第一部分 第6课时 一元二次方程-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

第一部分 知识衔接篇☑ 第6课时 一元二次方程 ☐目标要求 所以x2+(十2)x十2=0，即(x一x1)(x一2) =0,故x=x1或x=x2, 1.掌握一元二次方程的解法，学会利用一元二次方 因此，x1,x2为方程a.x2十b.x十c=0(a≠0)的两 程根的判别式去判断根的小数： 个根. 2.简单地介绍了韦达定理： (推论：以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二 3.会利用判别式判别方程根的情况，会运用判别式 求方程中参数的值或取值范围，会证明与方程有 次项系数为1)是x2+(x1十x2)x十x1·x2=0). 关的代数或几何问题： 4.一元二次方程根与系数的关系 4.掌握韦达定理相关内容，会运用韦达定理求代数 如果a.x2+bx十c=0(a≠0)的两个根是x1,x2, 式数值，以及求方程中的参数值： 则x1十2= b ax·2=S 5.会根据所给根，运用韦达逆定理反推出一元二次 方程.熟练解决“根的判别式”与“韦达定理”相结 ①.xf十x=(x1十x2)2-2.x1x2, 合的综合题. ②1+1=2十 T1 T2 T1T2 ☐知识储备 1.一元二次方程根的判别式的应用 a 2.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） ☐典例讲解 定理：如果一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0) 知识一 一元二次方程的解法 的两个根分别为工1，x2,那么工十2=一 b a 【例1】解方程： 4·2=S (1)x(x-3)=x-3: d (2)2x2-4x-1=0. 证明：因为一元二次方程ax2十b.x十c=0(a≠0) 的两个根为 【思路分析】(1)先移项，再利用因式分解法求 1=-中Gac,-b=-4ag 解可得： 2a 2a (2)利用配方法求解即可. 所以1十2=一6hF-4ac+-方--4 【解】(1).x(.x-3)=x-3,x(x-3)-(x-3) 2a 2a =0, (x-3)(x-1)=0,则x-3=0或x-1=0, 2a a 解得x1=3,x2=1: 1x2=-6十-ac,-b一B-如c 2a 2a (2)2.x2-4x-1=0x2-2x= 2 (-b)2-(W-4ac)2=4ag=S (2a)3 Aa2 a' 子-2x+1=号+1，即x-102= 2· 【规律方法】一元二次方程根与系数的关系 由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把 则上一1=士解得=1- 22=1+y6 此定律称为“韦达定理”.上述定理成立的前是△ 【归纳总结】本题考查了解一元二次方程 ≥0. 因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把 3.韦达定理的逆定理：若两个实数2，满足十2 左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形 =名，则必为方程a2+6 =、b 式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就 能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方 十c=0(a≠0)的两个根。 程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元 证明：因为由ar2+bx十c=0得r2+么x+ d 一次方程的间题了（数学转化思想），也考查了配 =0, 方法解一元二次方程. 13 )数学 初高中教材衔接 【举一反三】 【举一反三】 解下列方程： 已知关于x的方程x2+2(m一2)x+m2+4=0 (1)(y-2)(y-3)=12: 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两 (2)2.x2十3.x-1=0(请用配方法解). 个根的积大21，求m的值. 知识二一元二次方程根的判别式的应用 【例2】若x1和x2分别是一元二次方程2x2十5.x 一3=0的两根. 知识三一元二次方程根与系数的关系 【例3】已知关于x的方程x2+2.x+a+2=0. 求一的值：（②）求十号的值：(3)求 (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a x十x是的值 的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程 【思路分析】分别变形为可以利用x1十x2和 的另一根. x1x2来表示的形式 【思路分析】(1)关于x的方程x2+2x+a+2 【解】：x和x2分别是一元二次方程2x2十 =0有两个不相等的实数根，即判别式△=2 5.x一3=0的两根， 4ac>0.即可得到关于a的不等式，从而求得a 西十=- 3 21x4=-2 的范围： (2)设方程的另一根为x1,根据根与系数的关系 (1)x1-x22=x7+x号-2x1x2=(x1十x2)2 列出方程组，求出4的值和方程的另一根. -4=(--4X(-)-草+6=9 4 【解】(1)，b2-4ac=(2)2-4×1×(a+2)= 六lx2=7； -4-4a>0, 解得：a<-1. e+清-at a的取值范国是a<一1： (x1x2)2 (2)设方程的另一根为x1,由根与系数的关系 -昌-2x(-+8 1+x1=-2 37 得：1·西1=a+2 (-32 9 9 2 a=-5 (3).x十x3=(x1十x2)(.x-x1x2+x)=(x1+ 解得：x1=一3 则a的值是一5，该方程的另一根为一3. x2)[(x1+x2)2-3x1x2] 【归纳总结】本题考查了一元二次方程根的判 =(-号)×[(-22-3x(-多]=-2 8 别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关 【归纳总结】利用根与系数的关系求值，要熟练 系：(1)△>0时，方程有两个不相等的实数根： (2)4=0时，方程有两个相等的实数根：(3)△<0 掌握以下等式变形 时，方程没有实数根 +号=(x1十)2-2x1+xx 1+1=x1十2 也考查了一元二次方程的根与系数的关系：x1, (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2x1-x2l x2是一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两 /(x1十x2)2-4.x1x2 报时1十x2=- 14 第一部分 知识衔接篇☒ 【举一反三】 【归纳总结】本题考查了一元二次方程的应用 关于x的一元二次方程，x2+3.x十m一1=0的两 以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关 个实数根分别为x1,x2: 系，正确列出一元二次方程：(2)牢记“当△<0 (1)求m的取值范围： 时，方程无实数根” (2)若2(x1十x2)+x1x2+10=0,求m的值. ■当堂巩固 1.用配方法解方程x2一6.x一5=0时，配方结果正 确的是 ( A.(x-3)2=4 B.(x-6)2=41 C.(x+3)2=14 D.(x-3)2=14 2.如果a、b都是质数，且a2-13a十m=0,b2-13b 知识四一元二次方程的应用 【例4】某商店将进价为10元的某种商品以14元 十m=0,那么名+台的值为 ( 售出.平均每天能售出220件.调查发现，这种商 品的售价每上涨1元，其销售量就将减少20件. A罗 B罗或2 罗 n器我2 该商店计划通过提高商品售价减少销售量的办 3.关于x的方程m.x2+(2m+1)x十m=0有两个 法增加利润. 不等的实根，则m的取值范围是 ( (1)若物价部门规定此种商品的每件利润不能超 .1 过进价的80%，且商店想要获得平均每天1080 A.m>- 元的利润，则这种商品的售价应定为多少？ D.m>- (2)该商店平均每天盈利能否为1200元？ C.m≥-1 4 且m≠0 【思路分析】(1)设这种商品的售价应定为x元， 4.x1和x2为一元二次方程2.x2一2x+3m一1=0 则每件的销售利润为(x一10)元，日销售量为(500 的两个实根，并且x和2满足不等式 一20x)件，根据日销售总利润=每件的销售利润× T1T2 日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之 十2一41，则实数m的值范围是 即可得出的x值，再结合此种商品的每件利润不能 5.若x1.x2是方程x2一4x-2023=0的两个实数 超过进价的80%，即可确定的x值： 根，则代数式x子一2.x1+2.x2的值是 (2)设这种商品的售价应定为y元，则每件的销 6.已知方程x2一4x十1=0的两根为x1和x2,则 售利润为(y-10)元，日销售量为(500一20y) x7+x= 件，根据日销售总利润一每件的销售利润×日销 7.已知关于x的一元二次方程2.x2+a.x-2a+1= 售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的 判别式△=一15<0可得出该方程无实数根，进 0的两个实根的平方和为学求a的值 而可得出该商店平均每天盈利不能为1200元. 【解】(1)设这种商品的售价应定为x元，则每 件的销售利润为(.x一10)元，日销售量为220一 20(x-14)=(500-20.x)件， 依题意得：(x-10)(500-20.x)=1080, 整理得：x2一35x+304=0, 解得：x1=16,x2=19. ,10×(1+80%)=18(元)，16<18<19. x=16. 答：这种商品的售价应定为16元 (2)设这种商品的售价应定为y元，则每件的销 售利润为(y一10)元，日销售量为220一20(y 14)=(500-20y)件， 依题意得：(y一10)(500-20y)=1200, 整理得：y2一35y十310=0. △=(-35)2-4×1×310=-15<0， 该方程无实数根， ,.该商店平均每天盈利不能为1200元. 15 )数学初高中教材衔接 8.已知关于x的一元二次方程k.π2一(k+8)x+8 9.某租赁公司拥有汽车100辆.据统计，每辆车的 =0. 月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月 (1)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根： 租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租 (2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好 出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车 是这个方程的两个根，求此时的值 辆每月只需维护费100元. (1)当每辆车的月租金为4800元时，能租出多 少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入 扣除维护费)是多少万元？ (2)规定每辆车月租金不能超过7200元，当每 辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益 (租金收入扣除维护费)可达到40.4万元？ 第7课时 分式方程与根式方程 ☐目标要求 高公分母，将分式方程转化为整式方程：③解整 式方程：④验根 1.了解分式方程的概念，学习了用去分母法和换元 3.换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知 法解可化为一元一次方程且分式不超过两个的 数，并将原方程化为只含辅助求知数的新方程： 分式方程： ②解关于辅助未知数的新方程：③通过所求得的 2.了解根式方程的概念，会运用两边平方法解含有 辅助未知数的值求出原方程的解：④验根， 一个根式的根式方程； 4.验根的方法：①将求得的解代入最小公倍式，使 3.熟悉求解可化为一元一次方程且分式超过两个的 公倍式为零的为原方程的增根：②将求得的解代 分式方程，以及可化为一元二次方程的分式方程： 入原方程分母，使分母为零的解为增根：③将求 会运用去分母法和换元法解分式方程并验根： 得的解代入原方程，看左、右是否相等，使方程 4.懂得如何运用平方法解含有两个根式的根式方 左、右相等的解为原方程的解。 程：会运用换元法解一些特殊的根式方程， 根式方程 1.定义：最简方程的根号内含有未知数的方程叫作 口知识储备 根式方程. 分式方程 2.两边平方法解根式方程的一般步骤：①移项，使方 1.定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 程中含有未知数的根式比较均衡地分布在等号两 2.去分母法解分式方程的一般步骤：①把各分式的 边：②方程两边同时平方，化简，得到有理方程： 分母因式分解（答题中已分解好了，这一步可以 ③解有理方程；①验根. 省去)，找出最简公分母：②方程两边同时乘以最 3.验根：将求得的解代人原方程，看左、右是否相 等，使方程左，右相等的解为原方程的解 16)数学 初高中教材衔接 3x≥5时.+3+青x-5=12. 知识二 6.解析：方程x2一4x十1=0的两根为x 举一反三 和x2,则十无=4，无=1， .x+3+0.8x-4=12, 解：设是方程的两根，由书达定 则x十x=(x十x)2一2.1x,=16-2 解得r= 理，得 =14.故答案为：1. 9 x1十x=-2(m-2),·x2=m+4. 答案：14 答案：一或智 x+-·:=21, 7.解：设1·x:为方程2x2+ax-2a十1 .(1+x)-31·x4-21, =0的两根，则有：△=a一8(-2a十1) 6.解析：x<2x一1台一(2x一1)<x< 即[-2(m-2)]户-3(m2+4)=21, ≥0 x>1 >号>1.所以不等式 化简，得m2一16m一17=0，解得m= 2x-1 1,或州=17，当n=一1时，方程为x 即a+16a-8≥0①+=-号 一6x十5=0,4>0，满是题意： |x<2x一1的解集为{xx>1}. 当m=17时，方程为x十30x十293 ②d=1,20@ 2 答案：{xx>1} =0 将②和③代入+=(1+x) 7.解：(1)（平方法）等式两边平方得(2 △=30一4×1×293<0，不合题意，会 -1)2=(x+3) 去.笨上，m=一1. =1+2a=29 2m=4 整理得3.x2-10.x-8=0 知识三 解得a■3或a=一11 解释=4=一号 举一反三 但a=一11不满是①式。 【分析】(1)由一元二次方程有两个实 故答案：a■3 经脸验，这两个数都是原方程的根. 数根结合根的判别式，即可得出关于m8.解：(1)4=(k+8)2-32k (2)解：（平方法）原等式化为x+1 的一无一次不等式，解之即可得出m =k2+16k+64-32k =|2x-1 的取值范围： =k一16k+64 两边平方得(x+1)=(2x一1) (2)根据根与系数的关系可得出x,十 =(k8)≥0. 整理得3x一6x=0 =一31=m-1,结合2(x十x2) ,无论k取任何实数，方程总有实数根。 解得x1=0,x=2 十十10=0可狮出关于m的一元 (2)当三角形的腰长为4时，设底边为， 8.解：（分类讨论法）：由x十1=0得，x= 一次方程，解之即可得出m的值. .x=4是k.x一(k十8)x十8=0的 一1，由x一3=0得x=3, 解：(1)方程x2+3x十m一1=0的两 一根， ①若x<一1，则x十1<0，x一3<0，原 个实数根， .16k-4(k+8)+8=0. 不等式化为一(x+1)十(x一3)≤2，解 ∴.4=32-4(m-1)=13-4m≥0， .16k-4k-32十8=0， 得一≤2，成立.取r<一1： 解得：n<孕 .k=2, ②若一1≤x<3.则x十1≥0，x一3<0， 原不等式化为(x十1)十(x一3)2，解 (2),方程x十3r+m-1=0的两个 “由根与系数的关系可知：如=管， 得r2, 实数根分别为、x:, .a=1, :一1≤x<3.取一1≤r2 ∴.x1+x2=一3，x1x:=m-1. 此时1十4>4，能够组成三角形，满是题 ③若x≥3，则x十1>0，x-3≥0，原不等 2(x1十x)+x1x4+10=0,脚-6+ 意，，当底边为4时，设腰长为4， 式化为(x十1)一(r一3)2，解得42，不 (m一1)+10=0， .kx3一(k+8)x十8=0有两个相同 成立，.靠上所述，原不等式解为x2. .n=-3. 9.解：当7十1<0，即r<-7时，不等式当堂巩固 的根， .△=(k+8)-32k=0, 显然成立： 1.解析：，x2一6r一5=0， k=8, 当x≥一7时， .x-6.x=5, ,孩方程的解为：x=1. 有2士57+ 一(2x+5)≥7+x. 别x2-6x十9=5+9，即(x-3)=14 .1十1<4，不能组成三角形， 12r+5≥0 12x+5<0, 答案：D 解得r≥2或一7≤≤一4. 2.解析：可将两个等式相减，得到《，b的关 综上所述，k■2. 综上所迷， 系，由于两个等式结构相同，可视a,b为 9.解：1)100-48004000-92（辆）. 100 原不等式的解为x≤-4成1≥2 方程x一13x十m=0的两实根，这样就为 (4800-500)×92-100×(100-92) 第6课时 一元二次方程 根与系数关系的应用创造了条件 答案：B 394800(元)， 典例讲解 3.解析：根据题意得m≠0且△>0，解不 394800元=39.48万元. 知识一 等式即可得答素， 答：当每辆车的月租金为4800元时， 举一反三 解：周为美于r的方程mx十(2m十1) 能租出92桶，此时租赁公司的月收益 解：(1)(y-2)(y-3)=12, r十m=0有两个不等的宾根m≠0且 是39.48万元： .y2-5y-6=0, △>0，即：(2m+1)一4m2=4m+1>0 (2)40.4万元=404000元 .(y-6)(y+1)=0, 且m≠0， 设上涨x个100元，由题意得 .y1■6或y=一1， (4000+100.x-500)(100-x)-100.x (2)2x2+3r-1=0. 解得m>-子且m≠0. =404000 2(x2+3 故选：D 整理得：x2一64x十540=0 x)=1, 答案：D 得：x1=54,x:=10 +6品)-1 2(x+3, “,规定每辆车月租金不能姬过7200元， ∴.取x=10,则4000十10×100=5000（元） 2u+-8-1 5.解析：工1，x是方程x2-4x-2021 答：每辆车的月租金定为5000元时， 0的两个实根， 租货公司的月收益可达到40.4万元 2u+=是 ∴.x1+x2=4,x-4z1-2023=0,即x 第7课时分式方程与根式方程 -4x1■2023， a+2r= 则原式■x一41+2r1+2x 典例讲解 161 =x-4r1十2(m1十x1) 知识一 r=二3±7 =2023+2×4 举一反三 =2023+8 解析：方程两边同乘(x十2)(x一2)，去 ÷x,=二8+厘我，=二3二厘 =2031. 分母得(.x-2)+4x-2(x+2)=(x+2) 4 4 答案：2031 (x-2). 78