第一部分 第10课时 一元二次方程根的分布-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

)数学 初高中教材衔接 第10课时 一元二次方程根的分布 ☐目标要求 得出 △>0 4>0 的结 b∠k f(k)<0 1.不需要解方程就可以判定方程根的情况： 2a 论 2.解决与根有关的问题： f(k)>0 (k)>0 3.解决与区间(m,n)有关的二次方程：ax2十bx十c 大致 =0的根的问题： 图象 4.学会用二次函数图象与区间关系来解决问题， 1<0 ☐知识储备 得出 △>0 4>0 的结 b∠k f(k)>0 一、与零有关的根的分布 2a 论 f(表)>0 f(k)>0 两个负根即 两个正根即 一正根一负根即 一个根小于0， 综合 4>0 △>0 分布 两根都小于0 两根都大于0 结论 情况 (x1<0,x2< (x1>0,x2 一个大于0(x b k 2a a·f(k)<0 (不讨 0) 0) <0<r2) 论a) a·f(k)>0 a·f(k)>0 大致 三，与范围m<x<n有关的根的分布 图象 两根有且仅有 a>0) 一根在m<x 根在m<x<N 分布 两根都在m 内，另一根在p 得出 4>0 4>0 <n内（图象 情况 <r<t内 <xg内，m<n 的结 0 2a>0 有两种情况， f(0)<0 论 只画了一种) <<q f(0)>0 f(0)>0 大致 大致 图象 图象 a>0 a<0) f(m)>0 △>0 f(n)<0 得出 f(m)>0 或 得出 14>0 4>0 f(m)· f(p)<0 的结 b 的结 f(n)>0 0 f(0)>0 f(n)<0 f(g)>0 论 论 <n f(m)f(n)<o f(0)<0 f(0)<0 2a f(p)f(g)<0 综合 △>0 A>0 大致 结论 2下0 名0 图象 a·f(0)0 (不讨 a0】 05正日月； 论a) a·f(0)>0 a·f(0)>0 f(m)<0 4>0 二、与表有关的根的分布 f(n)>0 得出 f(m)<0 fp)>0 或 两根都小于k 两根都大于k 一个根小于k, 的结 f(n)<0 f(m)·f(n)<0 分布 f(g)<0 情况 即x1<表，到 即x1>k,xg 一个大于k即 论 m<-2a n f()f(n)0 K k I<k<x f(p)f(g)<0 综合 大致 结论 4>0 f(m)· f(n)f(n)<0 图象 (不讨 < 2a f(t)0 f(p)f(g)<0 论a) 26 第一部分知识衔接篇☒ ☐典例讲解 【举一反三】 已知方程2.x2一（m十1)x十m=0有两个不等正 知识一与零有关的根的分布 实根，求实数m的取值范围. 【例1】若方程x2+(m-2)x+5一m=0的根满足 下列条件，分别求出实数m的取值范围. (1)方程两实根均为正数： (2)方程有一正根一负根。 【解】法一(1)由题意，得 A>≥0 (m-2)2-4(5-m)≥0 知识二与k有关的根的分布 x1十x2>0→ -(m-2)>0 【例2】若关于x的方程x2十x+a=0的两根均小 x1.2>0 5-m>0 于1，求实数a的取值范围， m≤一4或m≥4 △=1-4a≥0 【解】 →m<2 →m≤-4. 1-D+(-1D<0,→-2<a≤} (x1-1)(x2-1)>0 m<5 【举一反三】 所以，当m≤一4时，原方程两实根均为正数： 已知二次函数y=(m+2)x2一(2m十4)x十(3m 4>0 十3)与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于 (2)由题意，得 →5-n<0→m>5. x1x2<0 1,求实数m的取值范围. 所以，当>5时，原方程有一正根一负根 法二二次函数y=x2十(m一2)x十5一m的图 象是开口向上的抛物线. (1)如图，由题意，得 知识三与区间(m,n)有关的根的分布 【例3】已知关于x的二次方程x2十21x+2m十1=0， (1)若方程有两根，其中一根在一1<x<0内， f(0)>0 (5-n0 一根在1<x<2内，求m的范围： _m-2>0 (2)若方程两根均在0<x<1内，求m的范围. 2a 2 【解】(1)条件说明抛物线f(x）=x2+2mx十 -)o (m-2)2(m-2)2 +5一m0 2m+1与x轴的交点分别在一1<x<0和1<x 4 <2内，画出示意图，得 →m≤-4. 所以，当m≤一4时，原方程两实根均为正数： (2)如图，由题意，得 m、 f(0)=2m+1<0, 2 f(0)<0→5-m<0→m>5. f(-1)=2>0, m∈R, 所以，当m>5时，原方程有一正根一负根 f(1)=4m+2<0, m<-1 f(2)=6m十5>0 【方法归纳】讨论二次方程根的分布·应在二次 m>5 方程存在实根的条件下进行，代数方法与图象法 5 <m< 1 是研究二次方程根的分布问题的主要方法 6 2 27 )数学 初高中教材衔接 (2)据抛物线与x轴交点落在0<x<1内，列不 【举一反三】 等式组 已知函数f(.x)=x2-(2a-1)x十a2一2与非负 1 x轴至少有一个交点，求a的取值范围 > f(0)>0, 2 f(1)>0, →m> △≥0， 2 0<-m<1 m≥1十√2或m≤1-√2， -1<m<0. →-<m≤1-2 (这里0<一m<1是因为对称轴x=一m应在 0<x<1内通过) 口当堂巩固 【举一反三】 二次函数y=5.x2一2(m+1)x+m2-6的图象与 1.关于x的一元二次方程a.x2一4.x一1=0有实数 x轴的两个交点位于一1≤x≤1上，且分居y轴 根，则a满足 的两侧，求实数m的取值范围. A.a≥一4且a≠0 B.a>4且a≠0 C.a≥4 D.a≠0 2.关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个 根比1大，另一个根比1小，则 () A.-1<a<1 B.a>1 C.-2<a<1 D.a<-2或a>1 3.若关于x的方程kx2一k.x十1=0有两个相等的 实数根，则实数k的值为 4.已知关于x的方程x2一(m2+2m一3).x+2(m+ 1)=0的两个实数根互为相反数. (1)实数m的值： (2)关于x的方程x2-(k十m).x-3m-k-5=0 知识四综合应用 的根均为整数，求出所有满足条件的实数， 【例4】已知方程m.x1一(m一3)x2+3m=0有 个根小于一1，其余三个根都大于一1，求m的取 值范围. 【思路点拨】设x2=y,原方程可化为my2 (m一3)y十3m=0,因而原方程的四个根是互为 相反数的两对根. 【解】设x2=y,原方程可化为my2一(m一3)y 十3m=0.由题意，此方程的两个根都是正根，且 一根大于1，另一根小于1. 设fy)=y2-m-3 y十3，则 f(0)>0 3>0 f1)<01-m_3+3<03-1m<0. 所以，当一1<<0时，原方程的四个根中，有一 个根小于一1，其余三个根都大于一1. 28 第一部分知识衔接篇☑ 5.实数k为何值时，方程x2一k.x+k一2=0的两根 7求实数k为何值时，方程2-kx十k+=0的 都大于 两个实根， (1)分别在1<x<2和3<x<4内： (2)绝对值小于1. 6.关于x的方程3x2-5x十a=0的两根分别在 一2<x<0和1<x<3内，求a的取值范围. 8.若函数/)=-2+在a≤<6上的最小 值为2a,最大值为2b,求a,b. 第11课时 简单的方程组的解法 ■目标要求 ③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值： ④将所解得未知数的值代入二元一次方程，求另一 1.在初中学习的基础上，掌握二元一次方程及方程 个未知数的值（若代入的是二元二次方程，会出现 组的解法； 2.理解并掌握三元一次方程及方程组的解法； “增解”问题)： 3.理解并掌握二元二次方程及方程组的解法： ⑤将解得两个未知数的值组在一起就是原方程 4.掌握解决消元、降次的思想解决方程组的方法. 组的解， ☐知识储备 (2)逆用根与系数的关系 1.二元二次方程的定义：含有两个未知数且含有未 对于形如十“的方程组，可以根据一元二次方 zy=b 知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元 二次方程 程根与系数的关系，将xy看作一元二次方程2 2.二元二次方程组的定义：由一个二元一次方程和 ae十b=0的两个根，求得的和2的值，就是x、y 一个二元二次方程组成的方程组或由两个二元 的值，当=时，为=2：当2=2时，2= 二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组. 所以原方程组的解是两组“对称解”， 3.一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的 4.两个二元二次方程组成的方程组的解法 方程组的解法： (1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次 (1)代入法 ①把二元二次方程中的一个未知数用另一个未 方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方 知数的代数式表示： 程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组 ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一 成新的两个方程组，解新的方程组所得的解就是 元二次方程： 原方程组的解。 29参考答案☒ 2.解析：令y=5,可得r-2r-3■5， 解得x=一2或x=4 .解10令-20)=3，得a=-2 2a 所以m一2=一2，m=4 此时抛物线开口向下，对称轴为x■一2： 即m=0或4. 且-2e[- 故答案为：0或4， 答案：0或4 故a= 3.解析：y=2-2mr=(x一m)2-m2, 立不合题 ①若m<一1，当x=一1时，y=1+2m (2)令(2)=3，得a=之，此时抛物线 =-2,解得：m=一受 开口向上，闭区间的右端点距离对称轴 x=1 ②若m>2,当x=2时，y=4一4m=-2, 越些，故a=之符合题意： 21-3,1<0 3 解得：m=营<2（含） 综上所遂：y -3,01≤1 ③若一1≤m≤2.当x=m时，y=一m -1 1 一2，解得m=2或m=一2<一1（舍）， 验，符合题意 知识五 “m的值为一昌或厄。 综上，=号我a= 举一反三 长答案为：-昌我巨 第10课时 一元二次方程 解：函数y=一(x 受)严+号国泉的对 根的分布 答案：一号成2 典例讲解 称轴方程为=号，应分一1≤号<1， 知识点1 4.解析：设当销售单价为x元时，每天获 举一反三 号<-1.号>1即-2≤a≤2a<-2 取的利润为y元， △>0 则y=(x-30)[100+10(60-x)] 和：>2这三种情形讨论，下列三图分 -10x2+1000.x-21000 解：由 (m+12>0> 2·2 别为 =-10(x-50)+4000. f(0)>0 (1)a<-2:由图可知fx),=f(-1) .当r■50时，y有最大值，且为4000， (m+1)一8m>0 (2)-2≤2： 故答案为：50. m>一1 由图可知儿)=f八号) 答案：50 m>0 (3)a>2时：由图可知f（x)*=f1) 5.解0r)=（x-5)-4 3 3 m<3-22我m>3+220<m< m>0 3r=-1 3-2,2或m>3+22即为所求的范围. 知识二 时 举一反目 解：由(m+2)·f(1)<0即(m+2)· 6.解：(1)设fr)=ax2+br+c.由f(0) =1,可知e=1 (2m+1)<0一-2<m<-号即为所求 ,f(x+1)-f(x)=[a(x+1)+b(x 的范围 +1)+c]-(a.r2+bx+c)=2ax+u+b 知识三 故由f(r十2)一f(x)=2.x得2a=2, 举一反三 a十bm0,因而a=1,b=一1，所以f(x) 解：设f（x)=5x一2(m十1)，x十m2-6, =x2一x+1: 由题意，得 (2)fx)=x-x+1=(x- f(-1)=m2十2m+1>0. f(0)=m-6<0. →一√6<n 号∈[-11小.所以当1=号 时 f(1)=m-2-3>0 的最小值为子 <一1.所以，所求m的取值范国是 -√6<m<-1. f(-1),a<-2 当x=-1时，x)的最大值为f（-1) 知识四 .yax- f号).-2≤a≤2： =3. 举一反三 7.解：(1)最大值为3，x=一2：(2)最大值 解析：法一：由题知关于x的方程x f(1),a>2 为4，x=一1：(3)最大值为4，x=一1， (2a-1)x+42-2■0至少有一个非负 -(a+1),a<-2 最小值为0x=1: 实根，设根为工·2·则≤0或 即k一 1,-2≤a≤2. (4)最大值为3，x=0,最小值为一12， △0 3. >0得-<a≤号 a-1,a>2 8.解：对称轴方程为x=1 r1+1>0 当堂巩固 (1)者a>0时，当x=3时取最大值， f(0)0 1,解析：者x>k时，y随x的增大而增 x=2时取最小值，则 大，当x<h时，y随x的增大而减小， 0a++848 法二：由题知(0)≤0或 2 ∴①若h<1≤x≤3，x=1时，y取得最 40 小值5，可得：(1一h)+1=5,解得th= (2)当a<0时，有r=2时取最大值， 一1或h=3(会)： r=3时取最小值，则 得-E<<是 ②若1≤r≤3<h,当r=3时，y取得凝 9a-6a+2+b=2 法三：当西数f(x)=x2一(2a一1)x十a 小值5，可得：(3一h)十1=5，解得：h= 红士2+6=5得g二21 1h=3 一2与非负x轴没有文点时， 5或h=1(舍). 经检验均待合题意， f(0)>0 综上，h的值为一1或5，故选B 则△<0或 -(2a-1<0 答案：B 2 C81 )数学 初高中教材衔接 得a<-万或>是 所以，当<<停时，原方程两实极 则方程组的解为（工一2 y=31 ∴.函数f(x）-=x2-(2a-1)x+a-2 分别在区间(1.2)和(3,4)内： 知识二 与非负x轴至少有一个交点时a的取 (2)由题意，两个实根的绝对值小于1， 举一反三 位花周为一2≤a<号 即两个实根均在区间（一1,1）内。因 1.解：②×3+③，得11x十7z=29,① 而有 把方程①，④如成方程如 当堂巩固 (f(-1)>0 111x+3g=9① 1,解析：因为关于了的一元二次方程 f(1)>0 111x+7x=29④ ax2一4r-1=0有实数根. 剩/a￥0 -1K-<1 4=(-4)-4a×(-1)≥0解得 解这个方程组，得 2=5 a2-4且a≠0. -会0 6 故选：A 1+++>0 把r= =5代入@得3(-）十 答案：A 1 2.解析：设f(x)=x十(a一1)x十a一2. -6+>0 2y+5=8,所以y=2 由f1)<0→a+a-2<0,解得-2< 95 <≤2-5 T=- 6 a<1.所以，应这C. 11 答案：C 因此，方程组的解是 51 3,解析：根据题意得k≠0且△一k一4k一0. ++<0 y= 22 解得k=4.故答策为：4 所以，言-音<<2-5时，原方程的 g=5. 答案：4 举一反三 4,解析：(1)由题意，得 两个实根的绝对值小于1， 2【分析】用加减法解，应选择消去系毁 +x=m+2m-3=0→m=-3: 8.解：(1)当a<h<0时， 绝对值的最小公倍数最小的未知数 xg■2(m十1)<0. 解：①十③，得5x+5y=25.① (2)由m=一3，得方程x一(k-3)x十 由fa)=2a 0+9-2 ②十③×2，得5x+7y=31.⑤ ,即 4-k=0. f(b)=26 f5.r+5y=25① 南题高，得十3一十 由①与⑤组成方程组5十7y-31回 1x=4-k a,b是方程x2十4x一13=0的两根，但 此方程两根并号，故此时无解： 解这个方程组，得二2 +x1=1→(x1+1)(x2+1)=2. y=3 国为为整数，所以 (2)当a≤0≤b时，x)a=2h= 把xm2,y=3代入①，得3×2十2×3 2 +1=-13=-20 十x=13, x1十1=-2,2. x:■-3,1. >6-13 所以文=1. 所求k的值为一2或4. 1r=2 5,解：设f（x)=x一kx十k-2.由题意，得 若f(x)la=f(a)=2a→ 因此方程组的解是y=3 =1 =专>0 13 2 =2d→4=-2-/17： 知识三 I 举一反三 若f民x)桌*a=f()=2a→- =-+6-20 g90 f(-2a 2 =2a→a>0(不合题意). 由①：(x十2y)2=9, 7 1>162 周地0=-26号 .x+2y=3.x+2y=-3 它们与方程②分别组成方程组得】 (3)当0<a<b时， r+2y=3x+2y=-3 女∈R 6+=2a x+y=0'z+y-0 所以，当>号时，原方程的两根都大 1f(b)=2a 2 2 f(a)=2h -+=2h .原方程组的解是： /a=1, 1b=3. x1=3/x=-3 6.解：设f(x)=3x一5.x十a,由题意，得 因此，d=1,b=3 y=-3y=3 f0-2)=22+a0, f0)=a<0. 第11课时简单的方程组 知识四 →-12a0. 举一反三 f1)=-2+a<0, 的解法 解：①-②×3得：x+xy-3(xy十y) f(3)=12+a>0. 典例讲解 =0 所以，所求a的取值范国是一12<a0 知识一 7,解：设f(z)=x2-kx十k+ 举一反三 即x-2ry-3y=0→(x-3y)(x+y) =0 4 (1)由题意，得 ,9D .x-3y=0或x+y=0 ①×2+②得：-9y=一9. 原方程组可化为两个二元一次方程 1一+6+1 解得：y=1, f(1)>0 把y=1代入②得：x=1, : f(2)0 4-2张++1 用代入法解这两个方程组，得原方程组 (3)<0 1 别方程红的解为T二引 9-3张+k+<0 y=1 的解是：-3=-3 f(4)>0 1 16-4k+k+>0 @方程组装理得：，”。 y=1y=-1 当堂巩固 ①×2十②得：11x=22, << 解得：x=2, 1解桥：十y=1① r-y=7②' 把x=2代入①得：y=3, ①十②得2x■8，解得x■4. 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