第一部分 第7课时 分式方程与根式方程-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

)数学初高中教材衔接 8.已知关于x的一元二次方程k.π2一(k+8)x+8 9.某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，每辆车的 =0. 月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月 (1)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根： 租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租 (2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好 出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车 是这个方程的两个根，求此时的值 辆每月只需维护费100元. (1)当每辆车的月租金为4800元时，能租出多 少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入 扣除维护费)是多少万元？ (2)规定每辆车月租金不能超过7200元，当每 辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益 (租金收入扣除维护费)可达到40.4万元？ 第7课时 分式方程与根式方程 ☐目标要求 高公分母，将分式方程转化为整式方程：③解整 式方程：④验根 1.了解分式方程的概念，学习了用去分母法和换元 3.换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知 法解可化为一元一次方程且分式不超过两个的 数，并将原方程化为只含辅助求知数的新方程： 分式方程： ②解关于辅助未知数的新方程：③通过所求得的 2.了解根式方程的概念，会运用两边平方法解含有 辅助未知数的值求出原方程的解：④验根， 一个根式的根式方程； 4.验根的方法：①将求得的解代入最小公倍式，使 3.熟悉求解可化为一元一次方程且分式超过两个的 公倍式为零的为原方程的增根：②将求得的解代 分式方程，以及可化为一元二次方程的分式方程： 入原方程分母，使分母为零的解为增根：③将求 会运用去分母法和换元法解分式方程并验根： 得的解代入原方程，看左、右是否相等，使方程 4.懂得如何运用平方法解含有两个根式的根式方 左、右相等的解为原方程的解。 程：会运用换元法解一些特殊的根式方程， 根式方程 1.定义：最简方程的根号内含有未知数的方程叫作 口知识储备 根式方程. 分式方程 2.两边平方法解根式方程的一般步骤：①移项，使方 1.定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 程中含有未知数的根式比较均衡地分布在等号两 2.去分母法解分式方程的一般步骤：①把各分式的 边：②方程两边同时平方，化简，得到有理方程： 分母因式分解（答题中已分解好了，这一步可以 ③解有理方程；①验根. 省去)，找出最简公分母：②方程两边同时乘以最 3.验根：将求得的解代人原方程，看左、右是否相 等，使方程左，右相等的解为原方程的解 16 第一部分知识衔接篇 ☐典例讲解 知识二根式方程的解法 【例2】解方程：√3.x-2+√/x十3=3. 知识一 去分母解分式方程 【解】原方程可化为√3x一2=3-√x+3, 【例1】解分式方程 4)1。=)=1-3 两边平方得3x一2=9一6x+3十x十3， x-22-x 整理后得3√x十3=7一x, e2e 两边平方得9(.x十3)=49-14x十x2, 整理得x2-23x十22=0，解得x=1或x=22, 【思路分析】(1)分式方程去分母转化为整式方 检验：将x=1代入原方程，左边=右边，x=1 程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可 是原方程的根； 得到分式方程的解： 将x=22代入原方程，左边≠右边，x=22是 (2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式 增根，∴.原方程的解是x=1 方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程 【举一反三】 的解， 解方程：wx+3-√3x一2=一1. 【解】(1)去分母得：1=x-1一3x十6， 解得：x=2, 经检验x=2是增根，分式方程无解； (2)去分母得：-3(x十2)=3(x十2)-6十x 去括号得：-3x-6=3.x+6-6+x 移项合并得：7x=一6， 解释=一号 经检验=一号是分式方程的解 【归纳总结】(1)去分母解分式方程的步骤 知识三用换元法解分式方程 ①把各分式的分母因式分解：②在方程两边同 乘以各分式的最简公分母；③去括号，把所有项 【例3】解方程2十)+6C+D-7. x+1 x2+1 都移到左边，合并同类项：④解一元二次方程： ⑤验根. 【解】 令士出=y,则原方程可化为2y十日 x+1 y (2)验根的基本方法是代入原方程进行检验，但 =7, 代入原方程计算量较大，而分式方程可能产生的 方程两边都乘y得2y2-7y十6=0，解得y1=2, 增根，就是使分式方程的分母为0的根。因此我 们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方 y2=2 程两边同乘的各分式的最简公分母为0，若为0， 即为增根：若不为0，即为原方程的解. 直y=2时.三2，脚22x—1三0.解招 【举一反三】 x1=1十2，x2=1-2: 解方程1。 2=1. 当y=多，-是即2r-3-1=0,郎 得=33+画 4 经检险1=1十22=1-2，-3二 4 _3十正均为分式方程的解， 4 ∴原方程组的解为x1=1十√2，x2=1一W2,x3= 3=厘.x4=3+☑ 4 4 C17 )数学 初高中教材衔接 【举一反三】 (1)求购买一副羽毛球拍、一根跳绳各需多少元？ 解方程：3r+号+5一5-20. (2)双11期间，商店老板给予优惠，购买一副羽 x 毛球拍赠送一根跳绳，如果八(1)班需要的跳绳 根数比羽毛球拍的副数的2倍还多10，且该班购 买羽毛球拍和跳绳的总费用不超过350元，那么 八(1)班最多可购买多少副羽毛球拍？ 知识四分式方程的应用 【例4】某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料. 已知A型机器人每小时搬运的原料比B型机器 人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B型 机器人搬运2400千克所用时间与A型机器人 搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人 每小时分别搬运多少千克原料。 【思路分析】设B型机器人每小时搬运xkg原 口当堂巩固 料，则A型机器人每小时撒运（分x十50）kg原 1.方程2 十=2的根是 3 料，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合B 型机器人搬运2400千克所用时间与A型机器 A.-2 人搬运2000千克所用时间相等，即可得出关于 x的分式方程，解之即可得出结论： c-22 D.-2,1 【解】设B型机器人每小时搬运xkg原料，则 A型机器人每小时数运（合+50）kg原料， 2.用换元法解方程3兰十1-号设兰 x2-1 x y,那么换元后，方程可化为整式方程正确的是 依题意，得：2400-2000 () 解得：x=150, 2x+50 B.2y2-7y+2=0 经检验，x=150是原方程的解，且符合题意， C.3y2-7y+1=0 D.6y2-7y+2=0 ÷7+50=125, 3.用换元法解方程2-工-1=，6，若设y R-t 答：A型机器人每小时搬运125kg原料，B型机 x2一x,则原方程可化为 器人每小时搬运150kg原料. A.y2+y-6=0 B.y2-y-6=0 【归纳总结】本题考查了分式方程的应用以及 C.y2+y+6=0 D.y2-y+6=0 一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准 4.下列方程中，有实数根的方程是 ( 等量关系，正确列出分式方程：(2)根据各数量之 A.√x2+1=0 间的关系，正确列出一元一次不等式 k2+号-0 【举一反三】 C.√x+I=2 D.x-I+1-x=2 八(1)班为了配合学校体育文化月活动的开展， 5.下列说法正确的是 () 同学们从捐助的班费中拿出一部分钱来购买羽 A.方程x=2.x+3的根是一1和3 毛球拍和跳绳.已知购买一副羽毛球拍比购买一 B.方程√x2一2.x十1-4=0的根是x=5 根跳绳多20元.若用200元购买羽毛球拍和用 C.方程√x一1=7一x的根是x=10 80元购买跳绳，则购买羽毛球拍的副数是购买 跳绳根数的一半。 D.方程√2y+3=一y的根是y=一1 18 第一部分知识衔接篇 6.解方程：(1)2-3x)-18=0. 8.解方程：w√2x+5+1=√/3x-2. 9.为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近 年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城乡 绿化一体化城市.某校甲、乙两班师生前往郊区 参加植树活动，已知甲班每天比乙班少种10棵 7已知关于x的分式方程十己之 树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵 树所用的天数多2天.求甲、乙两班每天各植树 (1)若方程有增根，求k的值： 多少棵？ (2)若方程的解为负数，求及的取值范围。 第8课时一元二次函数的三种表达方式 ☐目标要求 (2)顶点式：y=a(x一m)2十n(a≠0)，其中顶点 为(m,n) 1.了解二次函数的概念： (3)零点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中 2.理解二次函数的三种表达方式： x1x2是a.x2+b.x十c=0的两根. 3.会用待定的方法求二次函数的表达式. ■典例讲解 口知识储备 知识一一般式 二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点 【例1】已知抛物线y=a:x2+b.x十c的对称轴为 考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研 x=-1,且过点（一3,0），(0，-3). 究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初 (1)求抛物线的表达式： 高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求， (2)已知点(m,k)和点(n,k)在此抛物线上，其中 是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点 m≠n,请判断关于t的方程12+mt十n=0是否 式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐 有实数根，并说明理由， 标、对称轴、最值)等：再比如待定系数法，通过解方 【解】(1)抛物线y=a.x2十b.x十c的对称轴为 程组的形式来求二次函数的解析式. x=-1,且过点(-3,0)，(0，一3) 1.形如y=a.x2十bx十c(a≠0)的函数叫做二次函 9a-3b+c=0 数，其图象是一条抛物线。 则： c=-3 2.二次函数的解析式的三种形式： b =-1 (1)一般式：y=a.x2+b.x十c(a≠0) 2a 19)数学 初高中教材衔接 3x≥5时.+3+青x-5=12. 知识二 6.解析：方程x2一4x十1=0的两根为x 举一反三 和x2,则十无=4，无=1， .x+3+0.8x-4=12, 解：设是方程的两根，由书达定 则x十x=(x十x)2一2.1x,=16-2 解得r= 理，得 =14.故答案为：1. 9 x1十x=-2(m-2),·x2=m+4. 答案：14 答案：一或智 x+-·:=21, 7.解：设1·x:为方程2x2+ax-2a十1 .(1+x)-31·x4-21, =0的两根，则有：△=a一8(-2a十1) 6.解析：x<2x一1台一(2x一1)<x< 即[-2(m-2)]户-3(m2+4)=21, ≥0 x>1 >号>1.所以不等式 化简，得m2一16m一17=0，解得m= 2x-1 1,或州=17，当n=一1时，方程为x 即a+16a-8≥0①+=-号 一6x十5=0,4>0，满是题意： |x<2x一1的解集为{xx>1}. 当m=17时，方程为x十30x十293 ②d=1,20@ 2 答案：{xx>1} =0 将②和③代入+=(1+x) 7.解：(1)（平方法）等式两边平方得(2 △=30一4×1×293<0，不合题意，会 -1)2=(x+3) 去.笨上，m=一1. =1+2a=29 2m=4 整理得3.x2-10.x-8=0 知识三 解得a■3或a=一11 解释=4=一号 举一反三 但a=一11不满是①式。 【分析】(1)由一元二次方程有两个实 故答案：a■3 经脸验，这两个数都是原方程的根. 数根结合根的判别式，即可得出关于m8.解：(1)4=(k+8)2-32k (2)解：（平方法）原等式化为x+1 的一无一次不等式，解之即可得出m =k2+16k+64-32k =|2x-1 的取值范围： =k一16k+64 两边平方得(x+1)=(2x一1) (2)根据根与系数的关系可得出x,十 =(k8)≥0. 整理得3x一6x=0 =一31=m-1,结合2(x十x2) ,无论k取任何实数，方程总有实数根。 解得x1=0,x=2 十十10=0可狮出关于m的一元 (2)当三角形的腰长为4时，设底边为， 8.解：（分类讨论法）：由x十1=0得，x= 一次方程，解之即可得出m的值. .x=4是k.x一(k十8)x十8=0的 一1，由x一3=0得x=3, 解：(1)方程x2+3x十m一1=0的两 一根， ①若x<一1，则x十1<0，x一3<0，原 个实数根， .16k-4(k+8)+8=0. 不等式化为一(x+1)十(x一3)≤2，解 ∴.4=32-4(m-1)=13-4m≥0， .16k-4k-32十8=0， 得一≤2，成立.取r<一1： 解得：n<孕 .k=2, ②若一1≤x<3.则x十1≥0，x一3<0， 原不等式化为(x十1)十(x一3)2，解 (2),方程x十3r+m-1=0的两个 “由根与系数的关系可知：如=管， 得r2, 实数根分别为、x:, .a=1, :一1≤x<3.取一1≤r2 ∴.x1+x2=一3，x1x:=m-1. 此时1十4>4，能够组成三角形，满是题 ③若x≥3，则x十1>0，x-3≥0，原不等 2(x1十x)+x1x4+10=0,脚-6+ 意，，当底边为4时，设腰长为4， 式化为(x十1)一(r一3)2，解得42，不 (m一1)+10=0， .kx3一(k+8)x十8=0有两个相同 成立，.靠上所述，原不等式解为x2. .n=-3. 9.解：当7十1<0，即r<-7时，不等式当堂巩固 的根， .△=(k+8)-32k=0, 显然成立： 1.解析：，x2一6r一5=0， k=8, 当x≥一7时， .x-6.x=5, ,孩方程的解为：x=1. 有2士57+ 一(2x+5)≥7+x. 别x2-6x十9=5+9，即(x-3)=14 .1十1<4，不能组成三角形， 12r+5≥0 12x+5<0, 答案：D 解得r≥2或一7≤≤一4. 2.解析：可将两个等式相减，得到《，b的关 综上所述，k■2. 综上所迷， 系，由于两个等式结构相同，可视a,b为 9.解：1)100-48004000-92（辆）. 100 原不等式的解为x≤-4成1≥2 方程x一13x十m=0的两实根，这样就为 (4800-500)×92-100×(100-92) 第6课时 一元二次方程 根与系数关系的应用创造了条件 答案：B 394800(元)， 典例讲解 3.解析：根据题意得m≠0且△>0，解不 394800元=39.48万元. 知识一 等式即可得答素， 答：当每辆车的月租金为4800元时， 举一反三 解：周为美于r的方程mx十(2m十1) 能租出92桶，此时租赁公司的月收益 解：(1)(y-2)(y-3)=12, r十m=0有两个不等的宾根m≠0且 是39.48万元： .y2-5y-6=0, △>0，即：(2m+1)一4m2=4m+1>0 (2)40.4万元=404000元 .(y-6)(y+1)=0, 且m≠0， 设上涨x个100元，由题意得 .y1■6或y=一1， (4000+100.x-500)(100-x)-100.x (2)2x2+3r-1=0. 解得m>-子且m≠0. =404000 2(x2+3 故选：D 整理得：x2一64x十540=0 x)=1, 答案：D 得：x1=54,x:=10 +6品)-1 2(x+3, “,规定每辆车月租金不能姬过7200元， ∴.取x=10,则4000十10×100=5000（元） 2u+-8-1 5.解析：工1，x是方程x2-4x-2021 答：每辆车的月租金定为5000元时， 0的两个实根， 租货公司的月收益可达到40.4万元 2u+=是 ∴.x1+x2=4,x-4z1-2023=0,即x 第7课时分式方程与根式方程 -4x1■2023， a+2r= 则原式■x一41+2r1+2x 典例讲解 161 =x-4r1十2(m1十x1) 知识一 r=二3±7 =2023+2×4 举一反三 =2023+8 解析：方程两边同乘(x十2)(x一2)，去 ÷x,=二8+厘我，=二3二厘 =2031. 分母得(.x-2)+4x-2(x+2)=(x+2) 4 4 答案：2031 (x-2). 78 参考答案☒ 签理得x-3x十2=0， 解方程，解得1=1，=2， 则原方程化为3y十1=？ 8.解：方程两边平方得2x十5十2√2x+5 y 2 +1=3x-2, 检验：将1=1，：=2分别代入(x十2) 即6y-7y+2=0, 整理得2√2r+十5=x-8, (x一2)选行检验，发现x=2是增根， 答案：D 两边再平方并整理得x一24r+44=0, ,原方程的解是r=1. 3.解析：将y=x2一x代入x2-x-1 解得x1=2,x1=22. 知识二 举一反三 中得y-1= r- 经检验，x1=2是原方程的增根，x= y 22是原方程的根. 解：移项得√厅+3=√3r一2-1. 整理得y一y一6=0，，B选项正确 所以原方程的解为x=22 两边平方得x+3=3r一2一2√3x-2 答案：B 9.解：设甲班每天植树x裸，那么乙旅每 +1, 4,解析：A选项，x十1=0，此时方程无 天可以植树(x十10)裸， 移项、合并同类项，得√3r一2=r一2， 解，故本选项错误：B选项， 由题意可得150=120 两边再平方，整理得x一7x十6=0， ”-2+号=0，-2= 1 +10+2. 解方程得x1=1,r4=6. 解得1=30，n=一25， 检验：把无1=1代入原方程，左边=1≠ “,”算术平方根是排负数， 经检验，西=30，=一25都是原方程的 解，但是x=一25不待合题意，故舍去 右边，所以x1■1为原方程的增根： ',此时方程无解，故本选项错误：C选 项，r十1=2，.x十1=4，r=3 当x=30时，十10=40. 把：=6代入原方程，左边=一1=右 将合题意，故本选项正确：D选项， 答：甲班每天桂树30裸，乙班每天植树 边，所以一6为原方程的根 40裸. 所以原方程的解为x=6. ”m-1+1-=2, 知识三 .x一1≥0且1-x≥0，解得x=1,经 第8课时一元二次函数的三 举一反三 检验，当x■1时，左边中右边，故本选 种表达方式 解：3r2+29+5-15 =3(r 3十 项错误，综上，故选C 典例讲解 答案：C 知识 18+5r-8)=20. 5.解析：x=√2.x+3,x2=2x+3,x2-2x 举一反三 一3=0，(x一3)(x十1)=0.解得x1= 解：由图象可知抛物线的顶点坐标为 3,x2=一1 (1,4), 方程变形得：3y2+5y-2=0 x≥0，，x=3,A选项错误： 设此二次函数的解析式为 解件=一2=子 -2x+1-4=0,x2-2x+1=16, y=a(x-1)十4 把点(3.0)代入解析式，得 x-2x-15=0, 4十4=0，即=一1 (x-5)(x十3)=0,1=5，x1=-3, 所以此函数的解析式为y=一(x一1)月 经枚验，，=5，x2=一3是方程的解， +4 解得-1±10友r=-3-1 故B选项错误： 6 故答案是y=一x十2x十3. x-1=7x,x-1=(7-x)2,x2 知识二 经检脸x=1士10四我=一3，x=1 15x+50=0,(x-5)(x-10)=0. 举一反三 6 解得=5，x=10,经检验，x1=5,x 解：二次函致的图象的顶点是（一1,2）， 是分式方程的根】 =10是原方程的解，故C选项错误： .设抛物线项点式解析式y=a(x+1) 知识四 举一反三 /2y+3=一y.y2-2y-3=0,(y-3) +2,将(1，一6)代入得，a(1+1)+2= 解：(1)授购买一副羽毛球抽需要x无 (y+1)=0,解得=3，%=一1， -6, 则购买一根跳绳雾要(x一20)元， -y≥0，∴y≤0，y=-1,D选项正 解得a=一2，所以，这个二次函数的解 确，综上，故选D 析式为y=一2(x十1)2十2. 依题意，得，20 ×80 知识三 2 1-20·解得： 答案：ID 举一反三 r=25, 6.解：设一1=1，则原方程可化为： 解：(1)固为批物线对称轴为直线x 经检脸，x=25是原方程的解，且符合 题意，.x一20=5. 2-31-18=0. 一一2，且图象与1轴的两个交点的距 答：期买一副羽毛球拍需要25元，购买 即（一6）(1+3)=0， 离为6， 解得1=6，=一3， ,点A,B到直线x=一2的距离为3， 一根琥绳需要5元. .A为（一5,0），B为(1.0)： (2)设入(1)班购买n斟羽毛球柏，则购 即1=6或1=-3 (2)设y=4(r+5)(x-1). 买(2m十10)根跳绳， ,点(3，一8)在抛物线上， 依题念，得：25m十5(2m十10一m)≤ 350,解得：m10. ÷-8=u(3+5)(3-1),4=- 2 答：入(1)班最多可购买10酬羽毛 经检验，r=一 上我=都是原方程 球拍。 4 =--2+ 当堂巩固 的解。 1.解析：方程两边都来以x(x十1)得2(x7.解：(1)分式方程去分母得：4(x一1)+3 答案：(1)(-5,0)，(1,0)：(2)y= 2 +1)-3x=2x(x+1), (x十1)=k, 由这个方程有增极，得到x=1或x=一1， 整理得22+3-2=0，解得1=7，] 2+ 将x■1代入整式方程得：k■6， 知识四 x=-2, 将x=一1代入整式方程得：k=一8， 举一反三 经检敢，=2，口=一2都是原方程 则k的值为6或一8. 解：(1)设y=a.十十c,把点A0,-3): (2)分式方程去分母得：4(x一1)+3(x B(2,一3)，C(-1,0)代入得 的解，C选项正确 +1)=,去括号合并得：7x一1=，即 0=-3 a=1 答案：C 4a+b+c=-3.解得{b=-2 2.解析 3+-1- x=生1，根据题意得：<0，且 7 a-b-3=0 c■-3 2 中1且中≠-1，解得：<-1 .y=x-2x-3: 7 设，气 (2)y=x2-2x-3=(r-1)-4 且k≠一8. ,。函数的顶点坐标为(1，一4)： 79