精品解析：山东省日照市五莲县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度下学期学科学业水平监测 八年级数学试题 （满分120分 时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上填写自己的学校、姓名、考号、座号等信息，用2B铅笔填涂相应位置．答题过程中，请保持答题卡的整洁． 2．第Ⅰ卷共12小题，每小题选出答案后，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号．只能涂在答题卡上，答在试卷上无效． 3．第Ⅱ卷共10小题，所有题目的答案，考生须用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡上各题目指定的区域内，在试卷上答题无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（　　） A B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 数据3，5，4，1，1的中位数是4，众数是1 B. 班级平均分80分，小明81分，则小明一定超过班级一半的同学 C. 某组数据方差为，若把其中每个数据都变为原来的3倍，则方差变为 D. 甲乙两组学生身高的平均数均为1.55，方差分别为，，则乙组学生的身高较整齐 5. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若直角三角形两边长3，4，则斜边长5 C. 一次函数图象不经过第三象限，则 D. 一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形 7. 如图，在中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线，，，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 9. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，连接，若将沿翻折，点B落在点F处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，，动点从点A出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 11. 已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是（　　） A. 6 B. 12 C. 2 D. 3 12. 如图，在正方形中，F在上，E在的延长线上，，连接、、、交对角线于点N，M为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题：本大题共4个小题；每小题4分，共16分．把答案写在答题卡横线上 13. 已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，则此等腰三角形周长为__________． 14. 已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差是_____． 15. 如图，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，在线段上取一点C，过点C作轴于点D，轴于点E，连接，当最短时，点C的坐标为__________． 16. 如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P为线段BD上的一个动点，则的最小值是______． 三、解答题：本大题共6小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 18. 为了倡导“节约用水，从我做起”，区政府决定对区直属机关300户家庭用水情况作一次调查，区政府调查小组随机抽查了其中某些家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户用水量每月均在吨范围，并将调查结果制成了如图所示的条形统计图（不完整）和扇形统计图． （1）由数据计算可知抽查了__________户家庭，并将条形统计图补充完整； （2）这些家庭月用水量数据的众数是__________，中位数是__________； （3）计算出这些家庭月用水量数据的平均数； （4）根据样本数据，估计鼓楼区直属机关300户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？ 19. 已知A产品的进价比B产品的进价每盒便宜10元，某商家用4000元购进的B产品和用3000元购进的A产品盒数相同． （1）求A产品和B产品每盒的进价； （2）A产品售价为每盒38元，B产品售价为每盒50元，该商家计划用不少于33000元购进两种产品共1000盒，且要求A产品的数量不少于B产品的2倍，假设购进产品能全部售出，求获利最多的进货方案及最大利润． 20. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形菱形； （2）若，，求菱形的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx＋1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）求直线AB的表达式和点A的坐标； （2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标； （3）当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 22. 综合与实践 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点转动．则下列结论正确的是_________（填序号即可）． ①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有． （2）如图2，矩形的对角线中点是矩形的一个顶点，与边相文于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转． ①猜想之间的数量关系，并进行证明； ②直接写出线段之间的数量关系为_________． （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，线段的长度为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度下学期学科学业水平监测 八年级数学试题 （满分120分 时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上填写自己的学校、姓名、考号、座号等信息，用2B铅笔填涂相应位置．答题过程中，请保持答题卡的整洁． 2．第Ⅰ卷共12小题，每小题选出答案后，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号．只能涂在答题卡上，答在试卷上无效． 3．第Ⅱ卷共10小题，所有题目的答案，考生须用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡上各题目指定的区域内，在试卷上答题无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数含分母，故A错误； B、被开方数含分母，故B错误； C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误； D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，涉及二次根式的性质、二次根式的乘法和减法，根据相关运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，此选项运算错误，不符合题意； B、，此选项运算错误，不符合题意； C、，此选项运算正确，符合题意； D、，此选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解． 【详解】解： 的整数部分 则小数部分是： 则 故选： 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 数据3，5，4，1，1的中位数是4，众数是1 B. 班级平均分80分，小明81分，则小明一定超过班级一半的同学 C. 某组数据方差为，若把其中每个数据都变为原来的3倍，则方差变为 D. 甲乙两组学生身高的平均数均为1.55，方差分别为，，则乙组学生的身高较整齐 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、方差、平均数，理解它们的概念是解答的关键．分别根据众数、中位数、方差、平均数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、将数据从小到大排列：1，1，3，4，5，所以中位数是3，众数是1，故此选项说法错误，不符合题意； B、班级平均分80分，小明81分，不能说明小明一定超过班级一半的同学，故此选项说法错误，不符合题意； C、某组数据方差为，若把其中每个数据都变为原来的3倍，则方差变为，故此选项说法错误，不符合题意； D、甲乙两组学生身高的平均数均为1.55，方差分别为，，则乙组学生的身高较整齐，正确，符合题意， 故选：D． 5. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合思想的运用是解答的关键．根据图象，一次函数的图象与x轴交点坐标为，，，进而得到，然后将所求不等式转化为不等式，进而解不等式即可． 【详解】解：由图象，一次函数的图象与x轴交点坐标为，，， ∴，则， ∴不等式可化， 解得， 即不等式的解集为， 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若直角三角形两边长3，4，则斜边长为5 C. 一次函数图象不经过第三象限，则 D. 一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、勾股定理、一次函数的性质以及平行四边形的判定，涉及解不等式组、平行线的判定与性质，根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则即，故此选项说法错误，不符合题意； B、若直角三角形两边长3，4，当第三边为斜边时，则斜边长为5，当第三边为直角边时，则斜边长为4，故此选项说法错误，不符合题意； C、若一次函数图象不经过第三象限，则， 解得，故此选项说法错误，不符合题意； D、若四边形中，，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着利用勾股定理的逆定理判断为为直角三角形，，然后在中利用勾股定理计算的长． 【详解】解：由作法得平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质和勾股定理及其逆定理． 8. 如图，在菱形中，对角线，，，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质得到，，，从而得出，，最后根据勾股定理即可求出菱形的边长，再利用菱形面积公式即可求出结果．熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴菱形的边长为13，即， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，连接，若将沿翻折，点B落在点F处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得是解答的关键．连接交于G，根据矩形性质得到，，进而，，由折叠性质得，，，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后由得，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于G，如图， 矩形中，，， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠性质得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， 由得， ∴， 在中，， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，，，动点从点A出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据四边形是矩形得到，，结合平行线间距离处处相等分点在、、上运动直接求解即可得到答案， 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ① 当点在上运动时，， ， 当点到时，； ② 点在上运动时，， 当点到时，， ③ 点在上运动时，， ， 当点到时，， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数在图形中的应用，解题的关键表示出动点在三边运动时的解析式找到端点． 11. 已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是（　　） A 6 B. 12 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上将P点坐标代入计算可得a，b，c之间的关系a2﹣2ab+b2＝c2，再根据Rt△ABC的面积是，可求解ab＝9，再由勾股定理计算可求解． 【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上， ∴， 即b﹣a＝c， ∴（a﹣b）2＝c2， ∴a2﹣2ab+b2＝c2， ∵Rt△ABC的面积是， ∴ab＝9， ∴a2+b2﹣c2＝18， ∵a2+b2＝c2， ∴c2﹣c2＝18， 解得c＝6（舍去负值）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查一次函数与勾股定理综合，解题的关键是熟知坐标与函数的关系及勾股定理的应用． 12. 如图，在正方形中，F在上，E在的延长线上，，连接、、、交对角线于点N，M为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】证明得到，，进而得到可判断①；根据三角形的内角和定理和等腰直角三角形的性质可判断②；连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质得到，利用线段垂直平分线的判定可判断③；证明得到，取的中点，连接，利用三角形的中位线性质得到，，进而证明为等腰直角三角形，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求解可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，， ∵，，， ∴ ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形，故①正确； ∴， ∵，， ∴，即，故②正确； 连接，， ∵，点M是的中点， ∴， 又， ∴直线是的垂直平分线，故③正确； ∵，，， ∴， ∴， 取的中点，连接，则是的中位线， ∴，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， ∴，故④正确， 综上，正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、线段垂直平分线的判定、三角形的内角和定理、勾股定理、三角形的中位线性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题：本大题共4个小题；每小题4分，共16分．把答案写在答题卡横线上 13. 已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，则此等腰三角形周长为__________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，先根据二次根式的被开方数为非负性求得a、b值，然后根据等腰三角形的定义，结合三角形的三边关系分类讨论求解即可． 【详解】解：∵a、b满足， ∴且， ∴，， ∵a、b、c为一个等腰三角形的三条边长， ∴当时，等腰三角形的三边长为3，3，7，但不构成三角形，故舍去； 当时，等腰三角形的三边长为3，7，7，满足， ∴此三角形的周长为， 故答案为：17． 14. 已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，根据平均数确定出后，再根据方差的公式进行计算即可． 【详解】解：由平均数的公式得：， 解得； 则方差． 故答案为：2． 15. 如图，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，在线段上取一点C，过点C作轴于点D，轴于点E，连接，当最短时，点C的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、矩形的判定与性质、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握据此的性质是解答的关键．先判断四边形是矩形，得到，当时，最短，此时最短，再求得，，则，由等面积法求得，设，由两点坐标距离公式求得x值，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵轴于点D，轴于点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最短，此时最短， 对于，当时，，当时，由得， ∴，， ∴，，则， 由得， 设， 则，解， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P为线段BD上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时MP+12PB的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用特殊30°直角三角形的性质即可解得MH． 【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时MP+PB的长度最小 ∵菱形ABCD中，AB=AC=8 ∴AB=BC=AC=8，△ABC为等边三角形 ∴∠PBC=30°，∠ACB=60° ∴在直角△PBH中，∠PBH=30° ∴PH=PB ∴此时MP+PB得到最小值，MP+PB=MP+PH=MH ∵AC=8，AM=2， ∴MC=6 又∠ACB=60°且△MHC为直角三角形 ∴HC=MC=3， ∴MH==． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与特殊30°直角三角形的性质，勾股定理，以及垂线段最短等知识，能够找到最小值时的P点是解题关键． 三、解答题：本大题共6小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）已知，与成正比例，与成正比例，当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）8；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，待定系数法求一次函数解析式，正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据运算法则先计算乘除，再进行加减运算即可； （2）根据题意设，，从而可得，然后将，和，代入联立方程组，解出、即可． 【详解】解：（1）原式 （2）根据题意，设， 将，和，代入，得 解得： 与之间的函数关系式． 18. 为了倡导“节约用水，从我做起”，区政府决定对区直属机关300户家庭的用水情况作一次调查，区政府调查小组随机抽查了其中某些家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户用水量每月均在吨范围，并将调查结果制成了如图所示的条形统计图（不完整）和扇形统计图． （1）由数据计算可知抽查了__________户家庭，并将条形统计图补充完整； （2）这些家庭月用水量数据的众数是__________，中位数是__________； （3）计算出这些家庭月用水量数据的平均数； （4）根据样本数据，估计鼓楼区直属机关300户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？ 【答案】（1）50，图见解析 （2）众数为11吨，中位数为11吨 （3）11.6吨 （4）210户 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体，理解题意，看懂统计图，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用月平均用水量为10吨的家庭数除以其所占的百分数可求得抽查家庭数，进而求得月平均用水量为11吨的家庭数即可补全条形统计图； （2）根据中位数和众数的求解方法求解即可； （3）根据平均数的求解公式求解即可； （4）用机关总家庭数乘以抽样中月平均用水量不超过12吨所占的百分比求解即可． 【小问1详解】 解：抽查家庭数为（户）， 月平均用水量为11吨的家庭数为（户）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：月平均用水量为11吨的家庭数最多，故众数为11吨； 将50个数据从小到大排列，第25、26个数据都为11，故中位数为（吨）； 【小问3详解】 解：这些家庭月用水量数据的平均数为 （吨）； 【小问4详解】 解：（户）， 答：估计鼓楼区直属机关300户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有210户． 19. 已知A产品的进价比B产品的进价每盒便宜10元，某商家用4000元购进的B产品和用3000元购进的A产品盒数相同． （1）求A产品和B产品每盒的进价； （2）A产品售价为每盒38元，B产品售价为每盒50元，该商家计划用不少于33000元购进两种产品共1000盒，且要求A产品的数量不少于B产品的2倍，假设购进产品能全部售出，求获利最多的进货方案及最大利润． 【答案】（1）A产品每盒的进价为30元，B产品每盒的进价为40元 （2）当购进A产品667盒，则购进B产品333盒时，利润最大，最大利润为8666元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，找准等量或不等量关系是解答的关键． （1）设A产品每盒的进价为x元，则B产品每盒的进价为元，根据“用4000元购进的B产品和用3000元购进的A产品盒数相同”列分式方程求解即可； （2）购进A产品a盒，则购进B产品盒，根据题意列不等式组求得a的取值范围，然后获利y元，，根据题意得到，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A产品每盒的进价为x元，则B产品每盒的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ， 答：A产品每盒的进价为30元，B产品每盒的进价为40元； 【小问2详解】 解：设购进A产品a盒，则购进B产品盒， 根据题意，， 解得， 设获利y元， 根据题意，， ∵， ∴y随a的增大而减小，又a为整数， ∴当时，y最大，最大值为， 此时， 答：当购进A产品667盒，则购进B产品333盒时，利润最大，最大利润为8666元． 20. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明过程见解答 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据线段的垂直平分线得出，根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理得出，求出，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可； （2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出，再求出面积即可． 【小问1详解】 证明：∵是的垂直平分线， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ， 设， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ∴菱形的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx＋1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），点P是直线AB上方第一象限内的动点． （1）求直线AB的表达式和点A的坐标； （2）点P是直线x＝2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标； （3）当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y＝x＋1，点A（0，1） （2）点P的坐标是（2，） （3）点P的坐标是（4，3）或（1，4）或（2，2） 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入直线的解析式，即可求得的值，然后在解析式中，令，求得的值，即可求得的坐标； （2）过点作，垂足为，求得的长，即可求得和的面积，二者的和即可表示，在根据的面积与的面积相等列方程即可得答案； （3）分三种情况：当为直角顶点时，过作轴于，过作于，由，可得①，②，即得；当为直角顶点时，过作轴于，由，可得，当为直角顶点时，过作轴于，同理可得． 【小问1详解】 解：直线交轴于点，交轴于点， ， ， 直线的解析式是． 当时，， 点； 【小问2详解】 解：如图1，过点作，垂足为，则有， 设， 时，， ， 在点的上方， ， ， 由点，可知点到直线的距离为1，即的边上的高长为1， ， ； 的面积与的面积相等， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：当直角顶点时，过作轴于，过作于， 如图 为等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，①， ②， 由①②解得，， ， ； 当为直角顶点时，过作轴于，如图 为等腰直角三角形， ，， 而， ， ，， ， ， 当为直角顶点时，过作轴于，如图 同理可证， ，， ， 综上所述，坐标为：或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等解决问题． 22. 综合与实践 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点转动．则下列结论正确的是_________（填序号即可）． ①；②；③四边形的面积总等于；④连接，总有． （2）如图2，矩形的对角线中点是矩形的一个顶点，与边相文于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转． ①猜想之间的数量关系，并进行证明； ②直接写出线段之间的数量关系为_________． （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，线段的长度为_________． 【答案】（1）①②③④ （2）①，证明见解析；② （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据证明，可得结论； （2）①猜想：，连接，根据证明，再利用勾股定理证明即可； ②在中，，结合①的结论即可求解； （3）设．分两种情形：①当点E在线段上时，②当点E在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解． 【小问1详解】 如图1中，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴故②正确， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④； 【小问2详解】 ①猜想：，理由如下： 连接， ∵O是矩形的中心， ∴点O是中心． ∴， 延长交于点G，连接， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； ②在中，， 由①得，， ∴； 【小问3详解】 设． ①当点E在线段上时， ∵， ∴ 在中，， ∴， 又由（2）知， ∴， ∴， 解得． ∴． ②当点E在延长线上时， 由（2）知． ∴， 在中，． ∴． 解得． ∴． 故的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$