第一部分 第8课时 一元二次函数的三种表达方式-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

第一部分知识衔接篇 6.解方程：(1)2-3x)-18=0. 8.解方程：w√2x+5+1=√/3x-2. 9.为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近 年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城乡 绿化一体化城市.某校甲、乙两班师生前往郊区 参加植树活动，已知甲班每天比乙班少种10棵 7已知关于x的分式方程十己之 树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵 树所用的天数多2天.求甲、乙两班每天各植树 (1)若方程有增根，求k的值： 多少棵？ (2)若方程的解为负数，求及的取值范围。 第8课时一元二次函数的三种表达方式 ☐目标要求 (2)顶点式：y=a(x一m)2十n(a≠0)，其中顶点 为(m,n) 1.了解二次函数的概念： (3)零点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中 2.理解二次函数的三种表达方式： x1x2是a.x2+b.x十c=0的两根. 3.会用待定的方法求二次函数的表达式. ■典例讲解 口知识储备 知识一一般式 二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点 【例1】已知抛物线y=a:x2+b.x十c的对称轴为 考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研 x=-1,且过点（一3,0），(0，-3). 究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初 (1)求抛物线的表达式： 高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求， (2)已知点(m,k)和点(n,k)在此抛物线上，其中 是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点 m≠n,请判断关于t的方程12+mt十n=0是否 式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐 有实数根，并说明理由， 标、对称轴、最值)等：再比如待定系数法，通过解方 【解】(1)抛物线y=a.x2十b.x十c的对称轴为 程组的形式来求二次函数的解析式. x=-1,且过点(-3,0)，(0，一3) 1.形如y=a.x2十bx十c(a≠0)的函数叫做二次函 9a-3b+c=0 数，其图象是一条抛物线。 则： c=-3 2.二次函数的解析式的三种形式： b =-1 (1)一般式：y=a.x2+b.x十c(a≠0) 2a 19 )数学 初高中教材衔接 解得a=1,b=2,c=一3 【举一反三】 ∴.抛物线y=x2十2x一3： 已知二次函数的图象的顶点是（一1,2），且经过 (2),点(m,),(n,k)在此抛物线上， (1,一6)，求这个二次函数的解析式. .(,k),(,k)是关于直线x=一1的对称点， .m十n=-1即m=一n-2 2 b2-4ac=m2-4n=(-n-2)2-4n=n2+4>0 ∴，此方程有两个不相等的实数根 知识三交点式 【归纳总结】形如下面的二次函数的形式称为 【例3】已知在平面直角坐标系中，二次函数y= 一般式：y=ax2十bx十c(a≠0)；-般设出方程， x2十2x十2k一2的图象与x轴有两个交点. 列方程组求解 (1)求k的取值范围： 【举一反三】 (2)当k取正整数时，请你写出二次函数y= 抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式.（结 x2+2x+2k一2的表达式，并求出此二次函数图 果化成一般式) 象与x轴的两个交点坐标 【解析】(1)图象与x轴有两个交点， ∴方程x2+2x十2k一2=0有两个不相等的实 数根， ∴.△=b2-4ac>0.即4-4(2k-2)>0. 解得k<受： 2:6为正整数是 .k=1.y=x2+2x 令y=0,得 知识二顶点式 x2十2.x=0,解得 【例2】已知二次函数y=-+x+, x1=-2,x2=0, .交点为（一2,0）和(0,0) (1)用配方法将此二次函数化为顶点式： 【归纳总结】形如下面的二次函数的形式称为 (2)求出它的顶点坐标和对称轴方程. 交点式：y=a(x一x1)(x一x2)(a≠0)，其中 【解桥】Dy=一2+x+是 x1x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.一 般与对称轴有关。 y=-2-2x-3 【举一反三】 y=-2r2-2x+1-1-3) 已知二次函数的图象经过点(3，一8)，对称轴是 直线x=一2，此时抛物线与x轴的两交点间距 y=-2[2-2x+1D- 离为6. (1)求抛物线与x轴两交点坐标： ,[(x-1)2-4] (2)求抛物线的解析式. y=-2-1D+2 (2:y=--102+2 .顶点坐标为(1,2)，对称轴方程为直线x=1. 【归纳总结】形如下面的二次函数的形式称为顶 点式：y=a(x一h)2十k(a≠0)，其中顶点坐标是 (h,k). 20 第一部分知识衔接篇 知识四二次函数的综合应用 口当堂巩固 【例4】已知二次函数y=x2一4x+3. (1)求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点： 1.二次函数y=一2(x-1)2+3的图象的顶点坐标 (2)在所给坐标系中画出该二次函数的大致图 是 () 象，并写出当y<0时，x的取值范围 A.(1,3) B.(-1.3) C.(1,-3) D.(-1,-3) 2.若二次函数y=(k+1)x2一2√2x+k的最高点 在x轴上，则k的值为 () A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.二次函数y=3(x一1)2+2，下列说法正确的是 0 () A.图象的开口向下 B.图象的顶点坐标是(1,2) 【解】(1)当y=0时，x2-4x十3=0， C.当x>1时，y随x的增大而减小 解得x1=1,x2=3, D.图象与y轴的交点坐标为(0,2) 4.将抛物线y=一3.x2十1向左平移2个单位长度， 所以该二次函数与x轴的交点坐标为(1,0)(3,0)： 再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为 因为y=x2-4x+3=2-4x+4-1=(x-2)2-1, () 所以抛物线的顶，点坐标为(2，一1)： A.y=-3(x-2)2+4B.y=-3(x-2)2-2 (2)函数图象如图： C.y=-3(.x+2)2+4D.y=-3(x+2)2-2 五已知抛物线y=膏2+br十c经过点A(一2.0， O(0,一3)，则该抛物线的解析式为 6.已知某二次函数的图象过点（一1,0），(0,3)，(1， 4),则该函数的表达式为 7.二次函数y=(a-1)x2-x+a2-1的图象经过 原点，则a的值为 8.已知二次函数y=x2+bx十c的图象经过点A和 点B. 由图象可知，当y<0时，1<x<3. (1)求该二次函数的解析式： 【举一反三】 (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标. 二次函数的图象经过点A(0,一3)，B(2, -3),C(-1,0) (1)求此二次函数的关系式： (2)求此二次函数图象的顶点坐标： (3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少 平移 个单位，使得该图象的顶点在 原点 21 )数学初高中教材衔接 9.已知二次函数y=一π2十b.x一c的图象与x轴的 10.已知二次函数的图象过点（一3,0），(1,0)，且顶 交点坐标为(m一2,0)和(2m十1,0). 点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表 (1)若x<0时，y随x的增大而增大，求m的取 达式 值范围：(2)若y=1时，自变量x有唯一的值，求 二次函数的解析式。 第9课时二次函数的应用 ■目标要求 2a<m,fx）ns=f）,fx)n=fm 1当- 1.掌握二次函数的图象； 2.掌握二次函数的增减性： 3.利用增减性求函数的最值： 4.注意数形结合、分类讨论等思想方法的应用. 口知识储备 2°当m≤- ≤"m”,fx)nx=f(m,fxm 2a 1.二次函数的增减性 =4ac-2 当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减 4a 少：在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当 a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大： 在对称轴右侧，y随着x的增大而减少. 2.二次函数的最值 一般二次函数求最值： 3°当m十”<-多≤n时，f(x)x=f(m), 2 2a 根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达 式，对应的函数值就是最值， f八r）nmn=tar-b Aa 3.给定自变量取值范围求二次函数的最值 ①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算 两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值， 最小的为最小值. ②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端 点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为 4°->n时，f(x)mx=fm,fx)mn=f(n 2a 最大值，最小的为最小值 具体归纳如下： (1)一元二次函数y=a.x2十b.x十c(a≠0) a0.ymin -facb ,a<0时，yas=ac 28 4a (2)一元二次函数y=f(.x)=a.x2+bx+c(a>0) 4.一元二次函数y=f(x)=a.x2十b.x十c(a<0)在 在m≤x≤n上的最值. m≤x≤n上的最值类比2可求得. 22参考答案☒ 签理得x-3x十2=0， 解方程，解得1=1，=2， 则原方程化为3y十1=？ 8.解：方程两边平方得2x十5十2√2x+5 y 2 +1=3x-2, 检验：将1=1，：=2分别代入(x十2) 即6y-7y+2=0, 整理得2√2r+十5=x-8, (x一2)选行检验，发现x=2是增根， 答案：D 两边再平方并整理得x一24r+44=0, ,原方程的解是r=1. 3.解析：将y=x2一x代入x2-x-1 解得x1=2,x1=22. 知识二 举一反三 中得y-1= r- 经检验，x1=2是原方程的增根，x= y 22是原方程的根. 解：移项得√厅+3=√3r一2-1. 整理得y一y一6=0，，B选项正确 所以原方程的解为x=22 两边平方得x+3=3r一2一2√3x-2 答案：B 9.解：设甲班每天植树x裸，那么乙旅每 +1, 4,解析：A选项，x十1=0，此时方程无 天可以植树(x十10)裸， 移项、合并同类项，得√3r一2=r一2， 解，故本选项错误：B选项， 由题意可得150=120 两边再平方，整理得x一7x十6=0， ”-2+号=0，-2= 1 +10+2. 解方程得x1=1,r4=6. 解得1=30，n=一25， 检验：把无1=1代入原方程，左边=1≠ “,”算术平方根是排负数， 经检验，西=30，=一25都是原方程的 解，但是x=一25不待合题意，故舍去 右边，所以x1■1为原方程的增根： ',此时方程无解，故本选项错误：C选 项，r十1=2，.x十1=4，r=3 当x=30时，十10=40. 把：=6代入原方程，左边=一1=右 将合题意，故本选项正确：D选项， 答：甲班每天桂树30裸，乙班每天植树 边，所以一6为原方程的根 40裸. 所以原方程的解为x=6. ”m-1+1-=2, 知识三 .x一1≥0且1-x≥0，解得x=1,经 第8课时一元二次函数的三 举一反三 检验，当x■1时，左边中右边，故本选 种表达方式 解：3r2+29+5-15 =3(r 3十 项错误，综上，故选C 典例讲解 答案：C 知识 18+5r-8)=20. 5.解析：x=√2.x+3,x2=2x+3,x2-2x 举一反三 一3=0，(x一3)(x十1)=0.解得x1= 解：由图象可知抛物线的顶点坐标为 3,x2=一1 (1,4), 方程变形得：3y2+5y-2=0 x≥0，，x=3,A选项错误： 设此二次函数的解析式为 解件=一2=子 -2x+1-4=0,x2-2x+1=16, y=a(x-1)十4 把点(3.0)代入解析式，得 x-2x-15=0, 4十4=0，即=一1 (x-5)(x十3)=0,1=5，x1=-3, 所以此函数的解析式为y=一(x一1)月 经枚验，，=5，x2=一3是方程的解， +4 解得-1±10友r=-3-1 故B选项错误： 6 故答案是y=一x十2x十3. x-1=7x,x-1=(7-x)2,x2 知识二 经检脸x=1士10四我=一3，x=1 15x+50=0,(x-5)(x-10)=0. 举一反三 6 解得=5，x=10,经检验，x1=5,x 解：二次函致的图象的顶点是（一1,2）， 是分式方程的根】 =10是原方程的解，故C选项错误： .设抛物线项点式解析式y=a(x+1) 知识四 举一反三 /2y+3=一y.y2-2y-3=0,(y-3) +2,将(1，一6)代入得，a(1+1)+2= 解：(1)授购买一副羽毛球抽需要x无 (y+1)=0,解得=3，%=一1， -6, 则购买一根跳绳雾要(x一20)元， -y≥0，∴y≤0，y=-1,D选项正 解得a=一2，所以，这个二次函数的解 确，综上，故选D 析式为y=一2(x十1)2十2. 依题意，得，20 ×80 知识三 2 1-20·解得： 答案：ID 举一反三 r=25, 6.解：设一1=1，则原方程可化为： 解：(1)固为批物线对称轴为直线x 经检脸，x=25是原方程的解，且符合 题意，.x一20=5. 2-31-18=0. 一一2，且图象与1轴的两个交点的距 答：期买一副羽毛球拍需要25元，购买 即（一6）(1+3)=0， 离为6， 解得1=6，=一3， ,点A,B到直线x=一2的距离为3， 一根琥绳需要5元. .A为（一5,0），B为(1.0)： (2)设入(1)班购买n斟羽毛球柏，则购 即1=6或1=-3 (2)设y=4(r+5)(x-1). 买(2m十10)根跳绳， ,点(3，一8)在抛物线上， 依题念，得：25m十5(2m十10一m)≤ 350,解得：m10. ÷-8=u(3+5)(3-1),4=- 2 答：入(1)班最多可购买10酬羽毛 经检验，r=一 上我=都是原方程 球拍。 4 =--2+ 当堂巩固 的解。 1.解析：方程两边都来以x(x十1)得2(x7.解：(1)分式方程去分母得：4(x一1)+3 答案：(1)(-5,0)，(1,0)：(2)y= 2 +1)-3x=2x(x+1), (x十1)=k, 由这个方程有增极，得到x=1或x=一1， 整理得22+3-2=0，解得1=7，] 2+ 将x■1代入整式方程得：k■6， 知识四 x=-2, 将x=一1代入整式方程得：k=一8， 举一反三 经检敢，=2，口=一2都是原方程 则k的值为6或一8. 解：(1)设y=a.十十c,把点A0,-3): (2)分式方程去分母得：4(x一1)+3(x B(2,一3)，C(-1,0)代入得 的解，C选项正确 +1)=,去括号合并得：7x一1=，即 0=-3 a=1 答案：C 4a+b+c=-3.解得{b=-2 2.解析 3+-1- x=生1，根据题意得：<0，且 7 a-b-3=0 c■-3 2 中1且中≠-1，解得：<-1 .y=x-2x-3: 7 设，气 (2)y=x2-2x-3=(r-1)-4 且k≠一8. ,。函数的顶点坐标为(1，一4)： 79 )数学 初高中教材衔接 (3)11-01+-4-0=5 ,"a=-1<0. 二次函数的困象开口向下， (1):0<x<2,对称轴x= ·二次虽数的图象沿坐标轴方向是少平 在此范 移5个单位，使得该图象的顶点在原，点 x<0时，y随x的增大而增大 国内 当堂巩固 1.解析：二次函数y=一2(x-1)+3的 3>≥0，解得m> 图豪的顶，点坐标为(1,3).故选：A (2)由题意可知，二次函数的解析式为 答案：A y=-(-8m2)产+1. 2.解析：：二次函数y=(k+1)x2-2√2 2 十k的最高点在x轴上， :二次函数的图象经过点(m一2,0)， .△=b一4ac=0,脚8-4k(k+1)=0, 0=-m-2-32y+1 解得：k1=1,k2=一2， 当=1时，十1>0，此时图象有最低 解得m=一1和m=一5， 点，不合题意舍去。 ∴·二次函数的解析式为y=一x一4 则的值为：一2. -3和y=一x一16.x-63. 故选：D 10.解：”二次函数的图象过点（一3,0） 答案：D (1,0), 3.解析：A.因为4=3>0，所以开口向上， ∴，可设二次数为y=a(x十3)(x一1) r= 时火=一无流大位 错误：B顶点坐标是(1,2)，正确：C.当 (a≠0)， x>1时，y随x增大而增大，错误：D 展开得：y=ax2+2ar-3a, （2:2≤x<3:时称轴一号<2 图象与y轴的交，点坐标为(0,5)，错误： 预点的纵坐标为-12a一址=-4a. .r=2时，an=一4，r=3时，yx 故选：B -2. 答案：B 由于二次函数图象的顶，点到x抽的距 4.解析：将抛物线y=一3x2+1向左平移 离2， 2个单位长度所得直线解析式为： 1 y=一3(.x+2)2+1:再向下平移3个单 -4如=2，即a=土2 位为：y=-3(x+2)2+1-3,即y 一3(x+2)2-2.故遮D. 所以，二次函数的表达式为y=豆x 答案：D 5,解析：将A、0两点坐标代入解析式得： g×(-2y-26+-0, 第9课时 二次函数的应用 x=-3 典例讲解 知识 举一反三 c=-3 解析：(1)，抛物线y=a(一3)十2经 (3):-1≤<1,对称轴=号> ,接抛物线的解析式为： 过，点(1，一2)，.一2■a(1一3)+2，解 得4=一1： r=一1时，y.=2,x=13y=一4 (2),函数y=一(.x一3)十2的对称轴 答案y-骨- 13 为r=3.∴A(my),B(,为)(m<n<3) 在对称轴左侧，又：抛物线开口向下， 6,解析：设二次函数的解折式为y=ar十b加 对愁轴左侧y随x的增大而增大， 十c(a≠0)， m3.,.M< 1a×(-1)2+b×(-1)+c=0 知识二 由已知得(aX0+bX0十c=3 举一反三 a×1+b×1+e=4 1.解析：先利用配方法得到y■2(x十2) a=-1 一9，然后根据二次画数的性质解决 解得b=2,所以减函数的表达式为 问题. c=3 解析：y=2x+8x-1=2(x十2)2-9. y=-r2+2r+3. ,当x=一2时，y有最小值，最小值为 故答案为：y=-x2+2x十3， -9.故达D 知识四 答案：y=-Y+2x+3 答案：D 举一反三 7.解析：：二次岛数y=(a一1)x一x十2.解析：根揭表格中的数据可得：抛物线 a一1的图象经过原点， 开口向上，在对称轴左边，y随x的增 解：函数=-1一昌的对称轴为 a-1=0,∴a=±1， 大而减小，在对称轴的右边，y随x的 x=1.画出其苹图. a-1≠0，a≠1，a的值为-1. 增大而增大，故A,B选项错误，不特合 (1)当对称袖在所给范国左侧。即>1 故答案为：一1. 题意：根据表格可知，抛物线的对称轴 答案：一1 为直线x=1,顶，点坐标的纵坐标的值 时：当r=1时n=号f-1一吾， 8.解：(1)根描题意，得 为最小值，最小值不是3，放C速项错 (2)当对称轴在所给范国之间，即1≤1 1一b+c=-1 ≤1+1→0≤1≤1时：当x=1时，ym lc=-6' 说，不合题意十=1，=， 2 ∴，所求的二次西数的解析式为y= 故D选项正确，待合题意：故选D, ×1-1-是=-31 -4x-6. 答案：D (3)当对称轴在所给范国右侧.即1十1 (2)又y=r2-4.x-6=(.x-2)2-10,知识三 <1t<0时： 函数图象的对称轴为x=2: 举一反三 顶点坐标是(2，一10)， 当x=十1时，= 24+1-(+1) 9.解：(1)由题嘉可知，二次西数图象的对 解：y=(x一 51 称轴为x=m-2+2m-1_3m-1 3 2 2 向上，对称轴一立 80