第一部分 第3课时 因式分解(2)-【走好高中第1步】2024年初高中教材衔接数学

数学 2 初高中教材衔接 【举一反三】 当堂巩固 把ab(c2-d^{)-(a}-?)cd分解因式 1.下列多项式不能用公式法因式分解的是( B.2}a A.a2-8a+16 C.-{-9 D.a2-4 2.下列多项式能用公式法分解因式的是 ①-4r?-y2;②4r-(-y)};③a}+2ab-2; 知识四 分组后能直接运用公式 【例4】 分解因式: A.①③④ B.②③④ (1)-2ab?+8a}2-8a^2; C.②④ (2)(r2-1)2+6(1-x2)+9. D.②③④ 【解】 3.下列因式分解正确的是 (1)-2a362+8a?b2-8ab} A. 2ab2-4ab-2a(6-26)$ --2ab?(}-4a+4) B.a+b2-(a+b)(a-b) --2ab?(a-2)2; C.?+2xy-4y-(r-y)? (2)(2-1)?+6(1-r2)+9 D.-my?+4my-4n=-m(2-)? =(-1)-6(?-1)+9 4.分解因式,a②}-b2+ab?-a^26 -(2-1-3)} 5.因式分解:4x2--2y-1- -(r2-4)2 6.把(a②-a)?-(1-a)?因式分解 -(x-2)?(x+2)?. 【举一反三】 分解因式 (1)4r2-?-1+2y; (2)16m2--6n-9. 7.分解因式; (1)3ar?+6axy+3ay?; (2)(4n?+9)?-144n}; (3)r2-xy+4x-4y. 第3课时 因式分解(2) 目标要求 知识储备 1.熟练地运用十字相乘法来因式分解多项式; 系数为1的十字相乘法分解因式:r*十x十。 2.在利用十字相乘法的时候,熟练地掌握系数的拆 -?+(a+b)x十ab=(r十a)(x+b). 分技巧,快速因式分解; 求根公式法分解因式:设关于:的一元二次方 3.掌握二次项系数不为1、含参数的因式分解 程ar2+bx+c-0(a字0,A--4ac)的两个实数 第一部分 知识衔接篇 -b-4ac,则二次三项式a②+b十C 【举一反三】 根为x2= 2a 1.计算结果为r2-5x+6的是 ) 可以因式分解为ar+bx+c=a(x-x)(x-x)= A.(x-1)(x十6) B.(x+1)(x-6) ##-6#-4a)(-60#-4a). C.(r-2)(x-3) D.(x十2)(x十3) 2 2.因式分解 系数不为1的十字相乘法分解因式: ①?+8x+12; 对于二次三项式ax②十bx十c(a去0),如果 ②2-r-12. 二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a aa,常数项c可以分解成两个因数之积,即c c1c,那么a,a2.c,c2排列如下: 将a,c。与a,c按斜线交又相乘,再相加, 得到ac十aci,若它正好等于二次三项式ax②}+ bx+c的一次项系数b,即aic2+a2ct-b,则二次三 项式就可以分解为两个因式a:x十c:与a2x+c2 知识二 二次项系数不为1的十字相乘法 之积,即ax?+bx十c-(ax十c)(ax十c). 【例2】提出问题:你能把多项式2十5x十6因式 像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助 分解吗? 我们把二次三项式分解因式的方法,叫作十字相 探究问题:如图1所示,设a,b为常数,由面积相 乘法. 等可得:(r+a)(r+b)=r?+ar十bx+ab=r2} ■典例讲解 士(a十)x十a,将该式从右到左使用,就可以对 形如x②十(a十b)x十ab的多项式进行因式分解 知识一 二次项系数为1的十字相乘法 即x②+(a十b)x十ab-(r十a)(x+b).观察多项 【例1】由多项式乘法:(x十a)(x十b)一r^2十(a十 式x十(a十b)x十ab的特征是二次项系数为1. 6)x士a,将该等式从右到左使用,即可得到“士 常数项为两数之积,一次项为两数之和. 字相乘法”进行因式分解的公式:x2十(a十b)x十 解决问题:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3- ab-(x十a)(x十b). (x+3)(x十2) 示例:因式分解:x2+5x+6=x*+(2+3)x+ 运用结论: 2×3-(r+2)(x+3). (1)基础运用:把多项式;^{-5x-24进行因式 (1)尝试:因式分解:2十6r十8一(x+ ). 分解. (r士 ); (2)知识迁移;对于多项式4x2-4x-15进行因 (2)应用:请用上述方法将多项式;r*一3x-4因 式分解还可以这样思考: 式分解。 将二次项4r分解成图2中的两个2x的积,再 【思路分析】 (1)根据2×4-8,2+4-6即可 将常数项一15分解成一5与3的乘积,图中的对 分解因式; 角线上的乘积的和为-4x,就是4x2-4x-15的 (2)根据-4--4×1,-4+1--3即可分解 一次项,所以有4r2-4r-15-(2x-5)(2x+ 因式, 3).这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”,请 【解析】 (1)r2+6x+8-(x+2)(r+4) 用十字相乘法进行因式分解;3x2-19x-14. 故答案为:2,4; 2 (2)r2-3x-4-(r-4)(x+1). 【归纳总结】本题考查了十字相乘法,解题的关 链是把常数项拆成两个数的积,面两个数的和正 (-5)x2+3x2r--4r (交叉相乘再加等于一次项) 好等于一次项的系数. 图1 图2 数学 初高中教材衔接 【思路分析】 (1)基础运用:把多项式x②-5x- 【举一反三】 (1)在实数范围内分解因式;-c2十4.xy-2y}; 24进行因式分解; (2)在实数范围内因式分解:-2a+ab+2. (2)用十字相乘法进行因式分解:3r*-19x-14. 【解】(1)多项式x2-5x-24因式 1 分解为: 2-5x-24=x2+(3-8)r+3$ (-8)-(x+3)(x-8); (2)用十字相乘法进行因式分解: 知识四 可以化简为二次项系数为1的十字相 3.2-19r-14-(r-7)(3r+2). 乘法 【例4】 因式分解: 【归纳总结】 用十字相乘法分解二次三项式很 重要,当二次项系数不是1时较困难,具体分解 (1)(r2+2x)?-7(x2+2x)-8; (2)-10x?+9. 时,为提高速度,可先对有关常数分解,交又相乘 后,若原常数为负数,用减法“凑”,看是否符合一 【思路分析】(1)原式利用十字相乘法分解后, 次项系数,否则用加法“凑”,先“凑”绝对值,然后 再利用完全平方公式分解即可; 调整,添加正、负号。 (2)原式利用十字相乘法分解,再利用平方差公 十字相乘法口诀:首尾分解,交又相乘,求和凑中。 式分解即可. 【解】 【举一反三】 1(1)原式=(r*+2x-8)(r^{}+2x+1) 分解下列各因式 (x-2)(x+4)(r+1)?; (1)-12a+17a-6;(2)3-2-10x+3 (2)原式-(2-1)(x2-9) -(r+1)(r-1)(x+3)(x-3). 【归纳总结】考查了因式分解-十字相乘法, 熟练掌握十字相乘法是解本题的关键 用整体代换的思想,把某一部分看做一个整体, 整个题目类似于一个二次三项式r十(p十q) 过十p型. 【举一反三】 分解因式: (1)(r-2x)?-2(-2x)-3; 知识三 在实数范围内分解因式 (2)(r2+3x+2)(4r2+8x+3)-90. 【例3】在实数范围内因式分解:2x2-3xy-3y②. 【思路分析】 解2r2-3xy-32-0可得,x 3y士33y,根据求根公式的分解方法和特点可 4 333y)(x- 知:2r2-3ry-3y2-2(r- 。 3y-33y). 当堂巩固 【解】 当2-3.ry-3y2-0时,x-3y士33y. 4 1.若多项式x2-mx十n可因式分解为(x十3)(x 所以22-3xy-3y2-2(x-3y+33y)(x- 4).其中m,n均为整数,则n一n的值是( A.13 B.11 4 C.9 3-33). D.7 2.下列因式分解正确的是 A.+4r-5-x(x+4)-5 【归纳总结】本题考查了在实数范围内分解因 式,求根公式法当首项系数不是1时,往往需要 多次试验,务必注意各项系数的符号,注意当无 C.4-1-(r*+1)(r2-1) 法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解 $.{+#-(-)} 因式。 第一部分 知识衔接篇 3. 下列多项式中,在实数范用不能分解因式的是 8.在实数范围内分解因式; ( ) (1)-a2-3a+1: B.2+2+2x-2 A.r2+?+2x+2y (2)2r22-3ry-4. C.2-2+4r+4y D.c2-2+4y-4 4.因式分解:*-6r十8- 5.分解因式:(x+5)(x-5)+7(x+1)- 6.在实数范围内因式分解:3r*-4.xy-2- 7.因式分解 (1)(a-b)?+4a; (2)2-2x-8; (3).4-6x+9x2-16; (4)(2+3r+5)(r2+3x+1)+3 第4课时 分式与根式 □目标要求 8.繁分式化简有两种方法 (1)用主分数线上面的“分子部分”除以下面的 1.熟悉分式与根式的概念及运算法则; “分母部分”,然后计算化简; 2.能熟练地进行分式与根式的运算 (2)将主分数线上下的“分子部分”,“分母部分”. 同乘以各分母的最简公分母,再化简. 知识储备 二、二次根式的运算与化简 一、分式的运算与化简 1.形如/(a二0)的式子叫二次根式 1.两个分式相乘,把它们的分子,分母各自相乘,即 2.满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式: ##x_ (1)根号下不含分母,分母中也不含根号; : (2)被开方数中每一个因数或因式都开不尽方。 2.两个分式相除,将除号后面的除式取倒数,再与 3.将二次根式化为最简二次根式步骤: 前面的被除式相乘,即-d-C (1)将被开方数化为积的形式,能开得尽方的因 数或因式移到根号外; 3.分式的乘方,将分式的分子,分母各自乘方,即 (2)化去根号内的分母,若被开方数中有小数,化 成分数,再化简. 4.几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方 4.同分母分式相加减,分母不变,分子相加减,即 数相同,这几个根式叫同类二次根式 ##士 5.二次根式的性质 5.异分母分式相加减,先通分,化成同分母分式,再 l-a.a<o' 6.二次根式的加减法将二次根式化成最简二次根 racac C 式,再合并同类二次根式 6.分式的加、减、乘、除、乘方混合运算,先乘方,再乘 7.二次根式的乘除法、乘方运算 除,最后算加减,遇到括号时,要先算括号里面的. 7.分子或分母中,又含有分式,这样的分式叫繁 分式. b>0);(3)(ā)”-a”(a>0))数学 初高中教材衔接 第3课时 因式分解(2) 3.解析：A.原式不能分解：B.原式=(x十 第4课时 分式与根式 典例讲解 y)-2=(x十y+2)(x十y-2): 典例讲解 知识一 C.原式=(x+y)(x-y)+4(r+y) 知识一 举一反三 (x+y)(r-y+4): 1.解析：2-5.x+6=(x-2)(x-3). 举一反目 D.原式=x2-(y-2)=(x+y-2)(x 故选：C 一y十2)，故选：A. 解：(1)原式=担.6 答案：C 答案：A 2.解：①x+8x十12=x十(2+6)x十24.解析：原式=(x-2)(x-4). ×6=(.x+2)(x+6): 故答案为：(x一2)(x一4). 2)原我=马·a a(a-1) ②x+[3+(-4)]x十[3×(-4)]=(x 答案：(x-2)(x-4) 1=a+11 十3)(x-4). 5.解析：(x+5)(r一5)十7(r+1) 知识二 =x2-25+7x+7 知识二 举一反三 =x2+7x-18 举一反三 解：()原式=(-3a十2)(4a一3) =(x十9)(x-2). 解：(1)√/(-4)=-4. -(3a-2)(4a-3). 故答案为：(x十9)(x-2). (2)9/(3-x)=|3-π=x-3. -32 答案：(x十9)(x-2) 6.解析：当3x2-4ry-y=0时， (3(1+2)+(1-2)=(1+②) 4 -3 a=3.b=-4y,c=-y, +(W2-1)=22. (2)原式=(3.x一1)(x-3) 3 3=2 解得x=2+ 3. (4)(2.x+y)F=|2x+y 2x+y,y-2x, 3 故3r-4ry-y-3r-2+、 3y)(x -2x-yy<-2x. 知识三 2-7 知识三 举一反三 举一反三 解：(1)原式=一x十4xy-4y+4y一2y 故答案为： 【分析】先根据分式的混合运算顺序 =-(x2-4.xy+4y2)+(4y-2y2) 和运算法则化简原式，再由非零数的零 =2y2-(x-2y)9 3 指数幂求出x的值，代入计算即可， =(W2y)2-(x-2y) =(W2y-2y十x)(2y+2y-x). 3 解：原成-[动 (2)令-2ai+ah+2-0, 7.解：(1)(a-b)°+4ab 则ab=1士7 =a-2ab+b+4ab =a+2ab+i=(a+b), x一4 所以-2a28+ab+2=-2(ab (2)x2-2.x-8 2‘ =(r-4)(x十2)： +正，ah-1厘). (3)x-6.x+9x-16 4 2 知识四 =(x'-6.x+9x2)-16 当r=(-2)°=1时， 举一反三 =x2(x-3)2-42 解：(1)(x2-2.x)2-2(x2-2x)-3 =[x(x-3)+4[x(x-3)-4] 1 原式=1-2分=1=1 =(x2-3.x+4)(x2-3x-4) =(x2-2.x-3)(x2-2x+1) =(x2-3.x十4)(r-4)(r+1): 【点评】本题主要考查分式的化简求 =(x-3)(x+1)(x-1). (4)(.x2+3.x+5)(x2+3.x+1)+3 值和零指数暴，解题的关能是掌槿分式 (2)(x2+3r+2)(4.x2+8.x+3)-90 =(x+3x)十6(x十3x)+5+3 的混合运算顺序和运算法则及分式有 -[(r+1)(x+2)][(2x+1)(2x+3)J一90 =(x2+3x)'+6(x2+3x)+8 意义的条件 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(x+3.r+2)(x2+3x+4) 知识四 =(2.x+5x+3)(2x+5x+2)-90 =(x十1)(x十2)(x2+3x十4) 举一反三 =(2x2+5.)2+5(2.x2+5r)-84 8.解：(1)设一a2一3a+1=0, 解：：a=7-5,b=√7+5， =(2x3+5x-7)(2x2+5x+12) "△=(-3)-4X(-1)×1=13>0. =(x-1)(2x+7)(2x+5x十12) ∴.a十b=(7-5)+(7+5)=2√7， 当堂巩固 ∴a=二b生个-ac=3土区 2×(-1)1 ab=(W7-√5)(7+5)=2， 2u 1.解析：根据题意得：x2一mx十n=(x十 3)(r-4)=x2-x-12, ,=-3+1 2 4=-3-13 )名+号 2 则m=1,n=一12， ✉9+6 所以m一n=1一（一12）=1+12=13. :-a-3u+1=-a+3+,,(a+ ab 故选：A 2 答案：A 3压： -a't2ub+b-2ab 2 2.解析：x2十4x一5=x(x十4)一5，不待 (a+b)-2ab 合因式分解的定义，因此速项A不待 (2)设2.x2y2-3.xy-4=0, :△=6-4ac=(-3)2-4×2×(-4) 合题惑：xy十y=xy(1十上)中合有分 =41>0, =(27)-2X2 2 式，因此不持合固式分解的定义，所以 ∴=二生一4c_3士组 28-4 选项B不符合题意：一1■（十1） 2a 2×2 2 (x-1)=(x十1)(x十1)(r一1)，因此 (xy),=3+ ,w=3-面 =12 4 选项C不特合题意：一x十1 (2)ab+ab =ab(a十b) (-) 2xy-3y-4=2-3+厘 ,因此选项D符合题：故选：D, 答案：D (ry-3-4 =2×2√7 =47 76