第二部分 第6课时 充分条件与必要条件-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

第二部分 努力冲刺篇☒ 口当堂巩固 6.设全集U=R,集合M={xl3a-1<x<2a,a∈R), N={x一1<x<3},若N二(CM),则实数a的 1.设全集U={1,2,3,4},集合A={x∈N|x2-5x 取值范围是 十4<0，则CA= A.a≥1 A.1,2 B.{1,4} Ba<-日 C.{2,4} D.{1,3,4 2.已知A={xx+1>0},B={-2,-1,0,1},则 Ca1或a<-司 Da<-1或a≥ (CRA)∩B= ( 7.已知集合A={xx≥-2}，集合B={x|一2≤x A.{-2,-1} B.{-2} ≤2，则集合(CRB)∩A= C.(-1,0,1) D.{0,1} 8.已知全集U={2,3,a2+2a-3},A={12a-1|, 3.已知全集U=R,集合A={xx>1或x<-2} 2,A={5},则实数a= 集合B={x-1≤x<0},则AU(CB)= 9.设A={x∈Z|x<6,B={1,2,3},C=(3,4,5. 求：(1)AU(B∩C): A.{xx<-1或x≥0 (2)A∩CA(BUC). B.{xx<-1或x>1} C.{xx<-2或x>1 D.{xlx<-2或x≥0} 4.若全集U={0,1,2,3}且CA=〈2}，则集合A的 真子集共有 () A.3个 B.5个 C.7个 D.8个 5.若全集U={a,b,c,d),A={a,b,B={c},则集 合{d}等于 () A.Co (AUB) B.AUB C.A∩B D.C(A∩B) 第6课时 充分条件与必要条件 ■目标要求 凹知识储备 考点 学习目标 核心素养 1.充分条件与必要条件 “若p,则g” 命题真假 “若p,则g”为真命 理解充分条件、必 题 为假命题 充分条件、必 要条件、充要条件 数学抽象 要条件的概念 推出关系 pq 的概念 p是q的 p不是q的 条件关系 条件q是p的 条件 结合具体命题掌握 条件 q不是p的 条件 充分条件、必 判断充分条件、必 逻辑推理 要条件的判断 要条件，充要条件 2.充要条件 的方法 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是 真命题，即既有 ,又有 ,就记作 此时，p既是q的充分条件，也是q的 充分条件、必 掌握证明充要条件 逻辑推理 必要条件，我们说p是g的 条件，简称 要条件的应用 的一般方法 为充要条件 47 )数学 初高中教材衔接 口典例讲解 2.“x>a”是“x>a”的 A.充分不必要条件 知识一充分，必要、充要条件的判断 B.必要不充分条件 【例1】下列各题中，p是q的什么条件？（指充分 C.充要条件 不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条 D.既不充分也不必要条件 件) 知识二充分条件、必要条件、充要条件的应用 (1)p:x=1或x=2,q:x-1=√x-1: 【例2】已知p:-2≤x≤10，q:1-m≤x≤1十m (2)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相 (m>0),若p是g的必要不充分条件，求实数m 垂直平分： 的取值范围。 (3)p:xy>0,g:x>0,y>0. 【解】p:-2≤x≤10，q:1一m≤r≤1十m(m>0). (4)p:四边形的对角线相等，9：四边形是平行四 因为p是q的必要不充分条件， 边形 所以q是p的充分不必要条件， 【解】(1)因为x=1或x=2→x一1=√x-1, 即{x|1-m≤x≤1十m}{.x|一2≤x≤10}， x一1=√x-I→x=1或x=2,所以p是g的充 故有 1-m≥-211-m>-2 或 要条件 1+m<101+m≤10 (2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相 解得m≤3.又m>0, 垂直平分，即p→q,反之，若四边形的对角线互 所以实数m的取值范围为{m0<m≤3. 相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q台p 【归纳总结】由条件关系求参数的值（范围）的 所以p是q的充分不必要条件 步骤 (3)因为xy>0时，x>0,y>0或x<0,y<0. (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的 故户q,但q→p. 关系. 所以p是g的必要不充分条件. (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式 四边形的对角线相等中四边形是 (组)求解 平行四边形， (4)因为 【举一反三】 四边形是平行四边形台四边形的对角 1.已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,若q 线相等， 是p的充分条件，则a的取值范围为 所以p是q的既不充分也不必要条件. 2.若p:x2+x一6=0是q:a.x十1=0的必要不充 【归纳总结】充分、必要、充要条件的判断方法 分条件，则实数a的值为 (1)定义法 知识三充要条件的证明 若→g,q户p,则p是g的充分不必要条件： 【例3】求证：一元二次方程a.x2+b.x+c=0有一 若p户q,qPp,则p是q的必要不充分条件： 正根和一负根的充要条件是a<0. 若p→q,q1→p,则p是g的充要条件： 若p台q,9→p,则p是q的既不充分也不必要 条件 (2)集合法 对于集合A={xx满足条件p},B={xx满足 条件9}，具体情况如下： 若A二B,则p是q的充分条件： 若A已B,则p是g的必要条件： 若A=B,则p是q的充要条件： 若AB,则p是q的充分不必要条件： 若A早B,则p是g的必要不充分条件 【举一反三】 1.已知条件p:-1<x<1,条件q:x≥一2，则p是 9的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 48 第二部分努力冲刺篇 【证明】充分性：（由a心<0推证方程有一正根 口当堂巩固 和一负根) 因为ac<0 1.设p:实数x>1且y>1,q:实数x,y满足x十 所以一元二次方程a.x2十b.x十c=0的判别式 y>2,则p是g的 ( △=b2-4ac>0, A.充分条件 所以方程一定有两个不等实根 B.必要条件 C.既是充分又是必要条件 设两根为，则=后<0， D,既不充分也不必要条件 所以方程的两根异号 2.设x∈R,则“x=1”是“x2=x”的 即方程a.x2十bx十c=0有一正根和一负根。 A.充分条件 必要性：（由方程有一正根和一负根推证a<0) B.必要条件 因为方程a.x2十b.x十c=0有一正根和一负根，设 C.既是充分条件，又是必要条件 D.既不是充分也不是必要条件 为2，则由根与系数的关系得12=￡<0， 3.(多选题)下列式子中，可以是x2<1的充分条件 即ac<0. 的为 () 综上可知，一元二次方程a.x2十b.x十c=0有一正 A.x<1 B.0<x<1 根和一负根的充要条件是ac<0. C.-1<x<1 D.-1<x<0 4.已知p:.x2一x<0,那么命题p的一个充分条件 【归纳总结】充要条件的证明思路 是 () (1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从 A.0<x<2 B.-1<x<1 充分性和必要性两个方面分别证明，一般地，证 明“p成立的充要条件为g”: n<2 ①充分性：把q当作巳知条件，结合命题的前提 5.若p是q的充分条件，则g是p的 条件，推出p: A.充分条件 ②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提 B.必要条件 条件，推出q C.既不是充分条件也不是必要条件 解题的关键是分清哪个是茶件，哪个是结论，然 D.既是充分条件又是必要条件 后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明 必要性则无硬性要求， 6.已知ab≠0.则a>6是~日<公”的 ( (2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等 A,充分条件 价性（台），也可以直接证明充要性 B.必要条件 【举一反三】 C,充分必要条件 已知a+b≠0，证明a2+b2-a-b十2ab=0成立 D.既不充分也不必要条件 的充要条件是a十b=1. 7.“x=-1”是“x2一x-2=0”的 条件， “x2-x-2=0”是“x=一1”的 条件. (用“充分”“必要”填空) 8.“a=2”是“方程x2一4x+a=0有实根”的 条件，（用“充分”“必要”填空） 9.已知m>0,p:(x+2)(x-6)≤0，q:2-m≤x 2十m.若p是q的充分条件，求实数m的取值 范围 49)数学 初高中教材衔接 要使AUB=R,则{a十8≥5， 知识二 9.解析：(1)4={-5，-4，-3，-2，-1， la<-1, 举一反三 0,1,2,3,4,5} 解得一3≤a<-1. 解：如图 由B∩C={3},所以C、U(B∩C=A= 综上，可知4的取值范国为{a一3≤ -5,-4.-3.-2,-1,0,1,2.3,4.5} a<-1. (2)由BUC=1,2,3,4,51,C(BUC) 当堂巩固 ={-5.-4.-3,-2,-1.0), 1.解析：周为集合A=〈0,1.2,3)，集合B -3-2-101234 所以A∩C(BUC)=（-5,-4,-3, =2,3,4},所以A∩B=2,31. 因为A={x一2<r3}, -2.-1.0}. 答案：A B={x一3x2, 第6课时充分条件与必要条件 2.解析：因为集合A=《x一1≤x<3},B= 所以A={xx≤一2或3≤x≤4}， 知识储备 {x2<r5},所以AUB={-1r≤5}. CB={rr<-3我2<x≤4}. 1.→充分必要充分必要2.p→ 答案：B 所以A∩B={r-2<r≤2.(CA)9g>pp=4充分必要 3.解析：因为集合N中的元素0∈M,1∈ UB={x|xr≤2或3≤x≤4}，A∩ 典例讲解 M,2任M,所以M∩N=(0.1. (CB)={x2<r<3. 知识一 答案：D 知识三 举一反 4.解析：集合A=(x∈Z一1≤x≤4)= 举一反三 1.解析：依题意可知p→成立，反之不成 (-1,0,1,2,3.4},A∩B=（-1.41,故 解：由题意得CA={xx≥一1， 立，即p是日的充分不必要条件，故 C=A门B={-1,4,有2个元素.故有 ①若B■☑，则a十32a,即a≥3， 送A 3个非空子集 满是B三CRA: 答案：A 答案：D ②若B≠④，则由B二C:A, 2.解析：若a≥0，由x>|a得x>a,若d 5,解析：图为M={一4，一1}，N=(4,1}, 得2a≥-1且2a<a十3.即- 1 ≤a<3 <0,则由x>d得x>一a,此时x> 所以M∩N=. 2 一a>a成立，即必要性成立，当a<0 答案：D 棕上可得，实数a的取值范围是 时，不访设a=一1，则由x>一1，不 6.解析：由MUN={一1,0,1}，得到集合 定推出x>一1，即充分性不成立，则 MUN,且集合N三MUN, ala≥- “r>a”是“x>|a"的必要不充分条件， 义M={一1,01，所以元本1∈N,则集当堂巩图 故选B. 合N可以为{1}或{0,1}或《一1,1}或1.解：解x一5.r+40得1<x4,所以 答案：B (0,一1,1}，共4个 A=(2,3},所以CA={1,4). 知识二 答案：C 答案：B 举一反三 7,解析：由题意1∈B,显然a+4≥4，所 2.解析：因为集合A={x|x>一1，所以 1,解析：化简p:a一4<x4十4,9：2x 以a=1,此时a2十4=5，满足题意」 CmA={xx≤-1)，利(CA)∩B=(rx <3, 答案：1 ≤-1}0{-2，-1,0.19={-2，-1， 山于9是p的充分条件， 8.解析：A=(x一1≤x<2),B=(xx≤ 答案：A a},由A∩B≠②，得4≥一1. 3.解析：全集U=R,B={x|一1≤x<01, 比有日：解释-1a<金 答案：a≥一1 所以CB■{xx<一1或x≥0)，又集 答案：一1≤a≤6 9,解：(1)A∩B▣xx≥3}门{x|1x 合A={xx<一2或x>1},所以AU 2.解析：p:x2十x一6=0，即x=2或x 7}={x3≤x≤7}，AUB={xx≥3U (CB)={xx<-1我x≥0. 3. {x1x7)={xrx≥1. 答案：A g:ax十1=0，当a=0时，方程无解： (2)因为CUA=A,所以C二A 1.解析：A={0,1,3),真子桑有7个 所以4一1≥3，即a≥4， 答案：C 当≠0时，x=-1 第5课时全集、补集及 5.解析：固为全集U={a,b,c,d1,A=(a 由题意知p中gg→p,故a=0含去：当 综合应用 b,B={c,所以AUB={a,b,e}, 知识储备 别C(AUB)={d a0时，应有-=2成-=-3 1.所有元素U2.所有元素集合A 答案：A 解得a= 的补集CA{xx∈U,且x任A 6.解析：因为M=(x3a-1<x<2a},若 2 3.U00 M≠0，削2a>3a-1,即a<1,又CM 1 典例讲解 {xx3a-1我x≥2a},V二(CM),所 或u= 棕上可知a=一 知识一 以3132≤-1 举一反三 la<l 解：(1)把朵合S和A表示在数轴上， 如图所示， 所以a≤一豆 知识三 举一反 若M=☑，则2a3a一1，即a≥1，此时 证明：先证充分性： 2 01 CM=R,VC(CM)显然成立. 若a十b=1, 由图知C:A={xx<一1或x≥1 综上知a的取值范国是a≥1或a 则a十b-a-b+2ab=(a十b)2一(d (2)把集合S和A表示在数轴上，如图 1 十b)=1一1=0，即充分性成立， 2 必要性： 所示 答案：C 若a2+b一a-b十2ab=0,则(a+b) 7.解析：因为B={x一2≤x≤2)，所以 -(a十b)=(a十b)(a十b-1)=0. A☐ 012 CmB={xx<-2,或r>2,(CB)∩ 因为a十b≠0，所以a十b一1=0， A={xx>2}. 即4十b=1成立， 由图知0，A={xx<一1或1≤x≤2}. 答案：{xx>2》 综上，a十b一a一b十2ab=0成立的充要 (3)把集合S和A表示在数轴上，如图 8.解析：由CA={5},说明5EU,5￠A, 条件是a十b=1, 所示 且3CA列式可释日215得 当堂巩固 1.解析：若x>1且y>1,则x+y>2成立 A 故p是q的充分条件：若r十y>2,知 -4-3-2-101 a-2成a■一4所以a-2 a=2或a=-1, x=4,y=一1，故p不是？的必要条件. 由图知CA={x-4≤<-1或x=1》. 答案：2 答案：A 86 参考答案☒ 2.解析：当x=1时，x=r成立 2.解析：因为命题“Vz∈R,r一2r十1≥0" =(x-y)(r+y)(x+2y), 答案：A 为全称量词命题，所以命题的否定为 国为r>y>0,所以x-y>0,+v>0,x 3.解析：由于x<1即一1<<1，A显然不 3x∈R,x-2x十1<0.放选C. +2y>0,所以(x-2y)-(xy 能使一1<<1成立，议D满是题意 答案：C 2.x2y)>0,即x2-2y>xy-2r. 答案：BCD 当堂巩固 知识三 4.解析：x一x<0→0<x<1,话用集合的 1.解折：选项A中，<<且rZ 举一反三 知识易知只有C中由与<r<号可以 证明：因为>b>0,所以√a>D>0.① 推出0<x1,其余均不可. 不成立：选项B电，=一吉，与rE乙 又因为>b>0,两边同桌正教办得 答案：C 矛盾：选项C中，x≠士1时，x一1≠0： 5,解析：国为p是？的充分条件，所以 选项D正确 1>1>0.@ p→g,所以q是p的必要条件 答案：ABC 答案：B 2.解析：“关于x的不竿式(x)>0有解"等 ①0两式相乘，得治>6 6,解析：若a=2且b=一1，a>b成立，但 价于“存在实数x,使得f(x)>0成立” 当堂巩固 答案：A >方若a-2且1，。<方3.解析，Y的否定是1,3的否 1.解析：根据题意知，500x十4005y ≤20000，p5.r+4y≤200. 成立，但是u<b n≥x的否定是n<x, 答案：D 答案：D 答案：D 2.解析：M-(-5)■x2+y+4.x-2y+5 7,解析：由x=一1→x一x一2=0，所以 .解析：本题中的命题仅保留了结论，省 =(x+2)2+(y一1)2，因为x≠一2，y “r=一1”是“r2-r-2=0"的充分条 略了条件“任意实数x,y”,改成全称量 ≠1，所以(x十2)>0.(y一1)2>0，周 件，“x一r一2■0”是“x■一1”的必要 词命题为：对任意实数x,y,都有x十 此(x+2)2+(y-1)>0,故MD>-5. 条件. y2≥2xy成立 答案：A 答案：充分必要 答案：A 8.解析：方程x一4x十a=0有实根，需要5.解析：①④为全称量问命题：②③为存在 品解析：由日<<0，可得0>a>6:所 △≥0，即G4,所以当a=2时方程有 量词命题：①②③为真命题：④为氧命题 以a<b,故①②不减立：所以a十b 实根。所以是充分条件。 答案：C <0<b,a>都成立，故③①一定 答案：充分 6.解析：①方程一2.x十x一1=0无实根： 正确， 9.解：因为p是g的充分条件， ②2是质数，但不是奇数：①①正确， 答案：C 所以侣S62”解之得m≥ 答案：B 4.解析：运用例数性质，由a>bab>0可 7.解析：命题存在“一1≤x≤1，一x2+3x 故实数m的取值范国是{mm≥4. +a>0”为真命题，等价于a>x2一3z 得。<，四，④正确：又正大于负 第7课时 全称量词与存在量词 在{x一1≤x≤1}上有解，令y=x 软，①正确，③错误 知识储备 3.x,(-1≤r≤1D,则等价于a>ym 答案：ABD 1.全称量词存在量问x∈M,p(x) 一2，所以a>一2. 5.解析：a十b<0知a<0,且a>b 2.存在量词命题Hx∈M.b(x)全 答案：D 当0时，a十<0成立，当<0时，阳 称量词命题 8.解析：①②③是全称量词命题，④是存 十b<0成立，所以a十b<0. 典例讲解 在量词命题. 答案：ABC 知识一 答案：①②③① 6,解析：因为4+1 - 举一反三 9.解析：由题意可得“对x∈R.2x2+ (+)）- 解：(1)M∈R,x2+r+1>0. (a-1)z+号>0恒成立“是真题，令 (a-b)(ub-1业，所以若4>b>1,显然 (2)Ha,b∈R,ar十b■0拾有一个解 ab (3)3x,y∈Z,3x-2y=10. △=(a一1)-4<0得-1<a<3. -)=a=bm(ah-D>0. )YreQ,号+安r+1是有理批 答案：{d|-1<a<3) 10.解析：因为3x∈R,使得x十(a一1)x 1 知识二 十1<0是真命题， 则充分性成立当a=号b-号时，这 举一反三 所以(a-1)-4>0,即(a-1)>4 然不等式a+>6叶方成主，但a>6 上，解析：对于A.是全称量词命题，但不是 所以4-1>2或a-1<-2, >1不成立，所以必要性不成立】 真命题：故A不正确：对于B,是假命 所以a>3或a<一1. 题，也不是全称量词命题，故B不正确： 第8课时 等式性质与不等式性质 答案：A 7.解析：因为x2-（x2-x+1)=x2-x 对于C,是全称量词命题，也是真命题，知识储备 十x1=x(x-1)十(x-1)=(x-1) 故C正确：对于D,是真命题，但不是全 1.d>h a=b a<h >= (x+1). 称量词命题，故D不正确.故速C 2. > 义因为x>1,故(x一1)（十1）>0，所以 答案，C 典例讲解 x-(x-r+1)>0,聊23>x一x+1. 2.解析：对于A,Vx∈R,r>0是全称量 知识 答案：x>x2一十1 词命题，不合题意：对于B,3x∈， 举一反三 8.解析：对于①，若ab>0,d>b,则a>b>0 >2是存在量词命题，且是真命题，满1.解析：x超过85分表示为x>85,y不 或0>a>b, 足题意：对于C,Hx∈N,x2∈N是全称 低于90分表示为y≥90，x高于95分， 童词命题，不合题意：对于D,3x,yE 表示为：>95，故选C 所以<行所以①正确：对于国，不 R,x十y<0是存在量词命题，是假命 答案：C 妨令a=2,b=1c=一1，d=一3. 题，不合题意.故这B, 2,解析：由题意得，太阳表面温度的4.5 别4一=3，b一d=4. 答案：B 倍小于雷电的温度，即4.5t<28000. 所以a一c>b一d不成立，②错误： 知识三 答案：4.5<28000 对于③，对于正数4，b,m, 举一反三 知识二 若a<h,剥a时n,所以ah十am<ab十 1.解析：量河“存在”否定后为“任嘉”，结 举一反三 论“它的平方是有理数”否定后为“它的 1.解：由题意，知(x一2y)一(y一2xy m,即a(b+m)<b(a十n),所以分 平方不是有理数”，故选B =r-ry+2r'y-2y=r(x'-y)+ 日十m 答案：B 2y(x°-y)=(x2-y2)(x+2y) b十n 87