第一部分 第5课时 绝对值-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

第一部分知识衔接篇☒ 知识四根式的综合应用 3.若n<m<0,则√m2+2mn+n2 【例4】计算：(1)(a+6+1)(1-√a+6)-(√a √m2-2mn十n2等于 ( +62:(2)a A.2m B.2n C.-2mD.-2n a-√aba+√ab 4.若实数m,n满足条件m2一2m一3=0，n2一2m 【解】(1)原式=(1+b)2-(a)2一(a十 3=0,则”+”的值是 2ab+b)=-2a-2√ab+2i+1: (2)原式= a a 吊*a+ 5.当a=2023时，代数式(a,-1 a (la-b)a(a+B)Ja- 的值是 a+6 +2+2:2),-1+26 6.计算(1)2+xx+4 2aib a-ba2- =a+b)+(a-D_2a 6 (a+√b)(a-b)a-b a 【举一反三】 已知a=7-5,b=√7+5，求值： 2+号：2a+a. (工)3 (2)2士 -1 7.化简(1)义 x一y+1 x十y 口当堂巩固 8设：法滑滑求+少的值 1.已知a+1=3,则a2+的值为 a A.5 B.6 C.7 D.8 a2-a 2若a满足a=1.则分式，二2a1产（。吕 4-12) 的值为 () A.-1 C.0 第5课时 绝对值 ■目标要求 ☐知识储备 1.理解实数绝对值的含义与几何意义： (一)绝对值的代数意义：正数的绝对值是他的 2.会利用绝对值的几何意义求解绝对值不等式，掌 本身，负数的绝对值是他的相反数，a的绝对值仍 握三角不等式，会解含两个绝对值不等式，会解 aa>0, 含参数的绝对值不等式 是a=0,a=0, -a,a0. 9 )数学初高中教材衔接 (二)绝对值式子恒大于等于0，绝对值方程引x (2)x+1=|2x-3台(x+1)2=(2.x-3)2, =a(a>0)的解为x=士a,当a≠0时，解是互为相 整理得3.z2-14x十8=0， 反数的两个值，当a=0时，方程有唯一解x=0. 绝对值中含有变量的不等式叫做绝对值不 解此一元二次方程得=4，x2=3, 等式. 两个绝对值不等式：(1)x<a(a>0)台x2< 【归纳总结】绝对值方程解法 a2-a<r<a; (1)|x=a(a>0)台x=a或x=-a: (2)lx1>a(a>0)台.x2>a2台.x>a或x< (2)lfx)=a(a>0)台f(x)=a或f(x)=-a: a. (3)|f(.x)=|g(x)台[f(x)]2=[g(.x)]2. (三)1.三角不等式 这里(x),g(x)表示含x的代数式. Ilal-lbl≤a±bl≤lal+lbl 【举一反三】 2.绝对值不等式的解法 (1)|a.x+b|<c(c>0)台-c≤a.x+b< 解关于x的方程2x-2-3=a c台 ax+b>-c, lax+b<c. (2)a.x+b>c(c>0)台a.x+b<-c或ax+ b>c. (3)x-a+|x一b<c(c>0)的解法，先求出 使每个绝对值符号内的数学式子等于零的未知的 值，再将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数 轴分为若干个区间，最后讨论每个绝对值符号内的 知识二简单的绝对值不等式 式子在每个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之 【例2】解不等式：(1)x<2:(2)x≥3： 转化为不含绝对值的不等式去求解，这种方法称为 (3)1x-1>3. 零点分段法. 【解】(1)|x|<2,就是数轴上表示x的点到 (4)川f(x)|<g(x)(g(x)>0)=-g(x)< 原，点距离小于2， f(x)<g(x): x<2- |f(x)|>g(x)(g(x)>0)台f(x)<-g(x)或 -2 0 f(x)>g(x): ∴.原不等式的解-2<r<2; |f(x)l>g(x)l台[f.x)]2>[g(.x)] (2)x≥3，就是数抽上表示x的点到原点距 (5)去绝对值符号的主要方法 离大于或等于3， ①公式法：x|<a(a>0)台-a<x<a,lx> ≥3 a(a>0)台.x>a或x<-a. ≥3 ②定义法：零点分段法： 0 ③平方法：不等式两边都是非负时，两边同时 .原不等式的解x≤-3，或x≥3： 平方. (3)解：x-1>3台x1<-3或x-1>3, ■典例讲解 ∴.原不等式的解x<-2或x>4 【归纳总结】绝对值不等式解法 知识一含绝对值的方法的求解 (1)lx<a(a>0)H-a<x<a:x|>a(a>0) 【例1】解方程：(1)x-2=3: 台x<一a或x>a (2)x+1|=|2x-31. (2)lf(.x)|<a(a>0)台-a<f(x)<a. 【解】法一：（分类讨论）： f(x)|>a(a>0)台f(x)<-a或f(x)>a. (1)|x-2|=3白.x-2=3或x-2=-3. 【举一反三】 .x1=5,x2=-1; 解不等式：3<2x-3<5. (2)|x+1|=|2.x-3|台x+1=2x-3或x十1 =-(2x-3)d=4-号 法二：（平方法）： (1)x-21=3曰(x-2)2=32, 整理得x2-4x一5=0， 解此一元二次方程得x1=5,x2=一1： 10 第一部分知识衔接篇 知识三含有两个绝对值式子的绝对值不等式 当x≥3时，原方程可化为：x一3-3(x十2)=x 【例3】(1)阅读下列解方程的过程，并完成①、 一9，解得x=0(不符合题意，舍)： ②、③小题的解答. 综上所述，方程引x一3一3x十2|=x一9的解为 解方程：x一1=2 当x一1<0，即x<1时，原方程可化为：一(x x=-18浅x-g 1)=2,解得x=一1：当x一1≥0，即x≥1时，原 (2)解不等式：x-1+x-3>4. 方程可化为：x一1=2，解得x=3: 【解】法-：由x一1=0，得x=1:由x一3=0， 综上所述，方程x一1=2的解为x=一1或x=3. 得x=3: ①解方程：2x+3|=8: ①若x<1,不等式可变为一(x-1)一(x一3)> ②解方程：12x十3一1.x一1=1： 4,即-2x十4>4，解得x<0,又x<1,x<0: ③解方程：x-3-3x十2一x一9. ②若1≤x<3,不等式可变为(x一1)-(x一3)>4， 【思路分析】①根据绝对值的性质，可化筒方 即1>4，.不存在满足条件的x; 程，根据解一元一次方程，可得答案： ③若x≥3，不等式可变为(x-1)十(x一3)>4， ②根据一号与1之间分三种情况进行特论，从而 即2x-4>4,解得x>4.又x≥3，∴.x>4 综上所述，原不等式的解为x<0,或x>4. 可化简方程，根据解一元一次方程，可得答案， 法二：如图引x一1表示x轴上坐标为x的点P ③根据一2与3之间分三种情况进行讨论，从而 到坐标为1的点A之间的距离PA, 可化简方程，根据解一元一次方程，可得答案， x-3引 【解】①2.x+3=8. P C A 当2r+3<0,即<-2时， 01 34 原方程可化为：2x十3=-8，解得工=- k-11 2 即|PA=x一1：x-3表示x轴上点P到坐标 当2x+3≥0，即≥-是时，原方程可化为：2 为2的，点B之间的距离PB引，即PB=|x一3引. 所以，不等式|x一1|十x一3|>4的几何意义即 +3=8,解得r= 2 为PA+PB>4. 由AB|=2,可知点P在点C(坐标为0)的左 综上所述，方程2x十3引=8的解为x=- 2 侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧 故x<0,或x>4. 【归纳总结】(1)零点分段法：解不等式x一士 ②12.x+3-|.x-1=1. |x一b>c(a<b),x一a的正负以x=a为界，x一b 当x<-号时，原方程可化为：-2红一3-1-) 的正负以x=b为界，而a,b将数轴分成三个区间： =1,解得x=-5: (-o∞，a),[a,b),[b,十o∞)，以上述三个区间为分类 当-2<<1时，原方程可化为：2x十3-1- 标准，分三类情况去讨论绝对值符号： (2)在分类讨论解决含两个绝对值的不等式时， =1,解得=一 应做到分类不重，不漏：在某个区间上解出不等 式后，不要忘了与前提条件求交集： 当x≥1时，原方程可化为：x十4=1， (3)要学会应用绝对值的几何意义解不等式， 解得x=一3，（不符合题意，舍）： 【举一反三】 综上所述，方程2x+3一|x一1=1的解为x (1)解方程：x一21+|x十1=5： =-5浅=-日 (2)解不等式：2x十2-|x-2>2. ③1x-3-3|.x+2|=x-9. 当x<一2时，原方程可化为：3一x一3(-x-2) =x-9,解得x=一18： 当一2≤x<3时，原方程可化为：3一x一3(x十2) =工一9，解得r=5 6 11 )数学初高中教材衔接 知识四解形如|f(.x)|<(或>)g(.x)的绝对值不 4.已知实数a、b、c满足a+b+c=0,abc<0,x= 等式 +去+甘则的值为 ( 【例4】解不等式：|2.x一1<x+3. 【思路分析】本题首先需要对x十3进行分类讨 A.1 B.-1 论，再运用lf(x)|<g(x)(g(x)>0)台-g(x) C.3202 D.-3202 <f(x)<g(x)求解即可. 5.若1x+3+号x-5=12,则x= 【解】当x十3≤0，即x≤一3时，原不等式显然 6.不等式x<2x-1的解集为 无解： 7.解下列方程或不等式： 当x>一3时，原不等式等价于一x一3<2x (1)2.x-1=x+3: 1K+3,解得-号<<4 (2)x+11-2.x-1=0. 故原不等式的解为一号<<4 【归纳总结】一毅地，对于f(x)<g(x)或 |f(x)>g(x)的解法为lf(x)|<g(x)(g(.x)> 0)台-g(x)<f(x)<g(x):|f(x)|>g(x) (g(x)≥0)-f（x)<-g(x)或fx)>gx). 【举一反三】 解不等式：x+1>2-x. 8.解不等式：x+1-|x一3≤2. 口当堂巩固 1.若|m-2|十n-7=0,则1m十n=( A.2 B.7 9.解不等式：2.x+5≥7+x C.8 D.9 2.若关于x的方程m.x十2=2(m一x)的解满足方 程x-号=1，则m的值是 A.10 B号 C10或号 D.-10或-号 3.若有理数x满足方程1一x=1+|x,则化简 x-1的结果是 C12)参考答案☒ 当堂巩固 x<-1 1,解析：a十1=3， 第5课时绝对值 或 -x-1>2-x a 典例讲解 (a+1)=9,即a2+2+ 知识一 x≥-1， =9, a 举一反三 由①得 则a+=7, 【分析】直接利用绝对值的性质化简 得出答案， 答案：C 解：1号r一2引-3=a 由②得 x<-1无解 2.解析：原式=a(a1÷日一2(a-1D 1-1>2, (a-1) a-1 a 一2=3+a… 所以原不等式的解为>司 当a≥-3时， 当堂巩固 a+2 则r2=3+a或-2=-3-a… 1.解析：由题意得，m一2=0，n一7=0， 由a2=1,得到a=1或a=一1， 解得：x=10+2a或x=-2-2a. 解得m=2,n=7, 当4=1时，原式没有意义，舍去： 当a<-3时，此方程无解 所以，|m十=2十7=9， 当a=一1时，原式=-1 知识二 举一反 答案D 答案：B 【分析】由于原不等式等价于12x一3> 3.解析：√m+2mn十m 3且2x一3引<5，因此可先分别解出两个 2解析：由1x一之-1 绝对值不等式的解集，然后求其交集。 一√分一2mn十n 解：原不等式等价于 =(m+n)-√(m-万 2r-35 (1) =n十程一m一n. 112x-3>3 (2) ①当x=时，受m+2=2(m- ”<m<0,.m+n<0,m-n>0. 由(1)得一5<2x-3<5,解得-1r4 原式=一(m十)一(m一n)=一m- 由(2)得2.x-3>3我2x-3<-3,解 解得m=10, 月一m十程=一2， 得x>3或r<0 ②当1=一时，-m十2=2(m十 1 1 答案：C ,原不等式的解集为{x一1<x<0或 4,解析：当m≠n时， 3<x<4. .m.m是方程，x2一2x一3=0的两根 知识三 .m十程=2，mn=一3， 举一反三 原式=m+n=m+n)-2m 解：(1)x<一1时.x十1<0，x一2<0. 故m的值为10或号， 原方程化为一(x一2)一(x十1)=5， -4+6-10 解得x=一2， 答案：C 一3 3 -1<x<2时，x十1>0，x-2<0, 3.解析：①当r≤0时，1一x=1一x,1 当m=n时，原式=1十1=2 原方程化为一(x一2)+(x十1)=5： x=1一x,满足题意： 答案：2或号 方程无解， x>2时x十1>0x-2>0, ②当0<x<1时，11-x|-1-x,1+ 5解：()小 4-1 原方程化为(x一2)+十(x十1)=5， x=1十r,不满足题意 (a+1) 解得x=3, ③当x≥1时，|1-x=x-1,1+x =a-1.(+1)2 所以，原方程的解是x=一2或x=3. =1十x,不满足题意. a+1 a-1 (2)解：2x+2|-x-2>2等价于 =a十1， x-I 综上可得：x≤0，放x-1=1一x 当4=2023时，原式=2023十1=2024， 1-2r2-(2-r)>2我 答案：1一x 答案：2024 1-1x<2 4.解析：已知a,b,c是有理数，a十b十r 6,解1)原式==+2g一2四 2x+2-(2-r>2浅 22 0,aix<0, x+2 x+2 =x-2 2.x+2-(x-2)>2 b+c=-a:a+c=-b:a+b=-c; a-b (2)原式=a+0(a-可 解得K-6我号<<2线≥2 a,b,c两正一负， a+b 2b 知识四 (a+a-D+a+ba-b· 举一反三 告++一 2(a-b) 2 解：法一：原不等式等价于 b (a+b)(a-b)a+b 2-x≥0. -1-1-1=-, 7解：(1)原式=()y÷ r1>2r我r+1<r-20 ∴x2=(-1)9=-1 y y 或2<0. x∈R. 答案：B r2, r2, 5.解析：(1)x一3时， 由①( (2)原式 (小+ >1-2. r> :1r+31+号x-5=12 所以<r≤2： .--3+4-0.8r=12, x-(x十y) 由②得x>2. 解得=一要 8解：r=2+5-2+5 游上所连，原不等式的解为> (2)-3<r<5时， =7+4√5， 2-3 2-3 法二周为1x+1=+1≥1， 一r1,r<-1 y=7-13→r+y=14xy=1 :1x+31+号--12. 所以原不等式等价于 原式=(x+y)(x-xy+y2)=(x+y) x≥-1， .x+3+4-0.8x=12. [(x+y)-3ry]=14(14-3)=2702 x十1>2-x ① 解得x=25,(会) C77) )数学 初高中教材衔接 3x≥5时.+3+青x-5=12. 知识二 6.解析：方程x2一4x十1=0的两根为x 举一反三 和x2,则十无=4，无=1， .x+3+0.8x-4=12, 解：设是方程的两根，由书达定 则x十x=(x十x)2一2.1x,=16-2 解得r= 理，得 =14.故答案为：1. 9 x1十x=-2(m-2),·x2=m+4. 答案：14 答案：一或智 x+-·:=21, 7.解：设1·x:为方程2x2+ax-2a十1 .(1+x)-31·x4-21, =0的两根，则有：△=a一8(-2a十1) 6.解析：x<2x一1台一(2x一1)<x< 即[-2(m-2)]户-3(m2+4)=21, ≥0 x>1 >号>1.所以不等式 化简，得m2一16m一17=0，解得m= 2x-1 1,或州=17，当n=一1时，方程为x 即a+16a-8≥0①+=-号 一6x十5=0,4>0，满是题意： |x<2x一1的解集为{xx>1}. 当m=17时，方程为x十30x十293 ②d=1,20@ 2 答案：{xx>1} =0 将②和③代入+=(1+x) 7.解：(1)（平方法）等式两边平方得(2 △=30一4×1×293<0，不合题意，会 -1)2=(x+3) 去.笨上，m=一1. =1+2a=29 2m=4 整理得3.x2-10.x-8=0 知识三 解得a■3或a=一11 解释=4=一号 举一反三 但a=一11不满是①式。 【分析】(1)由一元二次方程有两个实 故答案：a■3 经脸验，这两个数都是原方程的根. 数根结合根的判别式，即可得出关于m8.解：(1)4=(k+8)2-32k (2)解：（平方法）原等式化为x+1 的一无一次不等式，解之即可得出m =k2+16k+64-32k =|2x-1 的取值范围： =k一16k+64 两边平方得(x+1)=(2x一1) (2)根据根与系数的关系可得出x,十 =(k8)≥0. 整理得3x一6x=0 =一31=m-1,结合2(x十x2) ,无论k取任何实数，方程总有实数根。 解得x1=0,x=2 十十10=0可狮出关于m的一元 (2)当三角形的腰长为4时，设底边为， 8.解：（分类讨论法）：由x十1=0得，x= 一次方程，解之即可得出m的值. .x=4是k.x一(k十8)x十8=0的 一1，由x一3=0得x=3, 解：(1)方程x2+3x十m一1=0的两 一根， ①若x<一1，则x十1<0，x一3<0，原 个实数根， .16k-4(k+8)+8=0. 不等式化为一(x+1)十(x一3)≤2，解 ∴.4=32-4(m-1)=13-4m≥0， .16k-4k-32十8=0， 得一≤2，成立.取r<一1： 解得：n<孕 .k=2, ②若一1≤x<3.则x十1≥0，x一3<0， 原不等式化为(x十1)十(x一3)2，解 (2),方程x十3r+m-1=0的两个 “由根与系数的关系可知：如=管， 得r2, 实数根分别为、x:, .a=1, :一1≤x<3.取一1≤r2 ∴.x1+x2=一3，x1x:=m-1. 此时1十4>4，能够组成三角形，满是题 ③若x≥3，则x十1>0，x-3≥0，原不等 2(x1十x)+x1x4+10=0,脚-6+ 意，，当底边为4时，设腰长为4， 式化为(x十1)一(r一3)2，解得42，不 (m一1)+10=0， .kx3一(k+8)x十8=0有两个相同 成立，.靠上所述，原不等式解为x2. .n=-3. 9.解：当7十1<0，即r<-7时，不等式当堂巩固 的根， .△=(k+8)-32k=0, 显然成立： 1.解析：，x2一6r一5=0， k=8, 当x≥一7时， .x-6.x=5, ,孩方程的解为：x=1. 有2士57+ 一(2x+5)≥7+x. 别x2-6x十9=5+9，即(x-3)=14 .1十1<4，不能组成三角形， 12r+5≥0 12x+5<0, 答案：D 解得r≥2或一7≤≤一4. 2.解析：可将两个等式相减，得到《，b的关 综上所述，k■2. 综上所迷， 系，由于两个等式结构相同，可视a,b为 9.解：1)100-48004000-92（辆）. 100 原不等式的解为x≤-4成1≥2 方程x一13x十m=0的两实根，这样就为 (4800-500)×92-100×(100-92) 第6课时 一元二次方程 根与系数关系的应用创造了条件 答案：B 394800(元)， 典例讲解 3.解析：根据题意得m≠0且△>0，解不 394800元=39.48万元. 知识一 等式即可得答素， 答：当每辆车的月租金为4800元时， 举一反三 解：周为美于r的方程mx十(2m十1) 能租出92桶，此时租赁公司的月收益 解：(1)(y-2)(y-3)=12, r十m=0有两个不等的宾根m≠0且 是39.48万元： .y2-5y-6=0, △>0，即：(2m+1)一4m2=4m+1>0 (2)40.4万元=404000元 .(y-6)(y+1)=0, 且m≠0， 设上涨x个100元，由题意得 .y1■6或y=一1， (4000+100.x-500)(100-x)-100.x (2)2x2+3r-1=0. 解得m>-子且m≠0. =404000 2(x2+3 故选：D 整理得：x2一64x十540=0 x)=1, 答案：D 得：x1=54,x:=10 +6品)-1 2(x+3, “,规定每辆车月租金不能姬过7200元， ∴.取x=10,则4000十10×100=5000（元） 2u+-8-1 5.解析：工1，x是方程x2-4x-2021 答：每辆车的月租金定为5000元时， 0的两个实根， 租货公司的月收益可达到40.4万元 2u+=是 ∴.x1+x2=4,x-4z1-2023=0,即x 第7课时分式方程与根式方程 -4x1■2023， a+2r= 则原式■x一41+2r1+2x 典例讲解 161 =x-4r1十2(m1十x1) 知识一 r=二3±7 =2023+2×4 举一反三 =2023+8 解析：方程两边同乘(x十2)(x一2)，去 ÷x,=二8+厘我，=二3二厘 =2031. 分母得(.x-2)+4x-2(x+2)=(x+2) 4 4 答案：2031 (x-2). 78