第一部分 第4课时 分式与根式-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

第一部分知识衔接篇 3.下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是 8.在实数范围内分解因式： ( (1)-a2-3a+1: A.x2+y2+2.x+2y B.x2+y2+2xy-2 (2)2x2y2-3xy-4. C.x2-y2+4.x+4y D.x2-y2+4y-4 4.因式分解：x2-6x十8 5.分解因式：(.x+5)(x-5)+7(x+1)= 6.在实数范围内因式分解：3x2一4xy一3y2= 7.因式分解 (1)(a-b)2+4ab: (2)x2-2x-8: (3)x4-6.x3+9.x2-16: (4)(x2+3.x十5)(x2+3.x+1)+3. 第4课时 分式与根式 ■目标要求 8.繁分式化简有两种方法 (1)用主分数线上面的“分子部分”除以下面的 1.熟悉分式与根式的概念及运算法则： “分母部分”，然后计算化简； 2.能熟练地进行分式与根式的运算. (2)将主分数线上下的“分子部分”，“分母部分”， 同乘以各分母的最简公分母，再化简 ☐知识储备 二、二次根式的运算与化简 一、分式的运算与化简 1.形如√a(a≥0)的式子叫二次根式. 1.两个分式相乘，把它们的分子，分母各自相乘，即 2.满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： bxdbd (1)根号下不含分母，分母中也不含根号： ac ac (2)被开方数中每一个因数或因式都开不尽方. 2.两个分式相除，将除号后面的除式取倒数，再与 3.将二次根式化为最简二次根式步骤： 前面的被除式相乘，即b÷4=b×S=c (1)将被开方数化为积的形式，能开得尽方的因 c ad ad 数或因式移到根号外： 3.分式的乘方，将分式的分子，分母各白乘方，即 (2)化去根号内的分母，若被开方数中有小数，化 (也)= 成分数，再化简. a" 4.几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方 4.同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即 数相同，这几个根式叫同类二次根式 b±￡-b生 5.二次根式的性质 aaa (1)(a)2=a(a≥0)：(2a2=|a= a,a≥0 5.异分母分式相加减，先通分，化成同分母分式，再 -a,a<0 相加减，即b土d=c+ad_bc士ad 6.二次根式的加减法将二次根式化成最简二次根 a c acac ac 式，再合并同类二次根式. 6.分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘 7.二次根式的乘除法、乘方运算. 除，最后算加减.遇到括号时，要先算括号里面的. (1)a·6=ab(u≥0，h0:(2)a -(a≥0， 7.分子或分母中，又含有分式，这样的分式叫繁 分式 b>0):(3)(a)"=√/a"(a≥0). )数学初高中教材衔接 8.对分母中含有根号的代数式，把分母中的根号化 知识二 根式的化简 去，叫分母有理化.分母有理化的方法是将分子， 【例2】化简下列各式： 分母同乘以分母的有理化因式. (1)(-2)5:(2)-10):(3)(-9)2: 9.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积 不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化 (4)W(a-b) 因式. 【思路导引】利用Va”的性质进行化简. 10,二次根式的混合运算仍然是先乘方，再乘除，最 【解】(1)√(-2)5=-2： 后算加减.遇到括号时，要先算括号里面的. (2)W(-10)=1-101=10: 11.化简√x士2的方法：找两个数a,b,使x= (3)√(-9)2=√3=3： a+b,y=ab,则/x±2=√a+b士2√ab- (4)√(a-b)=|a-b= a-b(a≥b), /(a)2±2a6+(b)2=√/(a±b)2=|wa士 b-a(a<b). . 【归纳总结】根式的化简求值注意以下两点 ☐典例讲解 (1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式， 然后运用根式的性质进行化简或求值， 知识一分式化简 (2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去 【例1】化简x 掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论. x+I-r. 【举一反三】 I- 计算下列各式的值： (1)(-4)3:(2)V(3-π)： 【解】 法一：原式= 1-x (3)√(1+2)3+V(1-2):(4)√(2x+y) x2-1 (1-x)·x x+(x+1)(x-1) x- x2+x-x r+1 x十1 x(x+1)_+1 2 知识三分式的综合应用 法二：原式= x+1=)·xz+西 x2-1 【例3】化简2+3十9+6x-1 x3-27 9x-x36+2x )·x x2+3.x+9 6.x =x(x+1)=x+1 x2十x-xr 【解】原式=红-3)(x+3x+9)x(9-) x-11 x-1 2(3+r)x-3(x+3)(x-3)2(x+3) 【举一反三】 2(x+3)-12-(x-1)(x-3) 计算： 2(x十3)(x-3) 0号 -(x-3)2 3r =2(x+3(x-3)2(x+3) 【举一反三】 -x-1)÷-4 】先化简，再求值（之-2红24红千小 其中x=(-2)°. 8 第一部分知识衔接篇☒ 知识四根式的综合应用 3.若n<m<0,则√m2+2mn+n2 【例4】计算：(1)(a+6+1)(1-√a+6)-(√a √m2-2mn十n2等于 ( +62:(2)a A.2m B.2n C.-2mD.-2n a-√aba+√ab 4.若实数m,n满足条件m2一2m一3=0，n2一2m 【解】(1)原式=(1+b)2-(a)2一(a十 3=0,则”+”的值是 2ab+b)=-2a-2√ab+2i+1: (2)原式= a a 吊*a+ 5.当a=2023时，代数式(a,-1 a (la-b)a(a+B)Ja- 的值是 a+6 +2+2:2),-1+26 6.计算(1)2+xx+4 2aib a-ba2- =a+b)+(a-D_2a 6 (a+√b)(a-b)a-b a 【举一反三】 已知a=7-5,b=√7+5，求值： 2+号：2a+a. (工)3 (2)2士 -1 7.化简(1)义 x一y+1 x十y 口当堂巩固 8设：法滑滑求+少的值 1.已知a+1=3,则a2+的值为 a A.5 B.6 C.7 D.8 a2-a 2若a满足a=1.则分式，二2a1产（。吕 4-12) 的值为 () A.-1 C.0 第5课时 绝对值 ■目标要求 ☐知识储备 1.理解实数绝对值的含义与几何意义： (一)绝对值的代数意义：正数的绝对值是他的 2.会利用绝对值的几何意义求解绝对值不等式，掌 本身，负数的绝对值是他的相反数，a的绝对值仍 握三角不等式，会解含两个绝对值不等式，会解 aa>0, 含参数的绝对值不等式 是a=0,a=0, -a,a0. 9)数学 初高中教材衔接 第3课时 因式分解(2) 3.解析：A.原式不能分解：B.原式=(x十 第4课时 分式与根式 典例讲解 y)-2=(x十y+2)(x十y-2): 典例讲解 知识一 C.原式=(x+y)(x-y)+4(r+y) 知识一 举一反三 (x+y)(r-y+4): 1.解析：2-5.x+6=(x-2)(x-3). 举一反目 D.原式=x2-(y-2)=(x+y-2)(x 故选：C 一y十2)，故选：A. 解：(1)原式=担.6 答案：C 答案：A 2.解：①x+8x十12=x十(2+6)x十24.解析：原式=(x-2)(x-4). ×6=(.x+2)(x+6): 故答案为：(x一2)(x一4). 2)原我=马·a a(a-1) ②x+[3+(-4)]x十[3×(-4)]=(x 答案：(x-2)(x-4) 1=a+11 十3)(x-4). 5.解析：(x+5)(r一5)十7(r+1) 知识二 =x2-25+7x+7 知识二 举一反三 =x2+7x-18 举一反三 解：()原式=(-3a十2)(4a一3) =(x十9)(x-2). 解：(1)√/(-4)=-4. -(3a-2)(4a-3). 故答案为：(x十9)(x-2). (2)9/(3-x)=|3-π=x-3. -32 答案：(x十9)(x-2) 6.解析：当3x2-4ry-y=0时， (3(1+2)+(1-2)=(1+②) 4 -3 a=3.b=-4y,c=-y, +(W2-1)=22. (2)原式=(3.x一1)(x-3) 3 3=2 解得x=2+ 3. (4)(2.x+y)F=|2x+y 2x+y,y-2x, 3 故3r-4ry-y-3r-2+、 3y)(x -2x-yy<-2x. 知识三 2-7 知识三 举一反三 举一反三 解：(1)原式=一x十4xy-4y+4y一2y 故答案为： 【分析】先根据分式的混合运算顺序 =-(x2-4.xy+4y2)+(4y-2y2) 和运算法则化简原式，再由非零数的零 =2y2-(x-2y)9 3 指数幂求出x的值，代入计算即可， =(W2y)2-(x-2y) =(W2y-2y十x)(2y+2y-x). 3 解：原成-[动 (2)令-2ai+ah+2-0, 7.解：(1)(a-b)°+4ab 则ab=1士7 =a-2ab+b+4ab =a+2ab+i=(a+b), x一4 所以-2a28+ab+2=-2(ab (2)x2-2.x-8 2‘ =(r-4)(x十2)： +正，ah-1厘). (3)x-6.x+9x-16 4 2 知识四 =(x'-6.x+9x2)-16 当r=(-2)°=1时， 举一反三 =x2(x-3)2-42 解：(1)(x2-2.x)2-2(x2-2x)-3 =[x(x-3)+4[x(x-3)-4] 1 原式=1-2分=1=1 =(x2-3.x+4)(x2-3x-4) =(x2-2.x-3)(x2-2x+1) =(x2-3.x十4)(r-4)(r+1): 【点评】本题主要考查分式的化简求 =(x-3)(x+1)(x-1). (4)(.x2+3.x+5)(x2+3.x+1)+3 值和零指数暴，解题的关能是掌槿分式 (2)(x2+3r+2)(4.x2+8.x+3)-90 =(x+3x)十6(x十3x)+5+3 的混合运算顺序和运算法则及分式有 -[(r+1)(x+2)][(2x+1)(2x+3)J一90 =(x2+3x)'+6(x2+3x)+8 意义的条件 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(x+3.r+2)(x2+3x+4) 知识四 =(2.x+5x+3)(2x+5x+2)-90 =(x十1)(x十2)(x2+3x十4) 举一反三 =(2x2+5.)2+5(2.x2+5r)-84 8.解：(1)设一a2一3a+1=0, 解：：a=7-5,b=√7+5， =(2x3+5x-7)(2x2+5x+12) "△=(-3)-4X(-1)×1=13>0. =(x-1)(2x+7)(2x+5x十12) ∴.a十b=(7-5)+(7+5)=2√7， 当堂巩固 ∴a=二b生个-ac=3土区 2×(-1)1 ab=(W7-√5)(7+5)=2， 2u 1.解析：根据题意得：x2一mx十n=(x十 3)(r-4)=x2-x-12, ,=-3+1 2 4=-3-13 )名+号 2 则m=1,n=一12， ✉9+6 所以m一n=1一（一12）=1+12=13. :-a-3u+1=-a+3+,,(a+ ab 故选：A 2 答案：A 3压： -a't2ub+b-2ab 2 2.解析：x2十4x一5=x(x十4)一5，不待 (a+b)-2ab 合因式分解的定义，因此速项A不待 (2)设2.x2y2-3.xy-4=0, :△=6-4ac=(-3)2-4×2×(-4) 合题惑：xy十y=xy(1十上)中合有分 =41>0, =(27)-2X2 2 式，因此不持合固式分解的定义，所以 ∴=二生一4c_3士组 28-4 选项B不符合题意：一1■（十1） 2a 2×2 2 (x-1)=(x十1)(x十1)(r一1)，因此 (xy),=3+ ,w=3-面 =12 4 选项C不特合题意：一x十1 (2)ab+ab =ab(a十b) (-) 2xy-3y-4=2-3+厘 ,因此选项D符合题：故选：D, 答案：D (ry-3-4 =2×2√7 =47 76 参考答案☒ 当堂巩固 x<-1 1,解析：a十1=3， 第5课时绝对值 或 -x-1>2-x a 典例讲解 (a+1)=9,即a2+2+ 知识一 x≥-1， =9, a 举一反三 由①得 则a+=7, 【分析】直接利用绝对值的性质化简 得出答案， 答案：C 解：1号r一2引-3=a 由②得 x<-1无解 2.解析：原式=a(a1÷日一2(a-1D 1-1>2, (a-1) a-1 a 一2=3+a… 所以原不等式的解为>司 当a≥-3时， 当堂巩固 a+2 则r2=3+a或-2=-3-a… 1.解析：由题意得，m一2=0，n一7=0， 由a2=1,得到a=1或a=一1， 解得：x=10+2a或x=-2-2a. 解得m=2,n=7, 当4=1时，原式没有意义，舍去： 当a<-3时，此方程无解 所以，|m十=2十7=9， 当a=一1时，原式=-1 知识二 举一反 答案D 答案：B 【分析】由于原不等式等价于12x一3> 3.解析：√m+2mn十m 3且2x一3引<5，因此可先分别解出两个 2解析：由1x一之-1 绝对值不等式的解集，然后求其交集。 一√分一2mn十n 解：原不等式等价于 =(m+n)-√(m-万 2r-35 (1) =n十程一m一n. 112x-3>3 (2) ①当x=时，受m+2=2(m- ”<m<0,.m+n<0,m-n>0. 由(1)得一5<2x-3<5,解得-1r4 原式=一(m十)一(m一n)=一m- 由(2)得2.x-3>3我2x-3<-3,解 解得m=10, 月一m十程=一2， 得x>3或r<0 ②当1=一时，-m十2=2(m十 1 1 答案：C ,原不等式的解集为{x一1<x<0或 4,解析：当m≠n时， 3<x<4. .m.m是方程，x2一2x一3=0的两根 知识三 .m十程=2，mn=一3， 举一反三 原式=m+n=m+n)-2m 解：(1)x<一1时.x十1<0，x一2<0. 故m的值为10或号， 原方程化为一(x一2)一(x十1)=5， -4+6-10 解得x=一2， 答案：C 一3 3 -1<x<2时，x十1>0，x-2<0, 3.解析：①当r≤0时，1一x=1一x,1 当m=n时，原式=1十1=2 原方程化为一(x一2)+(x十1)=5： x=1一x,满足题意： 答案：2或号 方程无解， x>2时x十1>0x-2>0, ②当0<x<1时，11-x|-1-x,1+ 5解：()小 4-1 原方程化为(x一2)+十(x十1)=5， x=1十r,不满足题意 (a+1) 解得x=3, ③当x≥1时，|1-x=x-1,1+x =a-1.(+1)2 所以，原方程的解是x=一2或x=3. =1十x,不满足题意. a+1 a-1 (2)解：2x+2|-x-2>2等价于 =a十1， x-I 综上可得：x≤0，放x-1=1一x 当4=2023时，原式=2023十1=2024， 1-2r2-(2-r)>2我 答案：1一x 答案：2024 1-1x<2 4.解析：已知a,b,c是有理数，a十b十r 6,解1)原式==+2g一2四 2x+2-(2-r>2浅 22 0,aix<0, x+2 x+2 =x-2 2.x+2-(x-2)>2 b+c=-a:a+c=-b:a+b=-c; a-b (2)原式=a+0(a-可 解得K-6我号<<2线≥2 a,b,c两正一负， a+b 2b 知识四 (a+a-D+a+ba-b· 举一反三 告++一 2(a-b) 2 解：法一：原不等式等价于 b (a+b)(a-b)a+b 2-x≥0. -1-1-1=-, 7解：(1)原式=()y÷ r1>2r我r+1<r-20 ∴x2=(-1)9=-1 y y 或2<0. x∈R. 答案：B r2, r2, 5.解析：(1)x一3时， 由①( (2)原式 (小+ >1-2. r> :1r+31+号x-5=12 所以<r≤2： .--3+4-0.8r=12, x-(x十y) 由②得x>2. 解得=一要 8解：r=2+5-2+5 游上所连，原不等式的解为> (2)-3<r<5时， =7+4√5， 2-3 2-3 法二周为1x+1=+1≥1， 一r1,r<-1 y=7-13→r+y=14xy=1 :1x+31+号--12. 所以原不等式等价于 原式=(x+y)(x-xy+y2)=(x+y) x≥-1， .x+3+4-0.8x=12. [(x+y)-3ry]=14(14-3)=2702 x十1>2-x ① 解得x=25,(会) C77)