第二部分 第4课时 并集与交集-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

第二部分努力冲刺篇 第4课时 并集与交集 ☐目标要求 口典例讲解 考点 学习目标 核心素养 知识一 集合并集的运算 【例1】(1)设集合A={1,2,3},B={2,3,4),则 理解并集的概念，会 AUB= 并集的概念 用符号、Venn图表示 数学抽象、 A.1,2,3,4 B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,3,4} 及运算 并集，并会求简单集 数学运算 (2)已知集合P={x-1<x<1},Q={.x|0<x 合的并集 <2},那么PUQ () A.{.x-1<x<2} B.{x|0<x<1} 理解交集的概念，会 C.{x|-1<x<0 D.{x1<x<2 交集的概 用符号、Venn图表示 数学抽象、 (3)点集A={(.x,y)x<0},B={(x,y)|y<0}, 念及运算 交集，并会求简单集 数学运算 则AUB中的元素不可能在 A.第一象限 B.第二象限 合的交集 C.第三象限 D.第四象限 逻辑推理、 【解析】(1)由题意AUB={1,2,3,4, 并集与交 掌握并集与交集的相 数学运算、 (2)因为P={x|-1<x<1}, 集的性质 关性质，并会应用 Q={x0<x<2},画数轴如图， 数学抽象 0 ■知识储备 -10i2￥ 所以PUQ={x|-1<x<2. 1.并集 (3)由题意得，AUB中的元素是由横坐标小于0 或纵坐标小于0的点构成的集合，所以AUB中 集合4与B的并集是由所有属于 集合或属于集合B的元素组成 的元素不可能在第一象限， 的集合，记作AU读作“A并B”) 留 【答案】(1)A(2)A(3)A AUB=bEA或xE 【归纳总结】 A ）B 求并集的基本方法 AUB 定义法 若集合是用列举法表示的，可以直接利用 并巢的定义求解 2.交集 :若集合是用描述法表示的由实数姐成的数集， 集合A与的交集是山所有属了 图形法 :则可以侍听数轴分析法求屏 集合AH属丁集合的心素组成 的集合，记作A门所读作“A交B") 【举一反三】 密 AnB=rlxEA且xEB] 1.已知集合M={0,1.3},N={xx=3a,a∈M}, 则MUN= ( An西 B A.{0} B.{0,3} C.{1,3,9} D.{0,1,3,9 3.并集与交集的运算性质 2.若集合M={.x|-3<x≤5)，N={xx<-5或 x>5},则MUN= 并集的运算性质 交集的运算性质 知识二集合交集的运算 【例2】(1)设集合M={m∈Z-3<m<2},N= AUB=BUA A∩B=B∩A {n∈Z-1≤n≤3}，则M∩N= () A.{0,1} B.{-1,0,1} AUA- A∩A C.{0,1,2 D.{-1,0,1,2 AU= (2)已知集合A={x2<x<4},B=(xx<3或 A∩0= x>5},则A∩B () ACBAUB- ACB=A∩B= A.{x2<x<5} B.{x|x<4或x>5} C.{x2<x<3 D.{xx<2或x>5} 43 )数学初高中教材衔接 【解析】(1)易知M=(一2，-1,0,1，N={一1,0,1， 【举一反三】 2,3},据交集定义可知M门N={一1,0,1，故选B. 已知A={xa<x≤a+8},B={xx<-1或 (2)将集合A、B画在数轴上，如图. x>5}.若AUB=R,求a的取值范围. 1只 由图可知A∩B={x2<x<3},故选C 【答案】(1)B(2)C 【归纳总结】求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集 合的公共元素即可， ■当堂巩固 (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交 1.设集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则 集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应 A∩B= ( 图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍， A.2.3} B.{0,1 【举一反三】 C.{0,1,4} D.(0,1,2,3,4 1.若集合A={x-2<x<1},B={x0<x<2}, 2.已知集合A={x-1≤x<3},B={x2<x≤5}，则 则集合A∩B= r AUB= A.{x-1<x<1} B.{x-2<x<1} A.{x2<x<3} B.{x|-1≤x≤5} C.{x-2<x<2 D.{x0<x<1} C.{x|-1<x<5} D.(x|-1<x≤5} 2.已知A={(x,y)x十y=3},B={(xy)x-y= 3.若集合M={x|一2≤x<2},N={0,1,2},则 1,则A∩B= ( ) M∩N等于 ( A.(2,1 B.{x=2,y=1 A.{01 B.1 C.{(2,1)} D.(2,1) C.{0,1,2 D.{0,1 知识三交集，并集性质的应用 4.已知集合A={x∈Z-1≤x≤4}，B={-2, 【例3】已知集合A={x2<x<4},B={x|a< 一1,4,8,9}，设C=A∩B,则集合C的非空子集 x<3a(a>0)}. 的个数为 ( (1)若AUB=B,求a的取值范围： A.8 B.7 (2)若A∩B=⑦，求a的取值范围。 C.4 D.3 【解】(1)因为AUB=B,所以A二B, 5.若集合M={.x|(x+4)(x+1)=0},N={.x(x -4)(x-1)=0},则M∩N= A.1,4 B.(-1,-4} C.{0 D.0 6.已知集合M={一1,0}，则满足MUN={-1,0, 观察食轴可知，所以号C2 1}的集合N的个数是 ( A.2 B.3 (2)A∩B=⑦有两类情况：B在A的左边和B C.4 D.8 在A的右边，如图 7.已知集合A={1,3,B={a,a2+4},若A∩B= 观察数轴可知，a4或3a≤2，又a>0, {1},则实数a的值为 8.若集合A={x一1≤x<2},B={xr≤a},若 A∩B≠☑，则实数a的取值范围是 3a2 9.已知集合U=R,A={.xx≥3}，B={x1≤x≤7}， 所以0<a≤ 2或a≥4. C={xx≥a-1}. (1)求A∩B,AUB: 【归纳总结】利用集合交集、并集的性质解题的 (2)若CUA=A,求实数a的取值范围 方法 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会 遇到A∩B=A,AUB=B等这类问题，解答时 常借助于交，并集的定义及上节学习的集合间的 关系去分析，如A∩B=A一ACB,AUB=B台 A二B等，解答时应灵活处理. (2)当集合B二A时，如果集合A是一个确定的 集合，而集合B不确定，运算时要考虑B=⑦的 情况，切不可漏掉， 14参考答案☒ 26解得☐：所以 (4)由/y=r+3. (2)集合的代表元素是数，用描述法可表4.解析：由A={x1<r<2,B={xr<a} y=4, 示为{xx=3k+2,∈N且<1000. A二B,则(aa≥21 一次函数y=x十3与y=-2x十6的图 (3)“二次函数y=-10图象上的所有 答案：D 象的交点为(1.4).所以D=((1,4). 点”用描述法表示为(y)y=r-101. 5.解析：B={yy=z,x∈R}=(yy20}. 知识二 10,解析：固为一3∈{a一3,2a一1，a2+ 所以AB 举一反三 1},又a2+1≥1， 答案：C 解：(1)用描述法表示为{x∈Rx(x 所以-3=4-3，或一3=2a-1, 6.解析：由题意可得，集合B■(1,2,3}， 2r一3)=01，用列举法表示为{0，一1,3 解得a=0.或a=一1， 所以A=B. (2)用描述法表示为{x∈Z2<x<7}, 当a=0时.{a-3,2a-1,a2+1}= 答案：C 用列举法表示为{3,4,5,6 {一3，一1,1}，满是集合三要素： 7.解析：周为A=(2,5],A二B,所以5<a 知识三 当a=-1时，fa-3,2a-1,e3+1 又aE(c,十o),所以c=5. 举一反三 {一4，一3,2}，满是集合三要素所以a 答案：5 解析：由A={xx+px+g=r}={2 =0或一1， 8.解析：因为B=(31二A,所以3∈A 知，2+2p+q=2.且4=(p-1)-4g 即9一15十m=0,所以m=6. =0.计算得出，p=一3，g=4, 第3课时 集合间的基本关系 答案：6 则(x-1)2十p(x一1)+4=x十3可化 9.解析：(1)因为B二A,B是A的子集，由 为(x-1)2-3(x-1)十4=x+3: 知识储备 图(1)得a3. 即(x-1)2-4(x-1)=0: 1.内部2.任意一个3.任何一个元素 则x-1=0或x一1=4， 任何一个元素A=BA三BB三A 计算得出，x=1或x=5. 4.xEB.且x任A5.不含任何元素☑ 所以集合B=(1,5), 6.子集二二二A≤C 图(1) 答案：D 典例讲解 (2)因为A二B,A是B的子集，由图(2) 当堂巩固 知识一 得a≥3. 1解析：由十2得即1,1. 举一反三 r-y=0. 1y=1, 解析：集合A为方程x2一3x十2=0的 答案：B 解集，即A=〈1,2}，而C={xx<8, 2.解析：解方程x2一3x+2=0可得x=1 ∈N}={0,1,2,3,4,5,6,71.故(1)A 图(2) 成2，所以集合{xx2一3.r+2=0}用列 =B: 举法可表示为{1,2} (2)AC:(3){2C:(4)2∈C 第4课时并集与交集 答案：D 答案：(1)=(2)(3)(4)E 3.解析：由题意，B={2,3,4,5.6,8},共有 知识二 知识储备 6个元素 举一反三 3.A A A B A 答案：C 解析：若A中含有一个奇数，则A可能 典例讲解 4,解析：由题寇，可如集合A表示奇数集， 为1}，{3}，1,21，{3.2}： 知识 B表示偶数暴，所以x1:r是奇数，1 若A中含有两个奇数，则A={1,3}: 举一反三 是码数，所以x1十x2十x应为偶数，即 答案：5 1.解析：因为M={0,1,3,N={xx x1+2十x,母A. 知识三 3u:a∈M}={0,3.9}.所以MUN 答案：ABC 举一反三 0.1.3.9} 5,解析：A中(（一5,3）1表示点集，一5,3} 解：A={xx2十x-6=0}={一3,21. 答案：D 表示数集，不相等：由集合中元素的无 因为B年A, 2.解析：将一3<x≤5，x<一5戏z>5在 序性，B中两集合相等：圆为π≠3.141 所以B=【一3)或B={21或B=☑ 数抽上表示出来。 5,故C中两桑合不相等：D中两集合均 彗B={一3}时， 为(1,21. 由m·(一3)十1■0，得m= 53 0 答案：D 3 所以MUN=(xlx<-5我x>-3}. 6,解析：若x∈B,则一r∈A,所以r的可 当B={2}时， 答案：《xr<一5或x>一3} 能取值为：2,0，一1，一3，当2EB时，则 1-2=-1EA, 由m·2+1=0,得m=-1 知识二 举一反三 所以2∈B:当0∈B时，别1一0∈A,所 当B=0时，m=0. 1.解析：如周 以0民B: 综上所述，m= 当一1∈B时，则1一（一1）=2任A,所 我m=一 1 2或m=0. 以一1∈B: 当堂巩固 当一3∈B时，则1一《一3)=4任A,所1.解析：空集是不含任何元素的集合，所 因为A=(x|一2<x<1), 以-3∈B. 以①错误：空集是任何集合的子集，固 B={x0<x<2}, 综上，B={一3，一1,2}，所以集合B含 此空集也是空集的子集，且空集的予集 所以A∩B=(x10x<1) 有的元素个数为3. 只有一个，所以②③错误，①正确。 答案：D 答案：C 答案：B 7.解析：把x=1代入方程x+2x+a■02.解析：A中集合为{0)，B中为((0,0))， 2解桥：AnB-c川y 可得a=一3，解方程x2十2x-3=0可 C中为{0}，而D中方程无解，是空集。 {(2,1)1 得A={-3,1}. 答案：ABC 答案：C 答案：一3{一3,1 3.解析：集合M={一2，一1,0,1}，集合 知识三 8,解析：(-1)2=12=1，（一2）2=22=4， R={一3，一2}，集合S{0,11,不难发 举一反目 02=0,所以B={0.1,4 现集合P中的元素一3廷M,集合Q中 解：由a<a+8,又B={x|x<一1或 答案：0,1.4 的元素2任M,果合R中的元素一3民 >5},在数指上标出集合A,B,如图： 9.解：(1)方程x十y-4x+6y十13=0 M,而集合S={0,1}中的任意一个元素 可化为(x一2)+(y+3)=0,解得x=2, 都在集合M中，所以S二M. 3y■一3，所以方程的解集为{(2，一3)》 答案：D 5a+8 85 )数学 初高中教材衔接 要使AUB=R,则{a十8≥5， 知识二 9.解析：(1)4={-5，-4，-3，-2，-1， la<-1, 举一反三 0,1,2,3,4,5} 解得一3≤a<-1. 解：如图 由B∩C={3},所以C、U(B∩C=A= 综上，可知4的取值范国为{a一3≤ -5,-4.-3.-2,-1,0,1,2.3,4.5} a<-1. (2)由BUC=1,2,3,4,51,C(BUC) 当堂巩固 ={-5.-4.-3,-2,-1.0), 1.解析：周为集合A=〈0,1.2,3)，集合B -3-2-101234 所以A∩C(BUC)=（-5,-4,-3, =2,3,4},所以A∩B=2,31. 因为A={x一2<r3}, -2.-1.0}. 答案：A B={x一3x2, 第6课时充分条件与必要条件 2.解析：因为集合A=《x一1≤x<3},B= 所以A={xx≤一2或3≤x≤4}， 知识储备 {x2<r5},所以AUB={-1r≤5}. CB={rr<-3我2<x≤4}. 1.→充分必要充分必要2.p→ 答案：B 所以A∩B={r-2<r≤2.(CA)9g>pp=4充分必要 3.解析：因为集合N中的元素0∈M,1∈ UB={x|xr≤2或3≤x≤4}，A∩ 典例讲解 M,2任M,所以M∩N=(0.1. (CB)={x2<r<3. 知识一 答案：D 知识三 举一反 4.解析：集合A=(x∈Z一1≤x≤4)= 举一反三 1.解析：依题意可知p→成立，反之不成 (-1,0,1,2,3.4},A∩B=（-1.41,故 解：由题意得CA={xx≥一1， 立，即p是日的充分不必要条件，故 C=A门B={-1,4,有2个元素.故有 ①若B■☑，则a十32a,即a≥3， 送A 3个非空子集 满是B三CRA: 答案：A 答案：D ②若B≠④，则由B二C:A, 2.解析：若a≥0，由x>|a得x>a,若d 5,解析：图为M={一4，一1}，N=(4,1}, 得2a≥-1且2a<a十3.即- 1 ≤a<3 <0,则由x>d得x>一a,此时x> 所以M∩N=. 2 一a>a成立，即必要性成立，当a<0 答案：D 棕上可得，实数a的取值范围是 时，不访设a=一1，则由x>一1，不 6.解析：由MUN={一1,0,1}，得到集合 定推出x>一1，即充分性不成立，则 MUN,且集合N三MUN, ala≥- “r>a”是“x>|a"的必要不充分条件， 义M={一1,01，所以元本1∈N,则集当堂巩图 故选B. 合N可以为{1}或{0,1}或《一1,1}或1.解：解x一5.r+40得1<x4,所以 答案：B (0,一1,1}，共4个 A=(2,3},所以CA={1,4). 知识二 答案：C 答案：B 举一反三 7,解析：由题意1∈B,显然a+4≥4，所 2.解析：因为集合A={x|x>一1，所以 1,解析：化简p:a一4<x4十4,9：2x 以a=1,此时a2十4=5，满足题意」 CmA={xx≤-1)，利(CA)∩B=(rx <3, 答案：1 ≤-1}0{-2，-1,0.19={-2，-1， 山于9是p的充分条件， 8.解析：A=(x一1≤x<2),B=(xx≤ 答案：A a},由A∩B≠②，得4≥一1. 3.解析：全集U=R,B={x|一1≤x<01, 比有日：解释-1a<金 答案：a≥一1 所以CB■{xx<一1或x≥0)，又集 答案：一1≤a≤6 9,解：(1)A∩B▣xx≥3}门{x|1x 合A={xx<一2或x>1},所以AU 2.解析：p:x2十x一6=0，即x=2或x 7}={x3≤x≤7}，AUB={xx≥3U (CB)={xx<-1我x≥0. 3. {x1x7)={xrx≥1. 答案：A g:ax十1=0，当a=0时，方程无解： (2)因为CUA=A,所以C二A 1.解析：A={0,1,3),真子桑有7个 所以4一1≥3，即a≥4， 答案：C 当≠0时，x=-1 第5课时全集、补集及 5.解析：固为全集U={a,b,c,d1,A=(a 由题意知p中gg→p,故a=0含去：当 综合应用 b,B={c,所以AUB={a,b,e}, 知识储备 别C(AUB)={d a0时，应有-=2成-=-3 1.所有元素U2.所有元素集合A 答案：A 解得a= 的补集CA{xx∈U,且x任A 6.解析：因为M=(x3a-1<x<2a},若 2 3.U00 M≠0，削2a>3a-1,即a<1,又CM 1 典例讲解 {xx3a-1我x≥2a},V二(CM),所 或u= 棕上可知a=一 知识一 以3132≤-1 举一反三 la<l 解：(1)把朵合S和A表示在数轴上， 如图所示， 所以a≤一豆 知识三 举一反 若M=☑，则2a3a一1，即a≥1，此时 证明：先证充分性： 2 01 CM=R,VC(CM)显然成立. 若a十b=1, 由图知C:A={xx<一1或x≥1 综上知a的取值范国是a≥1或a 则a十b-a-b+2ab=(a十b)2一(d (2)把集合S和A表示在数轴上，如图 1 十b)=1一1=0，即充分性成立， 2 必要性： 所示 答案：C 若a2+b一a-b十2ab=0,则(a+b) 7.解析：因为B={x一2≤x≤2)，所以 -(a十b)=(a十b)(a十b-1)=0. A☐ 012 CmB={xx<-2,或r>2,(CB)∩ 因为a十b≠0，所以a十b一1=0， A={xx>2}. 即4十b=1成立， 由图知0，A={xx<一1或1≤x≤2}. 答案：{xx>2》 综上，a十b一a一b十2ab=0成立的充要 (3)把集合S和A表示在数轴上，如图 8.解析：由CA={5},说明5EU,5￠A, 条件是a十b=1, 所示 且3CA列式可释日215得 当堂巩固 1.解析：若x>1且y>1,则x+y>2成立 A 故p是q的充分条件：若r十y>2,知 -4-3-2-101 a-2成a■一4所以a-2 a=2或a=-1, x=4,y=一1，故p不是？的必要条件. 由图知CA={x-4≤<-1或x=1》. 答案：2 答案：A 86