第二部分 第2课时 集合的表示-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

)数学 初高中教材衔接 【举一反三】 4.设集合M是由不小于2√3的数组成的集合，a= 若集合A中有三个元素x,x十1,1，集合B中也 T,则下列关系中正确的是 ( 有三个元素x,x十x2,x2,且A=B,求实数x A.a∈M B.aM 的值. C.a=M D.a≠M 5.(多选)由实数x,一x,xW,一√x组成的 集合中，元素的个数可能为 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.下列说法： ①集合N与集合N”是同一个集合： ②集合N中的元素都是集合Z中的元素： ③集合Q中的元素都是集合Z中的元素； 口当堂巩固 ④集合Q中的元素都是集合R中的元素. 1.现有以下说法，其中正确的是 其中正确的有 ①接近于0的数的全体构成一个集合： 7.已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数 ②正方体的全体构成一个集合； 组成的，若a∈A,b∈B,则a十b A,ab ③未来世界的高科技产品构成一个集合： A.(填“∈”或“E”) ④不大于3的所有自然数构成一个集合 8.若a,b∈R,且a≠0，b≠0，则a+lh的可能取 a A.①② B.②③ 值所组成的集合中元素的个数为 C.③④ D.②④ 9.已知集合A含有两个元素a-3和2a一1，a∈R. 2.给出下列关系：①号∈R:@5∈Q:③-3E: (1)若-3∈A,试求实数a的值： ④一3在N,其中正确的个数为 (2)若a∈A,试求实数a的值. A.1 B.2 C.3 D.4 3.设A是方程2x2+ax+2=0的解集，且2∈A,则 实数a的值为 A.-5 B.-4 C.4 D.5 第2课时 集合的表示 ·目标要求 口知识储备 考点 学习目标 核心素养 1.列举法 把集合的所有元素 列举法表示 掌握用列举法表示有 出来，并用花括号 数学抽象 集合 限集 ”括起来表示集合的方法叫做列举法 理解描述法格式及其 2.描述法 描述法表示 适用情况，并会用描 数学抽象 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有 集合 述法表示相关集合 具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示 学会在集合不同的表 为 ,这种表示集合的方法称为描述法， 集合表示法 示法中作出选择和 数学抽象 有时也用冒号或分号代替竖线，写成 或 的简单应用 转换 38 第二部分努力冲刺篇 ☐典例讲解 知识二 用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： 知识一用列举法表示集合 【例1】用列举法表示下列集合： (1)满足一2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集 合A: (2)方程(x-2)2(x-3)=0的解组成的集合M: (3)方程组 2十y一8·的解组成的集合B: (1)函数y=一2x2+x图象上的所有点组成的集 x-y=1 合： (4)15的正约数组成的集合N. (2)不等式2.x-3<5的解组成的集合： 【解】(1)因为-2≤x≤2，x∈Z, (3)如图中阴影部分的点（含边界）的集合： 所以x=一2，-1,0,1,2， (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合. 所以A={一2，-1,0,1,2. 【解】(1)函数y=一2.x2十x的图象上的所有 (2)因为2和3是方程的根， 点组成的集合可表示为{(x,y)y=-2.x2十x, 所以M=(2,3}. (2)不等式2x一3<5的解组成的集合可表示为 (3)解方程组 2x+y=8, 得3， (x2x-3<5},即{xx<4}. .x-y=1 y=2, (3)图中阴影部分的点（含边界）的集合可表示为 所以B={(3,2). (4)因为15的正约数有1,3,5,15四个数字， 1-1长≤号-2y≤1w≥01. 1 所以N=(1,3,5,15}. (4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正 【归纳总结】列举法表示的集合的种类 的公倍数构成的集合是{xx=12,n∈N. (1)元素个数少且有限时，全部列举，如(1,2,3， 【归纳总结】使用描述法表示集合应注意的问题 4}. (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等。 (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用 (2)说明该集合中元素的共同属性. 省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可 (3)不能出现未被说明的字母. 以表示为{1,2,3，…，1000} (4)所有描述的内容都要写在花括号内，用千描 (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用 述的内容力求简洁、准确 省略号列举，如“自然数集N”可以表示为{0,1， 【举一反三】 2,3,…}. 试分别用描述法和列举法表示下列集合： 注意：(1)花括号“()”表示“所有”“整体”的含义， (1)由方程x(x2一2.x一3)=0的所有实数根组成 如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数 的集合： 集}、{全体实数}、{R}都是不确切的.(2)用列举 (2)大于2小于7的整数. 法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏， 【举一反三】 用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A: (2)方程x2一9=0的实数根组成的集合B: (3)小于8的素数组成的集合C: (4)一次函数y一x十3与y=一2x十6的图象的 交点组成的集合D. 39 )数学 初高中教材衔接 知识三集合表示方法的简单应用 5.(多选题)下列集合中，表示相等集合的是( 【例3】已知集合A={x∈Rm.x2-2.x+3=0, A.{(-5,3)},{-5,3 m∈R},若A中元素至多只有一个，求m的取值 B.{3,-5},{-5,3 范围 C.{π，(3.1415} 【解】①当m=0时，原方程为一2x十3=0，x D.{xx2-3.x+2=0}.{yly2-3y+2=0 昌特合题意。 6.设集合A=(-2,0,1,3},集合B={x|-x∈A, 1一x庄A},则集合B中元素的个数为（) ②当m≠0时，方程mx2一2x十3=0为一元二次 A.1 B.2 方程，由4=4-12m<0,得m≥号，即当m≥ 1 C.3 D.4 7.已知集合A={xx2十2x十a=0},若1∈A,则 时，方程m.x2一2x十3=0无实根或有两个相等 d= A= 的实数根，符合题意. 8.已知集合A={-1,-2,0,1,2},B={xx=y2, 由0@知m=0m>} y∈A),则用列举法表示B应为 9.用适当的方法表示下列集合： 【归纳总结】此题容易漏解m=0,漏解的原因 (1)方程x2+y2一4.x十6y+13=0的解集. 是默认所给的方程一定是一元二次方程.其实， (2)1000以内被3除余2的正整数组成的集合. 当m=0时，所给的方程是一个一元一次方程； (3)二次函数y=x2一10图象上的所有点组成的 当m≠0时，所给的方程才是一个一元二次方 集合 程，求解时要注意对m进行分类讨论 【举一反三】 已知集合A={xx2十px十q=x},B={x(x-1) 十p(.x-1)十q=x+3},当A=(2}时，集合B= ( A.{1} B.{1,2 C.(2,5} D.1,5 ■当堂巩固 1.方程组 x+y=2 的解构成的集合是 x-y=0 A.1} B.((1,1)} C.(1,1) D.1,1 10.若-3∈{a一3,2a一1，a2+1},求实数a的值. 2.把集合{xx2一3x十2=0}用列举法表示为 ( A.{x=1,x=2} B.{xx=1,.x=2} C.{.x2-3.x+2=0} D.1,2 3.设集合A={1,2,4},集合B={xx=a十b,a∈A, b∈A},则集合B中的元素个数为 ( A.4 B.5 C.6 D.7 4.(多选题)已知集合A={x|x=2m一1，m∈Z}, B={xx=2,n∈Z},且x1,x2∈A,x3∈B,则 下列判断正确的是 () A.x1·x2∈A B.x2·x∈B C.x1+r2∈B D.x1+x2+x3∈A 40)数学 初高中教材衔接 4.解析：(1)点(3,6)美于y轴对称的点的 所示 3.解析：因为2∈A, 坐标为（一3,6） 所以2×2+2a+2=0 (2)画数y=三的围象关子x轴对格的 解得a=一5. 答案：A 图象所对应的函数的解析式为y= 4.解析：因为集合M是由不小于25的 ,即y=3 3 数组成的集合，4=T门，所以a不是集 合M中的元素，故a任M. (（3)函数y=（k≠0)的国象关于x轴 第二部分 努力冲刺篇 答案，B 对称的图象对应的西数的解析式为y 5.解析：当x>0时，x=|x=/>0. 第1课时 集合的概念 知识储备 一F=一x<0,此时集合共有2个 答秦：1)(-3,6)(2)y=- 1.研究对象总体集元素2.∈ 元素：当x■0时，x=1zx■√T 3.NN或N,ZQR 一/F=一=0，此时集合共有1个元 5.解析：作点A关于T轴的对称点A,连接 典例讲解 素：当x<0时，一x=x= BA'与r轴交于点P', 知识一 举一反三 一2>0，x<0,此时集合共有2个 1.解析：①“一中高一年级愁明的学生”的标 元素：综上所述，此集合有1个或2个 准不痛定，因而不能构成集合：②“直角坐 元素， 答案：AB 标系中禄、纵坐标相等的点”的标准确定， 6解析：图为集合N°表示正整数集，表 0 P.pr 能构成集合：③“不小于√5的正签数”的标 示自然量集，乙表示整数集，Q表示有 A 准确定，能构成集合：①“5的近似值”的 理数集，R表示实数集，所以①③中的 标准不确定，不能构成集合 说法不正确，②①中的说法正确 则P'A十PB就是PA十PB的最小值， 答案：C 答案：②① A(0,2),B(4,2)+ 2.解：(1)CBA的所有队伍是确定的，所 7.解析：因为a是偶数，b是奇数，所以a .点A'的坐标为(0，一2)， 以可以构成一个集合 十b是奇数，ab是偶数，故a十b任A,ab 设直线A'B的解析式为y=kr+b, (2)“比较著名”没有衢量的标准，对象 ∈A. 把A'(0,一2)，B(4,2)的坐标代入解析 不确定，所以不能构成一个集合， 答案：任∈ 式得：+22解得你2 k■1 (3)“得分前五位”是确定的，所以可以 构成一个集合， 8解析：当a>0且b>0时，a十lb ∴.直线A'B的解析式为y=x一2， (4)“比较高”没有衡量的标准，对象不 =2: 令y=0,则x=2..点P的坐标为(2.0) 确定，所以不能构成一个集合， 答案：(2,0) 知识二 当a·K0时，a+lh =0: 6.解：y=x一3x十2 举一反三 当a<0且<0时. x2-3.x+2(.x2-3x+2≥0)， 1.解析：由题意可设x=3k十2，k∈Z ={r产+3x-2(r-8x+20 =-2. 令3k十2=17得，k=5∈Z. 从上面可以看出，只要把函数y=x2十 所以17EA.令3k十2=-5得， 所以集合中的元素为2,0，一2. 3.x十2的图桑在x轴上方的部分保持 7 k=一 即元素的个数为3. 不变，再把下方的制折到上方即可 年Z所以-5EA 答案：3 答案：∈任 9.解：(1)图为一3∈A,所以一3=a一3或 2.解析：国为1任A,2∈A, -3=2a-1.若一3=a一3，则a=0.此 所以2×1+a≤0， 时桑合A含有两个元素一3，一1，特合 2×2+a>0, 题意： 即-4<a≤-2. 若-3=2a-1,则a=-1.此时集合A 12 答案：一4<a≤一2 含有两个无素一4，一3，符合题意， 知识三 靠上所述，实数a的值为0戏一1. 解：周为A=B, (2)因为aEA,所以a=a-3或a=2a 7,解析：y=f(一1x)= f（-x)x≥0， f(r),r<0, 以中 -1. 当a=a-3时，有0=一3，不成立： 答案：C 解得x=士1，经检验，=1不适合集合 当a=2a一1时，有a=1,此时A中有 8.解：(1)如图所示：△AB,C即为所求： 元素的互并性，而x=一1适合， 两个元常一2,1，特合题意.综上知：4 (2)如图所示：△A:B,C即为所求 所以x=一1， =1. 当堂巩因 第2课时集合的表示 1.解析：在①中，接近于0的数的全体不 知识储备 能构成一个集合，故①错误：在@中，正 1.一一列举{ )2.{x∈AP(.x) 方体的全体能构成一个集合，故正 rEA:P(r))rEA:P(x) 响：在③中，未表世界的高科技产品不 典例讲解 能构成一个集合，故③错误：在④①中，不 知识一 大于3的所有自然数能构成一个集合， 举一反三 故④正确。 解：(1)大于1且小于6的整致色括2， 答案：D 3,4,5, 所以A={2,3.4,5 9.解：y=2十 占西数围象可由y之解析：号是实数，①正确V后是无理数 (2)方程x2一9=0的实数根为一3.3， -上的图象先向右平移1个单位长度： ②错误：一3是整数，③错议：一3是无 所以B={一3,3. 理数，④正确.故选B (3)小于8的素数有2,3,5,7， 再向上平衡2个单位长度得到，如图 答案：B 所以C■{2,3.5,7}， 84 参考答案☒ 26解得☐：所以 (4)由/y=r+3. (2)集合的代表元素是数，用描述法可表4.解析：由A={x1<r<2,B={xr<a} y=4, 示为{xx=3k+2,∈N且<1000. A二B,则(aa≥21 一次函数y=x十3与y=-2x十6的图 (3)“二次函数y=-10图象上的所有 答案：D 象的交点为(1.4).所以D=((1,4). 点”用描述法表示为(y)y=r-101. 5.解析：B={yy=z,x∈R}=(yy20}. 知识二 10,解析：固为一3∈{a一3,2a一1，a2+ 所以AB 举一反三 1},又a2+1≥1， 答案：C 解：(1)用描述法表示为{x∈Rx(x 所以-3=4-3，或一3=2a-1, 6.解析：由题意可得，集合B■(1,2,3}， 2r一3)=01，用列举法表示为{0，一1,3 解得a=0.或a=一1， 所以A=B. (2)用描述法表示为{x∈Z2<x<7}, 当a=0时.{a-3,2a-1,a2+1}= 答案：C 用列举法表示为{3,4,5,6 {一3，一1,1}，满是集合三要素： 7.解析：周为A=(2,5],A二B,所以5<a 知识三 当a=-1时，fa-3,2a-1,e3+1 又aE(c,十o),所以c=5. 举一反三 {一4，一3,2}，满是集合三要素所以a 答案：5 解析：由A={xx+px+g=r}={2 =0或一1， 8.解析：因为B=(31二A,所以3∈A 知，2+2p+q=2.且4=(p-1)-4g 即9一15十m=0,所以m=6. =0.计算得出，p=一3，g=4, 第3课时 集合间的基本关系 答案：6 则(x-1)2十p(x一1)+4=x十3可化 9.解析：(1)因为B二A,B是A的子集，由 为(x-1)2-3(x-1)十4=x+3: 知识储备 图(1)得a3. 即(x-1)2-4(x-1)=0: 1.内部2.任意一个3.任何一个元素 则x-1=0或x一1=4， 任何一个元素A=BA三BB三A 计算得出，x=1或x=5. 4.xEB.且x任A5.不含任何元素☑ 所以集合B=(1,5), 6.子集二二二A≤C 图(1) 答案：D 典例讲解 (2)因为A二B,A是B的子集，由图(2) 当堂巩固 知识一 得a≥3. 1解析：由十2得即1,1. 举一反三 r-y=0. 1y=1, 解析：集合A为方程x2一3x十2=0的 答案：B 解集，即A=〈1,2}，而C={xx<8, 2.解析：解方程x2一3x+2=0可得x=1 ∈N}={0,1,2,3,4,5,6,71.故(1)A 图(2) 成2，所以集合{xx2一3.r+2=0}用列 =B: 举法可表示为{1,2} (2)AC:(3){2C:(4)2∈C 第4课时并集与交集 答案：D 答案：(1)=(2)(3)(4)E 3.解析：由题意，B={2,3,4,5.6,8},共有 知识二 知识储备 6个元素 举一反三 3.A A A B A 答案：C 解析：若A中含有一个奇数，则A可能 典例讲解 4,解析：由题寇，可如集合A表示奇数集， 为1}，{3}，1,21，{3.2}： 知识 B表示偶数暴，所以x1:r是奇数，1 若A中含有两个奇数，则A={1,3}: 举一反三 是码数，所以x1十x2十x应为偶数，即 答案：5 1.解析：因为M={0,1,3,N={xx x1+2十x,母A. 知识三 3u:a∈M}={0,3.9}.所以MUN 答案：ABC 举一反三 0.1.3.9} 5,解析：A中(（一5,3）1表示点集，一5,3} 解：A={xx2十x-6=0}={一3,21. 答案：D 表示数集，不相等：由集合中元素的无 因为B年A, 2.解析：将一3<x≤5，x<一5戏z>5在 序性，B中两集合相等：圆为π≠3.141 所以B=【一3)或B={21或B=☑ 数抽上表示出来。 5,故C中两桑合不相等：D中两集合均 彗B={一3}时， 为(1,21. 由m·(一3)十1■0，得m= 53 0 答案：D 3 所以MUN=(xlx<-5我x>-3}. 6,解析：若x∈B,则一r∈A,所以r的可 当B={2}时， 答案：《xr<一5或x>一3} 能取值为：2,0，一1，一3，当2EB时，则 1-2=-1EA, 由m·2+1=0,得m=-1 知识二 举一反三 所以2∈B:当0∈B时，别1一0∈A,所 当B=0时，m=0. 1.解析：如周 以0民B: 综上所述，m= 当一1∈B时，则1一（一1）=2任A,所 我m=一 1 2或m=0. 以一1∈B: 当堂巩固 当一3∈B时，则1一《一3)=4任A,所1.解析：空集是不含任何元素的集合，所 因为A=(x|一2<x<1), 以-3∈B. 以①错误：空集是任何集合的子集，固 B={x0<x<2}, 综上，B={一3，一1,2}，所以集合B含 此空集也是空集的子集，且空集的予集 所以A∩B=(x10x<1) 有的元素个数为3. 只有一个，所以②③错误，①正确。 答案：D 答案：C 答案：B 7.解析：把x=1代入方程x+2x+a■02.解析：A中集合为{0)，B中为((0,0))， 2解桥：AnB-c川y 可得a=一3，解方程x2十2x-3=0可 C中为{0}，而D中方程无解，是空集。 {(2,1)1 得A={-3,1}. 答案：ABC 答案：C 答案：一3{一3,1 3.解析：集合M={一2，一1,0,1}，集合 知识三 8,解析：(-1)2=12=1，（一2）2=22=4， R={一3，一2}，集合S{0,11,不难发 举一反目 02=0,所以B={0.1,4 现集合P中的元素一3廷M,集合Q中 解：由a<a+8,又B={x|x<一1或 答案：0,1.4 的元素2任M,果合R中的元素一3民 >5},在数指上标出集合A,B,如图： 9.解：(1)方程x十y-4x+6y十13=0 M,而集合S={0,1}中的任意一个元素 可化为(x一2)+(y+3)=0,解得x=2, 都在集合M中，所以S二M. 3y■一3，所以方程的解集为{(2，一3)》 答案：D 5a+8 85