专题07 有理数的乘除法 （7大题型 +过关训练）-2024-2025学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题07 有理数的乘除法 目录 【题型一 】有理数的乘法运算 1 【题型二 】有理数乘法的实际应用 1 【题型三 】倒数 2 【题型四 】有理数乘法运算律 2 【题型五 】有理数的除法运算 3 【题型六 】有理数除法的应用 3 【题型七 】有理数乘除混合运算 3 【题型一 】有理数的乘法运算 例题：（2024·广东深圳·三模）计算的结果为（    ） A．2024 B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）计算： ； ． 【题型二 】有理数乘法的实际应用 例题：（2024·江西吉安·模拟预测）在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．若一根弹簧挂上物体时长，挂上物体时长，则挂上物体时长（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）某列车往返于菏泽至临沂，运行途中停靠的车站依次是：菏泽——巨野——济宁——兖州——临沂，那么这次列车需要制作火车票（    ）种． A．6 B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东临沂·期末）某公园门票价格如下表，有28名中学生游公园，则最少应付费 元．（游客只能在公园售票处购票） 购票张数 1～29张 30～60张 60张以上 每张票的价格 20元 18元 16元 【题型三 】倒数 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B．2025 C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）若a与7互为倒数，则（　　） A． B． C．7 D． 2．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ． 【题型四 】有理数乘法运算律 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）在中，用到的乘法运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）用简便方法计算： ． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算 【题型五 】有理数的除法运算 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算： . 2．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： ． 【题型六 】有理数除法的应用 例题：（2024七年级·全国·竞赛）某中学七年级有13个课外兴趣小组，共165人．各组人数如下表： 组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 人数 5 6 7 9 10 11 12 14 15 16 17 20 23 一天下午学校同时举办语文和数学交流会，已知有12个小组参加，其中参加数学交流会的人数与参加语文交流会的人数之比为，还剩下一个小组未参加，这个小组是（    ） A．第3组 B．第6组 C．第9组 D．第12组 【变式训练】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）商店一周共亏损840元，平均每天的利润是 元.（记盈利额为正数，亏损额为负数．） 2．（23-24七年级下·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 【题型七 】有理数乘除混合运算 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)． (2)． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 一、单选题 1．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，数轴上，两点表示的数分别为，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·三模）算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（    ）． A．＋ B． C．× D．÷ 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列各式中，结果是正数的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 二、填空题 6．（2024·江苏镇江·二模）计算： ． 7．（2024六年级下·上海·专题练习）计算： ． 8．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图1，A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，在数轴上对应的数分别为，b，3，某同学将刻度尺按图2方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5处，点C对齐刻度尺3.5处． （1）数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ． （2）有一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第四次跳动后，数轴上点所表示数为 ． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）规定，例如，则 ． 10．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在长为 20 米，宽为 15 米的池塘上修建宽为2 米的横向与纵向的观景道路，则道路的面积为 平方米． 三、解答题 11．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）2018年至2022年底，中国高铁运营里程超过4.2万公里，位居世界第一位．高铁的票价是按“票价=全程票价×”的方法计算，已知A站至G站全程票价为800元，沿途各站的里程数如图． 根据这些信息，请你解决以下问题． (1)A站至F站的票价是多少元？ (2)王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票，他在哪一站下车？请说明理由． 12．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 13．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：； 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某个体水果店经营香蕉，每千克进价元，售价元，月日至月日经营情况如下表： 购进 售出（） 损耗（） (1)若月日晚库存为，则月日晚库存 ； (2)就月日这一天的经营情况看，当天是赚钱还是赔钱，规定赚钱为正，当天赚 元； (3)月日到月日该个体户共赚多少钱？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 有理数的乘除法 目录 【题型一 】有理数的乘法运算 1 【题型二 】有理数乘法的实际应用 2 【题型三 】倒数 3 【题型四 】有理数乘法运算律 4 【题型五 】有理数的除法运算 5 【题型六 】有理数除法的应用 7 【题型七 】有理数乘除混合运算 8 【题型一 】有理数的乘法运算 例题：（2024·广东深圳·三模）计算的结果为（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）计算： ； ． 【答案】 【分析】 本题考查了有理数的加法与乘法与运算，根据有理数的运算法则进行计算即可求解． 【详解】 解：， ． 故答案为：，． 【题型二 】有理数乘法的实际应用 例题：（2024·江西吉安·模拟预测）在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．若一根弹簧挂上物体时长，挂上物体时长，则挂上物体时长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，先计算出物体增重，弹簧长度增加多少，再根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意得：物体增重，弹簧长度增加， 挂上物体时长， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）某列车往返于菏泽至临沂，运行途中停靠的车站依次是：菏泽——巨野——济宁——兖州——临沂，那么这次列车需要制作火车票（    ）种． A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分类计数原理，根据每个点做起点都有4个终点车站求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 这次列车需要制作火车票：（种）， 故选：D． 2．（23-24七年级上·山东临沂·期末）某公园门票价格如下表，有28名中学生游公园，则最少应付费 元．（游客只能在公园售票处购票） 购票张数 1～29张 30～60张 60张以上 每张票的价格 20元 18元 16元 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较的运用，本题只需仔细分析图表即可解决问题．根据公园门票价格规定，通过计算得出应尽量设计的能够享受优惠的购票方案． 【详解】解：解：人买张的话需付（元）， 买张的话，付（元）， 所以最少应付费元． 故买张付元是最少的付费方式． 故答案为：． 【题型三 】倒数 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数，相反数及绝对值，掌握以上知识是解题的关键． 先化简绝对值，再计算倒数，即可求解． 【详解】解：，其倒数为， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）若a与7互为倒数，则（　　） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数． 【详解】解：与7互为倒数， ∴． 故选：D． 2．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 【题型四 】有理数乘法运算律 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）在中，用到的乘法运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法结合律，熟记运算律是解题的关键．根据乘法交换律和结合律进行分析即可． 【详解】解：可得是运用了乘法结合律． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）用简便方法计算： ． 【答案】99900 【分析】本题考查有理数的简便运算．熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：99900． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，利用乘法运算律计算即可． 【详解】解： 【题型五 】有理数的除法运算 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确化简求出是解题关键． 【详解】 解：A、，故此选项错误； B、2，故此选项正确； C、，无意义，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算： . 【答案】 【分析】本题考查有理数的除法，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解题的关键. 【详解】解：， 故答案为：. 2．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法运算．熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． 先化成分数，然后进行除法运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型六 】有理数除法的应用 例题：（2024七年级·全国·竞赛）某中学七年级有13个课外兴趣小组，共165人．各组人数如下表： 组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 人数 5 6 7 9 10 11 12 14 15 16 17 20 23 一天下午学校同时举办语文和数学交流会，已知有12个小组参加，其中参加数学交流会的人数与参加语文交流会的人数之比为，还剩下一个小组未参加，这个小组是（    ） A．第3组 B．第6组 C．第9组 D．第12组 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数除法运算的应用，解题的关键是找出总人数除以7以后的余数，根据参加语文和数学交流会的人数正好为7的倍数，得出剩下一个小组的人数除以7的余数应该为4，找出符合要求的数即可． 【详解】解：参加语文和数学交流会的人数是的倍数， ∵， ∴未参加的小组的人数除以7的余数也应该为4， ∵， ∴未参加的小组为第6组． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）商店一周共亏损840元，平均每天的利润是 元.（记盈利额为正数，亏损额为负数．） 【答案】 【分析】本题考查了正数与负数、有理数除法运算的实际应用，理解题意，列出算式是解题的关键．把盈利额记为正数，亏损额记为负数，根据题意列式计算求解即可． 【详解】解：商店一周共亏损840元，平均每天的利润是： （元）． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 【答案】12 【分析】题目主要考查有理数的除法的应用，根据时间等于路程除以速度计算即可，注意单位的变换． 【详解】解：根据题意得：小时， 小时分钟， 故答案为：12． 【题型七 】有理数乘除混合运算 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题． 计算：． 解：方法一：原式． 方法二：原式的倒数为： 故原式． 用适当的方法计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵ ， ∴原式． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． （1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可； （2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 一、单选题 1．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，数轴上，两点表示的数分别为，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负．根据点、两点表示的数，得出，，再逐项分析即可求解． 【详解】解：根据数轴可得：，， 即，， ∵，∴，A选项不符合题意； ∵，，∴，B选项符合题意； ∵，，∴，C选项不符合题意； ∵，∴，D选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024·河北邯郸·三模）算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（    ）． A．＋ B． C．× D．÷ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，有理数大小的比较，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 将各个选项中的运算符号代入题干中的式子，计算出结果，然后比较结果，即可得到使得式子结果最小时的运算符号． 【详解】解：， ， ， ， ∵ ∴的结果最小， 故选：C． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：B． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列各式中，结果是正数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据有理数的乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、，故D选项不符合题意， 故选：C． 5．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 二、填空题 6．（2024·江苏镇江·二模）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘计算即可． 【详解】解： 故答案为：1． 7．（2024六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图1，A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，在数轴上对应的数分别为，b，3，某同学将刻度尺按图2方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5处，点C对齐刻度尺3.5处． （1）数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ． （2）有一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第四次跳动后，数轴上点所表示数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上的动点问题是解题的关键． （1）根据点、是数轴上从左到右排列的点，进而根据数轴上两点距离可进行求解； （2）根据线段的长度及刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现你点对齐刻度尺，点对齐刻度尺处，即可通过比例关系求出的值，然后分别先求出线段的长度，既可以根据线段中点的概念进行求解． 【详解】解：（1），是数轴上从左到右排列的点，在数轴上对应的数分别为，3， ； ， 数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 故答案为：； （2）刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度尺处，点对齐刻度尺处，， ， 数轴上点对应的数为， ， 一质点从点处向点方向跳动，第一次跳动到的中点处， 点表示的数为， 第二次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第三次从点跳动到的中点处， 点表示的数为， 第四次从点跳动到的中点处， 点表示的数为． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）规定，例如，则 ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题． 【详解】 解：由题意可得： ， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在长为 20 米，宽为 15 米的池塘上修建宽为2 米的横向与纵向的观景道路，则道路的面积为 平方米． 【答案】92 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据图形，列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：92． 三、解答题 11．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）2018年至2022年底，中国高铁运营里程超过4.2万公里，位居世界第一位．高铁的票价是按“票价=全程票价×”的方法计算，已知A站至G站全程票价为800元，沿途各站的里程数如图． 根据这些信息，请你解决以下问题． (1)A站至F站的票价是多少元？ (2)王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票，他在哪一站下车？请说明理由． 【答案】(1)640元 (2)王叔叔可能在B站下车，也可能在E站下车，理由见解析 【分析】（1）根据票价=全程票价×，代入数值进行计算，即可作答． （2）先算出每一公里的钱数，再结合车费160，即可列式代数进行作答． 本题考查了行程问题，正确掌握票价=全程票价×内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，∵已知A站至G站全程票价为800元，且A站至G站的里程数为公里 ∴（元）； （2）解：（元）； ∵王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票 ∴（公里） 结合图形，与D站相距400公里的有B站和E站 所以王叔叔可能在B站下车，也可能在E站下车． 12．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，奇数个负数的乘积为负数，偶数个负数的乘积为正数． （1）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法计算法则求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：； 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，利用乘法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： ． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）某个体水果店经营香蕉，每千克进价元，售价元，月日至月日经营情况如下表： 购进 售出（） 损耗（） (1)若月日晚库存为，则月日晚库存 ； (2)就月日这一天的经营情况看，当天是赚钱还是赔钱，规定赚钱为正，当天赚 元； (3)月日到月日该个体户共赚多少钱？ 【答案】(1)； (2)； (3)元． 【分析】（）根据表格求出月日的库存即可； （）根据售价进价利润，列出算式，计算即可得到结果； （）根据售价进价利润，列出算式，计算即可得到结果； 此题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，月日晚库存千克， 故答案为：； （2）解：根据题意得，元， ∴当天是赔钱， 规定赚钱为正，当天赚元， 故答案为：； （3）解：根据题意得，元， 答：月日到月日该个体户共赚元钱． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$