ré. 举一反三 知识易知只有C中由<#可以 证明:因为a>b>0,所以va>>0.① 不成立;选项B中,x=一 推出0<-1,其余均不可. ,与cz 答案:C 矛盾;选项C中,r士1时,r一10; #11_0.② 5.解析:因为是?的充分条件,所以 选项D正确. .所以a是p的必要条件。 答案:ABC 答案:B 2.解析:“关于c的不等式/(x)>0有解”等 ①②两式相衰,得 6.解析:若a-2且--l.ab成立.但 价于“存在实数文,使得f(x)>0成立” 当堂巩固 答案:A. 1.解析:根据题意知,500x+400 3.解析:V的否定是三,3的否定是V. 成立,但是a<b. 20000.即5r+4v200. “r的否定是n”. 答案:D 答案:D 答案:D 2.解析;M-(-5)-+y+4r-2y+5 7.解析:由r=-1→x-x-2-0.所以 4.解析:本题中的命题仅保留了结论,省 “r=-1”是“*-r-2-0”的克分条 =(+2)+(y-1),因为x≠-2,y 略了条件“任意实数x,y”,改成全称量 1.所以(x+2)>0.(v-1)>0.因 件,“-r-2-0”是“x--1”的必要 词命题为:对任意实数1,v,都有r十 此(x+2)+(y-1)0,故M-5. 条件。 一2xy成立. 答案:A 答案:充分 必要 答案:A 3.解析:由<士<0,可得0>a→b,所 8.解析:方程x一4x十a一0有实根,需要 5.解析:①④为全称量词命题;②③为存在 A0,即a4,所以当a一2时方程有 量词命题;①②③为真命题;④为假命题. 以labl,故①②不成立;所以a十b 实根,所以是充分条件, 答案:C <0<ab,a→b都成立,故③④一定 答案:充分 6.解析,①方程-2x+r-1-0无实根; 正确 9.解:因为p是g的充分条件, ②2是质数,但不是奇数;③④正确。 答案:C 2-m-2解之得m二4. 答案:B 所以 4.解析;运用倒数性质,由a>b,ab>0可 2十m6, 7.解析:命题存在“-1<x 1,-r+3r 故实数n的取值范围是nn一4. 十a0”为真命题,等价于ax一3x 在xl-1<r1上有解,令y-r- 第7课时 全称量词与存在量词 数,①正确,③错误。 3r.(-1<r1),则等价于ay= 知识储备 答案:ABD -2,所以a-2. 1.全称量词 存在量词 VxEM,p(x) 5.解析:十lbl<0知a0,且lalb|. 答案:D 2.存在量词命题 VxEM.p(r) 当b0时,a十b0成立,当b0时.a 8.解析:①②③是全称量词命题,①是存 称量词命题 十b0成立,所以a十b0. 在量词命题. 典例讲解 答案:ABC 答案:①②③ ④ 知识一 6.解析:因为+-(6)- 举一反三 9.解析:由题意可得“对VxR,2x十 (a-b)(ab-1).所以若a>b>1,显然 解:(1VxER.x+-+10. (a-1)文十→0恒成立”是真命题,令 (2)Va,bR,ax十b-0恰有一个解。 -(a-1)-40得-1 3. (3r,yZ,3x-2y-10. 1-(6+1,(a-b)(ab-1)0. (4)Vxe0.++1是有理数。 答案:al-1<a<3) #。.,。# 10.解析:因为习cER,使得r十(a-1) 则充分性成立;当a一 #时,显 知识二 十1<0是真命题, 举一反三 所以(a-1)-4>0,即(a-1 4, 然不等式a+1→b+十成立,但a→6 1.解析:对于A.是全称量词命题,但不是 所以a-12或a-1<-2. 所以a3或-1. 真命题;故A不正确;对于B,是假命 1不成立,所以必要性不成立。 第8课时 等式性质与不等式性质 答案:A 题,也不是全称量词命题,故B不正确; 7.解析:因为 -(^-r十1)-^-r” 对于C,是全称量词命题,也是真命题: 知识健备 1.a>b$a=ba<b$ 故C正确;对于D,是真命题,但不是全 +r-1=(-1)+(-1)-(r-1 称量词命题,故D不正确,故选C. 2.) (r十1). 。” 又因为x1,故(x-1)(十1)>0,所以 答案:C 典例讲解 -(-+1>0即-r+1. 2.解析:对于A.VxR,r0是全称量 知识一 答案:r>-1十1 词命题,不合题意;对于B,习r乙,{ 举一反三 >2是存在量词命题,且是真命题,满 8.解析,对于①,若ab0,a>b,则ab>0 1.解析;x超过85分表示为x85,v不 或0>a>. 足题意;对于C.VxN.rN是全称 低于90分表示为y一90,:高于95分, 量词命题,不合题意;对于D,习x,y 表示为:95,故选C. R,r十y 0是存在量词命题,是假命 答案:C 妨令a-2,b-1c--1,d--3 题,不合题意,故选B. 2.解析:由题意得,太阳表面温度的4.5 答案:B 判-c-3,b-d-4. 倍小于雷电的温度,即4.5.28000. 所以a-c>b-d不成立,②错误; 知识三 答案:4.5t<28000 知识二 对于③,对于正数a.b,n. 举一反三 举一反三 br即pa(b+m)<b(a十m),所以告 若a ,则au n,所以ab+am ab 1.解析:量词“存在”否定后为“任意”,结 论“它的平方是有理数”否定后为“它的 1.解;由题意,知(-2y)-(xy-2r^y 平方不是有理数”,故选B. =-y+2ry-2y=(-y)+ #m 答案:B 2y(-y)-(-y)(r+2y) btn