第一部分 第9课时 二次函数的应用-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

数学 初高中教材衔接 9.已知二次函数y三一x2+bx-c的图象与x轴的 10.已知二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),且顶 交点坐标为(n-2,0)和(2m+1,0). 点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表 (1)若x0时,y随x的增大而增大,求n的取 达式. 值范围;(2)若v一1时,自变量x有唯一的值,求 二次函数的解析式. 第9课时 二次函数的应用 目标要求 1当一 2a 1.掌握二次函数的图象; ### 2.掌握二次函数的增减性; 3.利用增减性求函数的最值 4.注意数形结合,分类讨论等思想方法的应用 b<mn,f(x)max=f(n),f(x)min ■知识储备 2当n一 2 2 1.二次函数的增减性 4ac-2 4 当6>0时,在对称轴左侧,v随着x的增大而减 少;在对称轴右侧,v随着x的增大而增大;当 a<0时,在对称轴左侧,y随着x的增大而增大; 在对称轴右侧;y随着工的增大而减少 2.二次函数的最值 ##<,时,f(t)max=f(m). 一般二次函数求最值: 2 2 根据最值公式计算即可,或把对称轴代入表达 .4ac-62} 式,对应的函数值就是最值. f()nin 4a 3.给定自变量取值范围求二次函数的最值 ①如果给定的范围在对称轴的一侧,只需要计算 两个端点的函数值,两个值中最大的为最大值 最小的为最小值 ②如果给定的范围包含对称轴,需要计算两个端 -n时,/(x)mx-/(m),/(x)mnn-/(n) 点的函数值和顶点的纵坐标,三个值中最大的为 2 最大值,最小的为最小值 具体归纳如下: (1)一元二次函数-ar2十bx十c(a关0) ao,ymin4ac-6 4 4 (2)一元二次函数y=f(x)=ax②+bx十c(a>0) 4.一元二次函数y-f(x)一ar十bx十c(a 0)在 在nrn上的最值 nxn上的最值类比2可求得 第一部分 知识衔接篇 知识二 二次函数的最值 典例讲解 【例2】求下列函数的最大值或最小值. 知识一 二次函数图象的应用 (1)-2-3x-5;(2)--2-3r+4. 【例1】已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,一2). 【思路分析】由于函数y-2x2-3x-5和y= 且与y轴交于(o.). --^2一3x十4的自变量x的取值范围是全体实 数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低 (1)求函数的解析式; (2)若点(,n)和点(o,n)都在该抛物线上,若 点,就可以确定函数有最大值或最小值。 【解】 pq5,判断n和n的大小. (1)因为二次函数y-2--3x-5中的 【解】 二次项系数2>0.所以抛物线y-2x2-3x-5 (1)由题意设函数的解析式为y一a(工一 有最低点,即函数有最小值,因为y-2x^{-3x- 3)2-2. 3249 0,所以当x一 3时,函数y= 5-2(x一 8 2*-3r-5有最小值是- 49 8. -1(r-3)2-2. (2)因为二次函数y=一r2-3x十4中的二次项 所以函数解析式是y一 系数-1<0,所以抛物线y--x2-3x+4有最 高点,即函数有最大值,因为y--x2-3x十4= ##)第# .所以当x二一 又因为二次函数的对称轴是直线x-3. 所以当r3时,v随x增大而增大, 因为>53. 4 所以n>n. 【举一反三】 1.二次函数y-2x2+8x-1的最小值是 ( ~ 【归纳总结】二次函数y=ax2}十bx十c(a子0) A.7 B.-7 C.9 的图象是抛物线,对称轴x一- D.-9 2 2.下表中所列的x,y的5对值是二次函数y=ar2 (1)a>0,当x>一 十bx十c的图象上的点所对应的坐标: #时,y随x增大面减小; -2 ._. 3。 当x<一 2ā -时,y随x增大而增大, ._. 11 6 u. 11 (2)a<0,当x<一 2a 若(x·y),(x,y)是该函数图象上的两点,根 时,随:增大而减小. 据表中信息,以下论断正确的是 ( 过当→一 - # A.当x<x。时,yy2 【举一反三】 B.当y>y时,r<x2 已知抛物线y-a(x-3)②+2经过点(1,-2). C.该函数的最小值为3 (1)求a的值; D.当x-1十n,x=1-n时(n为常数),y-y (2)若点A(m,y)、B(n,y)(m<n3)都在该抛 知识三 轴定区间定 【例2】 物线上,试比较y与y的大小. 1 当1<x<2时,求函数y=-x2-.x+1的 最大值和最小值 ### 【思路分析】 画出已知区间 的图象,找到最高点和最低 点即可求出函数的最大值和 最小值. 【解】作出函数的图象.当x -1时,ymx=-1,当x-2时,ymin=-5. 【归纳总结】二次函数在自变量x的给定范围 内,对应的图象是抛物线上的一段,那么最高点 的纵坐标即为函数的最大值,最低点的纵坐标即 为函数的最小值. 数学 2 初高中教材衔接 【举一反三】 知识五 轴动区间定 画出函数y-x2-3x-2的图象,并求在下列范 【例5】 1 当0<x<1时,求函数y=-x+2ax+l 围内函数的最大值,最小值 的最大值(其中。为常数) (1)0 2;(2)2 3;(3)-1 【思路分析】 二次函数开口向下,对称轴方程为 x一a,对称轴随a的变化而变化,所以需要比较 对称轴与r范圈的相对位置. 【解】函数y=一r2十2ax十1的对称轴方程为 r-a,画出其草图: 知识四 轴定区间动 (1)当对称轴在所给范围左侧,即a0时; 当x-0时,ymax-1; 【例4】已知函数y=^?,-2<x<a,其中a-2. (2)当对称轴在所给范围之间,即0a1时: 求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大 当x-a时,ymax=-a2+2a②+1-a②+1; 值和最小值时所对应的自变量x的值 (3)当对称轴在所给范围右侧,即a1时; 【思路分析】 本例中函数自变量的范围是一个 变化的范围,需要对a的取值进行讨论, 当x=1时,ymax--1+2a+1-2a. 【解析】(1)当a三一2时,函数y三r*的图象仅 ##44# 仅对应着一个点(一2,4),所以,函数的最大值和 最小值都是4,此时x-一2; (2)当-2<a<0时,由图2.2-6①可知,当x 一2时,函数取最大值y一4;当x一a时,函数取 综上所述:ymx=(a+1,0 a 1 . 最小值y-a②; 【归纳总结】 将运动的对称轴与区间的端点和 (3)当0 a2时,由图2.2-6②可知,当x=-2 中点作相应比较,得到几种不同类型的抛物线部 时,函数取最大值v一4;当x一0时,函数取最小 分图象. 值-0; 【举一反三】 (4)当a→2时,由图2.2-6③可知,当x-a时, 求函数y=-x(r-a)在-1<x 1上的最大值 函数取最大值y-a{}:当x-0时,函数取最小值 -0. ### ) 【归纳总结】在本例中,利用了分类讨论的方 ■当堂巩固 法,对a的所有可能情形进行讨论,此外,本例中 所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意 1.已知二次函数y一(x一h)②}十1(h为常数),在自 的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类 变量x的值满足1<x<3的情况下,与其对应的 ( 函数值y的最小值为5,则的值为 问题时,通常需要借助于函数图象来直观地解决 ) A.1或-5 问题,讨论已知区间和对称轴之间的从属关系, B.-1或5 C.1或-3 分类求解。 D.1或3 【举一反三】 2.二次函数y=*-2x-3,当n-2<x<m时函$$ 数有最大值5,则的值可能为 3.已知二次函数y=r2-2mx(n为常数),当-1 小值(其中/为常数). x<2时,函数值y的最小值为一2,则n的值是 4.某网店销售某种商品,成本为30元/件,当销售 价格为60元/件时,每天可售出100件,经市场 调查发现,销售单价每降1元,每天销量增加10 件,当销售单价为 元时,每天获取的利 润最大。 第一部分知识衔接篇 7.已知函数y=-2-2x十3,当自变量x在下列 5.已知函数f(c)-22v3 23--1,(-1<<③). 取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值: 求函数f(x)的最大值与最小值 并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量; 的值: (1)x-2;(2)x 2;(3)-2<1;(4)0 .3. 6.已知二次函数/(x)满足条件f(0)一1及f(x十 1)-f(x)-2x. 8.函数y=ar2-2ax+2+b(a去0)在2<x<3上 (1)求f(x): 有最大值5及最小值2,求a,的值 (2)求f(x)在-1<x1上的最大值和最小值 9.已知二次函数f(x)-ar*+(2a-1)x+1在区数学 2 初高中教材衔接 ,=-1<0. (3)11-01+1-4-0l-5 (1)”'0<x<2,对称轴= 在此范 .二次函数的图象沿坐标轴方向最少平 .二次画数的图象开口向下, 移5个单位,使得该图象的顶点在原点。 .x0时,y随x的增大而增大, 围内 当堂巩固 3→o,解得m 1.解析:二次函数y--2(x-1)+3的 ? 图象的顶点坐标为(1,3).故选:A. (2)由题意可知,二次函数的解析式为 答案:A --(-3m-1)*+1. 2.解析;二次&数y-(+1)-2 ? 十尺的最高点在工轴上, .二次函数的图象经过点(m-2,0). *.-b-4ac=0,即8-4(+1)-0 0--(m-2-3m-1+1. 解得:h-1,--2。 2 当一1时,左十1>0,此时图象有最低 解得m=-1和n--5. 点,不合题意舍去, &.二次函数的解析式为y一-4 则的值为:-2. 一3和y---16x-63. 故选:D. 10.解:.二次函数的图象过点(一3,0). (1,0). 答案:D --,无大值 3.解析:A.因为a一30,所以开口向上, 可设二次函数为y-a(x+3)(x-1) (a70). 错误:B项点坐标是(1,2).正确;C.当 (2) '2<3.对称轴-3<2 xl时,y随x增大而增大,错误;D 展开得:-ar+2ar-3a. '-2时,y--4.x=3时.y” 图象与y轴的交点坐标为(0,5),错误; 故选:B. 40 -2. 答案:B 由于二次函数图象的顶点到工轴的距 4.解析:将抛物线y--3^{}+1向左平移 离2, 2个单位长度所得直线解析式为; .-4al-2,即-士1. --3(x+2){}+1:再向下平移3个单 位为:y--3(x+2)+1-3,即y- 所以,二次画数的表达式为y-吾 -3(r+2)-2.故选D. 答案:D 或一 5.解析:将A、O两点坐标代入解析式得: 第9课时 二次函数的应用 --3 典例讲解 知识一 /-3 解得: 4 举一反三 解析:(1).抱物线y=(x-3)+2经 (3)'-1<1,对称轴->1 --3 .该抛物线的解析式为: 过点(1.-2...-2- (1-3)+2.解 得a--1: 'r-1时,y-2-1.y-4. (2),:函数y--(x-3)+2的对称轴 为r=3.A(m,y)、B(n,y)(m n<3) 在对称轴左例,又.抛物线开口向下, 6.解析:设二次函数的解析式为y一ar+hr ,对称轴左例y随一的增大而增大, 十c(a字0). ”<3...y. ax(-1+bx(-1+-0 知识二 由己知得a×0+bx0+e-3 . 举一反三 xr+b×1+e-4 1.解析:先利用配方法得到y一2(x+2){} --1 一9.然后根据二次函数的性质解决 解得-2 ,所以该函数的表达式为 问题。 1c-3 解析:,y-2+8-1-2(+2) -9. y--+2r+3. '当x-一2时,y有最小值,最小值为 故答案为:y--+2x+3. 一9.故选D. 知识四 答案:y--+2x+3 答案:D 举一反三 7.解析:,二次&数y=(a-1)x一x+ 2.解析;根据表格中的数据可得;抛物线 解:画数y-----的对称轴为 a-1的图象经过原点, 开口向上,在对称轴左边,y随工的增 '-1-0.-士1. 大而减小,在对称轴的右边,y随工的 r-1.画出其草图. ,-10.1.a的值为-1. 寸$当对时一-# 增大而增大,故A,B选项错误,不符合 (1)当对称轴在所给范围左例,即(l 故答案为:-1. 题意;根据表格可知,抛物线的对称轴 答案:-1 为直线-一1,顶点坐标的纵尘标的值 8.解:(1)根据题意,得 为最小值,最小值不是3,故C选项错 (2)当对称轴在所给范围之间,即(<1 误,不合题意:-1.y, 11-十=-1 <(+1→0 1时;当r-1时,y= 9+3十-,解得 - .所求的二次函数的解析式为y-r 答案:D 故D选项正确,符合题意;故选D. -4r-6. (3)当对称轴在所给范围右例,即7+1 (2):--4r-6-(-2)-10. 知识三 <1→<0时: 举一反三 '.函数图象的对称轴为1一2; 当-十1时,y_-(+1)-(“+1) 项点坐标是(2,-10). 解:y一(r- 9.解:(1)由题意可知,二次画数图象的对 #--3- #上,对称^一}# 2 80 参考答案 2.解析:令y-5,可得r-2r-3-5 解得x--2或r-4 所以m-2--2,m-4 此时抛物线开口向下,对称轴为1--2. 即m-0或4. #1 2[,2] x-1 故答案为:0或4. 答案:0或4 故a--不合题意: 3.解析;y=-2mr-(rm) -m”, ①若m -1,当x=-1时,y-1+2n (2)令/(2)-3.得a-,此时抛物线 开口向上,闭区间的右端点距离对称轴 ②若n>2,当r-2时,y-4-4n=-2 -3-< 远些,故a一-符合题意; 解得:m<2(含); (3)若(一-#)-3._得- 综上所述:y= -3.01 #, ③若-1n 2,当r-m时,y--n= 一2.解得:n-②或n-一②<-1(含). 验,符合题意. #.的值为一或/。# 知识五 举一反三 故答案为:或②.# 第10课时 一元二次方程 解:画数y--(x-)十图象的对 根的分布 答案:-或② 典例讲解 称轴方程为 -,应分-1<<1; 知识点1 4.解析;设当销售单价为x元时,每天获 举一反三 <-1.>1即-2<a<2a<-2 取的利润为y元, _(1)_0→ [40 则y=(r-30)[100+10(60-x)]- 和u>2这三种情形讨论,下列三图分 -10+1000r-21000 解:由 2·2 别为 --10(r-50)+4000. f(0)0 (1)a -2;由图可知f(r)=/-1) ,当文一50时,y有最大值,且为4000. (n+1)-8m>0 (2)-2<<2: 故答案为:50. n-1 2 由图可知/(x)=/() 答案:50 n>0 5.解:(x)-(r-4 ### n<3-2\或 →3+2v→0<< (3)a2时;由图可知f(x)=f(1) 1n0 所以-时,(n)- 3-2、②或m3十2、②即为所求的范围. 知识二 时,(o)2# 举一反三 6.解;(1)设f(x)-ar”+bx十c.由f(0) 解:由(n+2)·f(1)<0即(rn+2)· -1,可知(-1 (2m+1)<0→-2<n<-即为所求 ,f(x+1)-r)-[a(r+1)+b( 的范围. +1+c]-(ar&+br+c)-2ar+a+b 知识三 故由f(r+2)-f(x)-2:得2a=2 举一反三 a+b-0,因而a-1,b--1,所以f(x) --十1: 解:设f(r)-5-2(m+1)x+n-6 由题意,得 f(-1-m+2m+10. f(0)-m-6<0. “[-1,1].所以当-时, →一” _ /(1)-m-2n-3>0 (c)的最小值为寻 <一1.所以,所求m的取值范围是 -、<n<-1. /(-1<-2 当r-1时,f(x)的最大值为f(-1) 知识四 y ()-2<<2; _3. 举一反三 7.解:(1)最大值为3,x=一2;(2)最大值 解析:法一:由题知关于x的方程r^}一 /01)2 为4,x--1;(3)最大值为4,x=-1. (2a-1)r+a-2-0至少有-个非负 (-(a+1)a<-2 最小值为0,--1; 实根,设根为x,,则x.。0或 (4)最大值为3,x-0.最小值为一12, 即y:二 {得一2<<. △0 r-3. -1,>2 8.解:对称轴方程为r一1 >0 当堂巩固 (1)当a0时,当x-3时取最大值, (/(0)0 1.解析:,当xh时,y随x的增大而增 x-2时取最小值,则 0一 --(2-1)0. 法二:由题知/(0)<0或 大,当xh时,y随x的增大而减小, 2 '①若h<1r3,x-l时,y取得最 △0 小值5,可得:(1-h)}+1-5,解得;h (2)当a0时,有x一2时取最大值, 得一### 一1或h-3(舍); --3时取最小值,则 ②若1 x3<h,当r=3时,y取得最 [--1 法三:当画数/(x)-r-(2a-1r+a -3 小值5,可得:(3-h)+1-5,解得:h- 一2与非负x轴没有交点时, 5或-1(舍). 经检验均符合题意, ###(二#二# /(o)0 财△<0或 综上,h的值为一1或5,故选B -(2a-1)o' 答案:B