第一部分 第11课时 简单的方程组的解法-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

第一部分知识衔接篇☑ 5.实数k为何值时，方程x2一k.x+k一2=0的两根 7求实数k为何值时，方程2-kx十k+=0的 都大于 两个实根， (1)分别在1<x<2和3<x<4内： (2)绝对值小于1. 6.关于x的方程3x2-5x十a=0的两根分别在 一2<x<0和1<x<3内，求a的取值范围. 8.若函数/)=-2+在a≤<6上的最小 值为2a,最大值为2b,求a,b. 第11课时 简单的方程组的解法 ■目标要求 ③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值： ④将所解得未知数的值代入二元一次方程，求另一 1.在初中学习的基础上，掌握二元一次方程及方程 个未知数的值（若代入的是二元二次方程，会出现 组的解法； 2.理解并掌握三元一次方程及方程组的解法； “增解”问题)： 3.理解并掌握二元二次方程及方程组的解法： ⑤将解得两个未知数的值组在一起就是原方程 4.掌握解决消元、降次的思想解决方程组的方法. 组的解， ☐知识储备 (2)逆用根与系数的关系 1.二元二次方程的定义：含有两个未知数且含有未 对于形如十“的方程组，可以根据一元二次方 zy=b 知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元 二次方程 程根与系数的关系，将xy看作一元二次方程2 2.二元二次方程组的定义：由一个二元一次方程和 ae十b=0的两个根，求得的和2的值，就是x、y 一个二元二次方程组成的方程组或由两个二元 的值，当=时，为=2：当2=2时，2= 二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组. 所以原方程组的解是两组“对称解”， 3.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的 4.两个二元二次方程组成的方程组的解法 方程组的解法： (1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次 (1)代入法 ①把二元二次方程中的一个未知数用另一个未 方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方 知数的代数式表示： 程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组 ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一 成新的两个方程组，解新的方程组所得的解就是 元二次方程： 原方程组的解。 29 )数学初高中教材衔接 (2)当方程组中两个二元二次方程都可以分解为 知识二 简单的三元一次方程组 两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分 【例2】解方程组 解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元 y=x+1 [x+2y+2=2 二次方程分解所得到的每一个二元一次方程组 (1)2.x+y+e=1(2)x+y+2x=5. 成新的方程组，可得到4个二元一次方程组，解 x-2y+g=-6 2x+y+x=9 这4个二元一次方程组所得的解都是原方程组 【思路分析】(1)各方程组利用加减消元法求出 的解. 解即可 ☐典例讲解 (2)将①+②+③，得：4x十4y+4z=16,则x+ y十之=4…④，用①一④.②一④，③一④廊可求 知识一 简单的二元一次方程组 得方程组的解。 【例1】解方程组 y=x+1① 3x+2y=14 【解】(1)2x十y十x=1②， (1) x=y十3 x-2y+x=-6③ 3.x-4y=2 ②-③得：x十3y=7④， 【思路分析】(1)代入消元法求解可得： 把①代入④得：x+3(x+1)=7, (2)加减消元法求解可得. 解得：x=1, 【】4 ① 把x=1代入①得：y=2, ② 把x-1,y=2代入③得：x=一3， 将②代入①，得：3(y+3)+2y=14, x=1 解得：y=1, 则方程组的解为y=2, 将y=1代入②，得：x=4, 2=-3 则方程组的解为 x=4 x+2y+x=2① y=1: (2)x+y+2x=5②， (2)原方程组整理为 /4.x-3y=12 ① 2.x+y+=9③ 3.x-4y=2 ②' ①十②十③得4：x十4y十4：=16即x十y十= ①×4-②×3，得：7x=42, 4④， 解得：x=6, ①-④得y=-2, 将x=6代入①，得：24-3y=12, ②-④得：=1， 解得：y=4 ③-④得x=5. 1x=6 则方程组的解为 x=5 y=4 所以原方程组的解为y=一2 【归纳总结】本题主要考查解二元一次方程组， x=1 解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元 【归纳总结】(1)解答完本题后，应提醒同学们 法解二元一次方程组的一般步骤， 不要忘记检验，但检验过程一般不写出. 【举一反三】 (2)从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运 解方程组 用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确. 1)/2x-5y=-3 【举一反三】 -4x+y=-3 11.x+3e=9① 4(x-y-1)=3(1-y)-2 解方程组3.x+2y十x=8② (2) +=2 12x-6y十4x=5③ 30 第一部分知识衔接篇 5.x-3y+4x=13,① 知识三 二元一次方程和一个二元二次方程组成 【例3】解方程组2x+7y-3=19,② 的方程组 3.x+2y-x=18.③ 【例4】解方程组 【思路分析】(1)观察原方程组，我们准备先消 x+y=3① 去哪一个未知数？ x2+3.xy+y2=5② (2)为什么要先消去？注意到三个方程中都含 【思路分析】由①得：y=3一x,代入②并整理 有三个未知数，而在方程③中：一项的系数是一1， 得：x2一3.x一4=0，解这个一元二次方程并代入 所以未知数之易消。 求值即可， (3)怎样在①和②中消去？ 【解】由①得：y=3-x③， (4)解这个关于xy的方程组，求x和y的值是 把③代入②得：x2+3.x(3-x)十(3-x)2=5, 多少？ 整理得：x2-3.x-4=0, (5)怎样去求：的值？能不能把x=5,y=0代 入(3)中去求g? 解这个方程得，x1=4,x2=一1， 【解】①+③X4得17x+5y=85…④ 把x的值分别代入③，得y=一1，y2=4 ③×3-②得7x-y=35…⑤ ·原方程组的解为西=4,2=一1 ④、⑤组成方程组 117x+5y=85, y=-1'2=4 7x-y=35. 【归纳总结】(1)解由一个二元一次方程和一不 解得二6 二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或 把x=5,y=0代入(3)，得15-=18， 用y表示x的方程(3)： x=5, ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元 所以=一3，所以y=0, 次方程： x=-3. ③解消元后得到的一元二次方程： 【归纳总结】解三元一次方程组的一般步骤 ④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次 1.利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未 方程(3)，求相应的未知数的值： 知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一 ⑤写出答案. 次方程组： (2)消x,还是消y,应由二元一次方程的系数来 2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数 决定，若系数均为整数，那么最好消去系数绝对 的值： 值较小的， 3.将求得的两个未知数的值代入原方程组中的 (3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元 一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次 一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次 方程： 方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增 4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数 根，这一点切记 的值： 【举一反三】 5.将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起， 解方程组 x2+4.xy+4y2=9 即可， x+y=0 【举一反三】 3.x+2y+≈=13① 解方程组x十y十2x=7② 2.x十3y-=12③ 31) )数学 初高中教材衔接 知识四两个二元二次方程组成的方程组 2x+y=29 x2-y2=5(.x+y)① 3.解方程组2x十心=29得x的值为 【例5】解方程组 x2+xy+y2=43② 2:+x=32 【思路分析】注意到方程x2一y2=5(x十y),可 A.18 B.11 分解成(x十y)(x一y一5)=0，即得x+y=0或 C.10 D.9 x一y一5=0，则可得到两个二元二次方程组，且 1(x+1)(y十2)=0 4,二元二次方程组 每个方程组中均有一个方程为二元一次方程， y=x2 的解的个数 【解】由①得： 是 () x2-y2-5(.x+y)=0→(x+y)(.x-y)-5(x+ A.1 B.2 y)=0→(x+y)(x-y-5)=0 C.3 D.4 ∴.x十y=0或x-y-5=0 x+y=7 原方程组可化为两个方程组： 5.三元一次方程组 x-g=15的解是 x-y-5=0 2.x+=6 或 x十y=0 x2+xy+y2=43x2+xy+y2=43 3x-y+2:=3,① 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是： 6.解方程组2x+y一3：=11，②. x=-1x2=6x3=√3x4=-√43 x+y+x=12.③ =-6'2=1'y⅓=-√43y=√43 【归纳总结】由两个二元二次方程组成的方程 组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个 二元一次方程，测原方程组转化为解两个方程 组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次 1x2+y2=26① 7.解方程组 方程. xy=5② 【举一反三】 解方程组 .x2+xy=12① xy+y2=4② 8.解方程组 xy+x=3① 3.xy+y=8② ■当堂巩固 1.二元一次方程组 x+y=1 的解是 x-y=7 A./x-4 y=3 B/4 y=-3 9.解下列方程组： D./=8 、3x2-y2=8 四+w+=126+y=4 y=1 2xy=-21 2.二元二次方程组+y3的解是 y=-10 ( A.凸=5x2=2 ly=2'y2=-5 B.=52=2 y=2`y2=5 C.凸=5 x2=-2 y1=-2ly2=5 D.{凸=-5.x2=-2 y1=-2y2=-5 32)数学 初高中教材衔接 得a<-万或>是 所以，当<<停时，原方程两实极 则方程组的解为（工一2 y=31 ∴.函数f(x）-=x2-(2a-1)x+a-2 分别在区间(1.2)和(3,4)内： 知识二 与非负x轴至少有一个交点时a的取 (2)由题意，两个实根的绝对值小于1， 举一反三 位花周为一2≤a<号 即两个实根均在区间（一1,1）内。因 1.解：②×3+③，得11x十7z=29,① 而有 把方程①，④如成方程如 当堂巩固 (f(-1)>0 111x+3g=9① 1,解析：因为关于了的一元二次方程 f(1)>0 111x+7x=29④ ax2一4r-1=0有实数根. 剩/a￥0 -1K-<1 4=(-4)-4a×(-1)≥0解得 解这个方程组，得 2=5 a2-4且a≠0. -会0 6 故选：A 1+++>0 把r= =5代入@得3(-）十 答案：A 1 2.解析：设f(x)=x十(a一1)x十a一2. -6+>0 2y+5=8,所以y=2 由f1)<0→a+a-2<0,解得-2< 95 <≤2-5 T=- 6 a<1.所以，应这C. 11 答案：C 因此，方程组的解是 51 3,解析：根据题意得k≠0且△一k一4k一0. ++<0 y= 22 解得k=4.故答策为：4 所以，言-音<<2-5时，原方程的 g=5. 答案：4 举一反三 4,解析：(1)由题意，得 两个实根的绝对值小于1， 2【分析】用加减法解，应选择消去系毁 +x=m+2m-3=0→m=-3: 8.解：(1)当a<h<0时， 绝对值的最小公倍数最小的未知数 xg■2(m十1)<0. 解：①十③，得5x+5y=25.① (2)由m=一3，得方程x一(k-3)x十 由fa)=2a 0+9-2 ②十③×2，得5x+7y=31.⑤ ,即 4-k=0. f(b)=26 f5.r+5y=25① 南题高，得十3一十 由①与⑤组成方程组5十7y-31回 1x=4-k a,b是方程x2十4x一13=0的两根，但 此方程两根并号，故此时无解： 解这个方程组，得二2 +x1=1→(x1+1)(x2+1)=2. y=3 国为为整数，所以 (2)当a≤0≤b时，x)a=2h= 把xm2,y=3代入①，得3×2十2×3 2 +1=-13=-20 十x=13, x1十1=-2,2. x:■-3,1. >6-13 所以文=1. 所求k的值为一2或4. 1r=2 5,解：设f（x)=x一kx十k-2.由题意，得 若f(x)la=f(a)=2a→ 因此方程组的解是y=3 =1 =专>0 13 2 =2d→4=-2-/17： 知识三 I 举一反三 若f民x)桌*a=f()=2a→- =-+6-20 g90 f(-2a 2 =2a→a>0(不合题意). 由①：(x十2y)2=9, 7 1>162 周地0=-26号 .x+2y=3.x+2y=-3 它们与方程②分别组成方程组得】 (3)当0<a<b时， r+2y=3x+2y=-3 女∈R 6+=2a x+y=0'z+y-0 所以，当>号时，原方程的两根都大 1f(b)=2a 2 2 f(a)=2h -+=2h .原方程组的解是： /a=1, 1b=3. x1=3/x=-3 6.解：设f(x)=3x一5.x十a,由题意，得 因此，d=1,b=3 y=-3y=3 f0-2)=22+a0, f0)=a<0. 第11课时简单的方程组 知识四 →-12a0. 举一反三 f1)=-2+a<0, 的解法 解：①-②×3得：x+xy-3(xy十y) f(3)=12+a>0. 典例讲解 =0 所以，所求a的取值范国是一12<a0 知识一 7,解：设f(z)=x2-kx十k+ 举一反三 即x-2ry-3y=0→(x-3y)(x+y) =0 4 (1)由题意，得 ,9D .x-3y=0或x+y=0 ①×2+②得：-9y=一9. 原方程组可化为两个二元一次方程 1一+6+1 解得：y=1, f(1)>0 把y=1代入②得：x=1, : f(2)0 4-2张++1 用代入法解这两个方程组，得原方程组 (3)<0 1 别方程红的解为T二引 9-3张+k+<0 y=1 的解是：-3=-3 f(4)>0 1 16-4k+k+>0 @方程组装理得：，”。 y=1y=-1 当堂巩固 ①×2十②得：11x=22, << 解得：x=2, 1解桥：十y=1① r-y=7②' 把x=2代入①得：y=3, ①十②得2x■8，解得x■4. C82 参考答案口 将x=4代入①得4十y=1,解得y=-3.8.解：①×3-②得：3r-y=1→y=3x 知识三 收二元一次方整鱼的解 -1③ 举一反三 代入①得：x(3.x-1)+x=3→3.x=3 1.解析：如图所示，y=x一x十a的图 是/4 y=-3 之x1=1或x2=一1， 答案：B 分别代入③得：y=2戏=一4. 2.解析：依题意得x=3一y 原方程组的解是： .xy=(3-y)y=-10 -y+3y+10=0 二2成1 y=-4 0 y-3y-10=0 (y-5)(y+2)=0 613 y=5,y=-2 13 9.解：(1) <1<a1<a< ·方程的解为：5=5 x=-2 2√13 = =-23 为=-2 3y=5 13 13 答案：1<a<号 答案：C =-2x=2 2.解： /2.x+y=29① y=2· y,=-2 y=/x1 3.解析：2y+g=29②， 2:十x=326③ (2)/5=0/52=0 ①D×2-②得：4x-x=29④ y=2y=-2 ④×2+③得：9r=90, 刘，=② x=-② 解得x=10. 为=一2y,=见 答案：C (x+1)(y+2)=0 4.解析：解方程组 0 y/0 第12课时 函数图象的变换 y=x2② 将②代入①，得：(x十1)(x十2)=0， 典例讲解 :x2+2>0, 知识一 x+1=0,即x=-1, 举一反三 知识四 将x=一1代入②得，y=1 1.解析：f(x)向右平移2个单位即可得函 举一反三 所以方程组的解为：二一1 数y=f(x一2)的国豪，.函数y=f(x 1.解析：因为f(1一x)■f(一(.x一1)，故 y=1 答案：A 一2)关于x=0对称，即美于y轴对称 y=f(1一x)的图象可以由y=f(x)的 图象按瓶如下变换得到：先将y=f(x) t+y=7① 答案：y轴 的图象关于y轴翻析，得y=f(一r)的 5.解析：{x-=15②， 2.解析：将y=1的因象向右平移1个 图象，然后将y=f(一x)的图象向右平 2.x十=6③ 移一个单位，即得y=「（一x+1)的 ②+③得：3x=21. 单位，再向上平移一个单位，即可得到 图象， 解得：x=7, 把x=7代入①得：y=0, 函数y=1 的国 答案：A 把x=7代入③得：x=一8， 答案：B 2解-1仁in r=7 知识二 ∴先将y=x的图象向下平移1个单 则方程组的解为y=0· 举一反三 位长度，得到y=x一1的图象，再将 2=一8 y=x一1的图象在x轴下方的部分以 =7 1.解：y=(x)的图象得到y=一f(x十1) r抽为对称轴翻折到x轴上方即可，具 答案：{y=0 的图象，需要先将y=f(x)的图象美于 体如图所示. 8 r轴对称得到y=一f(x)的图象，然后 6.解：①十②，有5.x-:=14④① 再向左平移一个单位得到y=一(x十1D ①+③，有4.x十3：=15⑤ 的图象，根据上述步豫可知③正确. 再解由①、③构成的二元一次方程 答案：③ a+10 *-ll 2.解：(1)如图，△AB,C,为所作， ④×3，得15.x-3z=42 B(-2.-4).C(-4.-1): ⑤+①，得19x=57,r=3. 把x=3代入①，得=1， (2)S.m=3X4-专×2×2-号 2×3-2×4X1=5: 当堂巩固 故答案为5： 1.解析：观察图形可知图紫C通过平移后 把x=3,￥=1代入③，得y=8. 可以得到。 x=3, (3)如图，点P为所作 答案：C 因此，方程组的解是y=8 2.解析：观察四个逃项可知，选项A,C,D g=1. 中的图形沿着一条直线对斯后直线两 7,解：①十×2得：r+y十2xy=36→ 侧的部分能够完全重合，进项B中的图 (x+y)=36→x十y=6发x十y= 形不能，因此选项B中的国形不是轴对 -6, 称图形，故选B ①-©×2得：x+y2一2xy=16→ 答案：B (x-y=16→r-y=4我r-y=-4 3.解析：，点A(m,一2)与点B(3,n)关于 解此四个方程组，得原方程组的解是 x轴对称，.m=3,程=2， 1马=5/x=14=-1{x=-5 .m十1=5. y=1'为=5y=-5y=-1 答案：D 83