精品解析：山东省临沂市郯城县2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

2023-2024学年度下学期期末学业质量监测八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 某校八年级有名同学参加“校园欺凌”手抄报比赛，前名同学获奖．小明已知自己的成绩，若小明想知道自己能否获奖，还需要知道这名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 在中，，，的对边分别记为，，，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于直线，下列说法错误的是（ ） A. 图象与轴交于点 B. 当时，点、在图象上，则 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象经过定点 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为（ ） A 4 B. C. 2 D. 7. 如图，已知，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为（　　） A. B. C. D. 8. 两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，分别是边，的中点，，分别是线段，的中点．当时，四边形是（ ） A 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 10. 如图，点为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）． A. B. 5 C. D. 7 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算________． 12. 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分100，期中早锻炼及体育课外活动占，期中成绩占，期末成绩占．小桐的三项成绩（百分制）依次是97，92，90．小桐这学期的体育成绩是________． 13. 我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是________尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺） 14. 如图，在直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，顶点，顶点，点在线段上，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数解析式是________． 15. 如图，在中，，，，点，分别是边，上动点，连接，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为________． 16. 甲、乙两车分别从、两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发后出发，到达地后停止行驶，甲车到达地后，立即按原路原速返回地（甲车调头的时间忽略不计），甲、乙两车距地的路程（单位：）与甲车出发时间（单位：）之间的函数图象如图所示，下列结论正确的有________． ①，两地相距；②乙车的速度约为；③；④甲车的速度为；⑤当乙车出发或，甲、乙两车相遇． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 计算：． 18. 为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级学生进行防溺水知识竞赛（满分分）．现分别在七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计、整理如下： 【收集数据】 七年级名学中竞赛成绩： ，，，，，，，，， 八年级名学生竞赛成绩： ，，，，，，，，， 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 八年级 80 81 81，84 解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，_______； （2）求出的值，并说明哪个班的成绩更稳定； （3）你认为哪个年级学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由． 19. 在数学活动课上，老师让学生用勾股定理内容设计一个测量旗杆的高度的方案．下面是小明同学的设计方案，请根据小明的设计方案计算出旗杆的高度． 课题 测量学校旗杆高度 工具 皮尺 方案 测量过程： 步骤一：如图1，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度； 步骤二：如图2，将绳子拉直，并且使绳子末端D处恰好接触地面，用皮尺测出BD距离． 数据 绳子垂到地面多出部分为1米 绳子末端D到旗杆的水平距离为5米 20. 如图是小明做“探究拉力与斜面高度的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为，实验时他用弹簧测力计拉着同一物块沿粗糙程度相同的斜面向上做匀速直线运动．实验的部分数据如下： 实验次数 斜面的倾斜程度 物块重量/ 斜面高度 沿斜面拉力 较缓 较陡 最陡 （1）根据上面数据分析，在弹性范围内，拉力与高度的变化规律是_______函数，斜坡越陡，越_______（选填“省力”或“费力”）． （2）求拉力与高度之间的函数解析式； （3）若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 21. 如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，． （1）试确定四边形的形状，并说明理由． （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明． 22. 请用描点法研究函数图象与性质，并用它完成下列各题． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 0 2 3 2 1 0 … ②描点③连线． （1）_______，并画出函数的图象； （2）当时，最大值_______，最小值_______； （3）求出函数与函数的交点坐标； （4）直接写出的解集． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． （1）求直线的解析式． （2）是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． （3）若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 24. 已知直线过正方形的顶点，与直线交于一点，与关于直线对称，连接，过点作于点，过点作于点． （1）如图1，当交点在线段上时，_______，，与之间大小关系为：_______． （2）如图，当交点在线段右侧上时，（）中的结论还成立吗？并说明理由． （3）当交点在线段左侧上时，请直接写出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期期末学业质量监测八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】由题意得，x-2＞0， 解得x>2． 故选B． 【点睛】考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2. 某校八年级有名同学参加“校园欺凌”手抄报比赛，前名同学获奖．小明已知自己的成绩，若小明想知道自己能否获奖，还需要知道这名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．本题人成绩的中位数是第名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】解：由于总共有个人，且他们的成绩各不相同，第名的成绩是中位数，要判断是否进入前名，故应知道自己的成绩和中位数． 故选：B． 3. 在中，，，的对边分别记为，，，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理，分别根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由，，得，则此选项能判定是直角三角形，不符合题意； B、由得，即，则此选项能判定是直角三角形，不符合题意； C、由，得，则此选项能判定是直角三角形，不符合题意； D、由得，则此选项不能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：D． 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的意义，绝对值的化简，熟练掌握利用二次根式运算法则和性质是解题的关键． 根据二次根式的加减运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断；根据绝对值的意义对D选项进行判断． 【详解】A． ，原式计算错误，故该选项不符合题意； B． ，原式计算正确，故该选项符合题意； C．，原式计算错误，故该选项不符合题意； D．，原式计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 关于直线，下列说法错误的是（ ） A. 图象与轴交于点 B. 当时，点、在图象上，则 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象经过定点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数值、判断一次函数图像的增减性、比较函数值大小、判断一次函数图像经过的象限等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．将代入函数解析式并计算的值，即可判断选项A；结合，易得该一次函数图像的增减性，再进行比较即可判断选项B；根据该函数的的值，即可确定该函数图象经过的象限，即可判断选项C；计算当时的函数值，即可判断选项D． 【详解】解：A、对于函数，当时，，即图象与轴的交于点，故选项正确，不符合题意； B、对于函数，因为，所以随着的增大而减小，点、在图象上，且，则，故本选项正确，不符合题意； C、当时，则函数的图象经过第二、三、四象限，但是当时，则函数的图象经过第一、二、三象限，本选项错误，符合题意； D、 对于函数，当时，，即图象经过定点，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质以及，可以得到是等边三角形、，再根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形 ∴． 故选：C． 7. 如图，已知，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，由题意得：，即可求解 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴数轴上C点所表示的数为：， 故选：D 8. 两个一次函数与（，为常数）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数关系，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象判断a、b的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的a、b的正负一致，即为正确选项； 【详解】A、的图象过一二三象限，所以，；的图象过二三四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； B、的图象过一二三象限，所以，；的图象过一三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； C、的图象过一三四象限，所以，；的图象过一二四象限，所以，，两个图象判断a、b的取值一致，故该选项符合题意； D、的图象过一二四象限，所以，；的图象过二三四象限，所以，，两个图象判断出的a、b的取值矛盾，故该选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在矩形中，，分别是边，的中点，，分别是线段，的中点．当时，四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、正方形的判定、三角形中位线定理等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键．由矩形的性质，得，，根据，得，，从而得，又证明四边形是平行四边形，根据，，可得四边形是正方形． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， ∵，分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、、分别是、、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴四边形是正方形， 故选∶D． 10. 如图，点为平行四边形的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）． A. B. 5 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明是的中位线成为解题的关键． 如图：连接交于O，由平行四边形的性质可得，进而得到；再说明是的中位线，最后根据中位线的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接交于O， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴． 故选B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的除法，掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的除法法则，即可求解； 【详解】解：， 故答案为：． 12. 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分100，期中早锻炼及体育课外活动占，期中成绩占，期末成绩占．小桐的三项成绩（百分制）依次是97，92，90．小桐这学期的体育成绩是________． 【答案】92 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 根据三项成绩各自占得百分比，利用加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： （分） 他的学期体育成绩是92分； 故答案为：92． 13. 我国古代数学中有这样一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高12尺，粗3尺，有一根藤条从树根缠绕而上，缠绕3周到达树顶，则这根藤条的长度是________尺（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是底面圆周长为3尺） 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答，即可求解． 【详解】解：如图， 在直角三角形中， ∵尺，尺， ∴尺， 即这根藤条的长度是15尺． 故答案为：15 14. 如图，在直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，顶点，顶点，点在线段上，若直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、求一次函数解析式、平移的性质等知识，先求出点，点A向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点B，则点向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点，连接、，相交于点M，由中点坐标公式求出点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：∵在直角坐标系中，平行四边形的边在轴上， ∴， ∵顶点，顶点，点在线段上， ∴点，点A向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点B， ∴点向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点， 连接、，相交于点M，如图， 则， 则点M的坐标为， ∵直线经过点，且将平行四边形分割成面积相等的两部分， ∴图象过点M和点P， 设直线即直线l的函数解析式是, ∴， 解得：， ∴直线l的函数解析式是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理，直角三角形的性质．连接，过点D作与G，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长，再由平行四边形的性质可得，，从而得到，再由直角三角形的性质，可得，然后根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作与G， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 16. 甲、乙两车分别从、两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发后出发，到达地后停止行驶，甲车到达地后，立即按原路原速返回地（甲车调头的时间忽略不计），甲、乙两车距地的路程（单位：）与甲车出发时间（单位：）之间的函数图象如图所示，下列结论正确的有________． ①，两地相距；②乙车的速度约为；③；④甲车的速度为；⑤当乙车出发或，甲、乙两车相遇． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．根据题意，两车距地的路程为因变量，由图象可知两车起始距离为，从而得到甲、乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量即可． 【详解】解：由图像可知：因乙车在甲车出发后出发，到达地后停止行驶，所以，两地相距 ，故正确； 由题意得：乙车的行驶速度是（），故错误； 由图像可知：（），故错误； 由题意得：甲车的行驶速度是 （），故正确； 设当乙车出发 小时，甲、乙两车相遇，由题意得： 第一次相遇得， 解得， 第二次相遇得， 解得， 综上所述：当乙车出发 或小时，甲、乙两车相遇，故正确； 综上分析可知，正确的有． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式、平方差公式、二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式，即可求出答案． 详解】解：原式 ． 18. 为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级学生进行防溺水知识竞赛（满分分）．现分别在七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计、整理如下： 【收集数据】 七年级名学中竞赛成绩： ，，，，，，，，， 八年级名学生竞赛成绩： ，，，，，，，，， 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 八年级 80 81 81，84 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，_______； （2）求出的值，并说明哪个班的成绩更稳定； （3）你认为哪个年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由． 【答案】（1）， （2），八年级的成绩更稳定 （3）八年级的总体水平较好．理由见解析 【解析】 【分析】（1）中位数的定义求出，根据众数定义求出的值； （2）根据方差公式及方差的意义求解即可； （3）根据中位数和众数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：将七年级的成绩，从小到大排序后，最中间的两个数为，， ， 七年级名学生成绩中出现次数最多的是，故众数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：八年级名同学的平均数为：， ∴ ； ∵， ∴， ∴八年级学生的成绩比较稳定． 【小问3详解】 解：八年级的总体水平较好．理由如下， ∵七年级和八年级的平均数相同，七年级的中位数和众数都小于八年级的中位数和众数， ∴八年级的总体水平较好． 【点睛】本题考查了方差、中位数，众数，利用中位数和众数作决策，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 19. 在数学活动课上，老师让学生用勾股定理内容设计一个测量旗杆的高度的方案．下面是小明同学的设计方案，请根据小明的设计方案计算出旗杆的高度． 课题 测量学校旗杆高度 工具 皮尺 方案 测量过程： 步骤一：如图1，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度； 步骤二：如图2，将绳子拉直，并且使绳子末端D处恰好接触地面，用皮尺测出BD距离． 数据 绳子垂到地面多出部分为1米 绳子末端D到旗杆的水平距离为5米 【答案】旗杆的高度为12米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程是解问题的关键． 先设旗杆的高度，并表示绳子的长度，再根据勾股定理列方程，求出解即可． 【详解】解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆长为米，则绳子长为米 由图2可得，在中，米， 由勾股定理得： ， 解得：， 米， 答：旗杆的高度为12米． 20. 如图是小明做“探究拉力与斜面高度的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为，实验时他用弹簧测力计拉着同一物块沿粗糙程度相同的斜面向上做匀速直线运动．实验的部分数据如下： 实验次数 斜面的倾斜程度 物块重量/ 斜面高度 沿斜面拉力 较缓 较陡 最陡 （1）根据上面数据分析，在弹性范围内，拉力与高度的变化规律是_______函数，斜坡越陡，越_______（选填“省力”或“费力”）． （2）求拉力与高度之间的函数解析式； （3）若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 【答案】（1）一次函数，费力 （2）与的函数解析式为 （3）装置高度h的取值范围为 【解析】 【分析】（）根据表格数据即可判断求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）根据题意可得，即得，解不等式即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意，判断出于的函数关系并求出它们的函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由表格可知，当斜面高度由增加到时，拉力增加了， 当斜面高度由增加到时，拉力增加了， ∴拉力是高度的一次函数， 由表格可知，斜坡越陡，越费力， 故答案为：一次，费力； 【小问2详解】 解：设，把和代入得， ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵弹簧测力计的最大量程是， ∴， ∴， 解得， 又∵斜面的初始高度为， ∴装置高度的取值范围． 21. 如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，． （1）试确定四边形的形状，并说明理由． （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明． 【答案】（1）四边形是矩形，理由见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得，，从而，再根据四边形的性质得，，从而证明，，四边形是平行四边形，根据得是矩形； （2）当时，根据平行线的性质证明即可得矩形为正方形． 【小问1详解】 解：四边形是矩形理由如下， ∵，为的中点， ，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ．，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是矩形； 【小问2详解】 解：当时，四边形为正方形， 证明：∵四边形为平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形． 22. 请用描点法研究函数图象与性质，并用它完成下列各题． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 0 2 3 2 1 0 … ②描点③连线． （1）_______，并画出函数的图象； （2）当时，最大值_______，最小值_______； （3）求出函数与函数的交点坐标； （4）直接写出解集． 【答案】（1），画图见解析 （2）3， （3）交点坐标为， （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数值，画函数图象，解题的关键是数形结合． （1）将，代入求出，然后根据表格中的数据画图即可； （2）首先得到当时，，然后根据图象求解即可； （3）分别得到和时函数的表达式，然后分别和函数联立求解即可； （4）首先画出的图象，然后由（3）得结论求解即可． 【小问1详解】 将，代入 得，， 画图如下： 【小问2详解】 当时， ∴由图象可得，当时，最大值，最小值； 【小问3详解】 当时， ∴联立和得， 解得 ∴和的交点坐标为； 当时， ∴联立和得， 解得 ∴和的交点坐标为； 综上所述，函数与函数的交点坐标为，； 【小问4详解】 如图所示， ∵函数与函数交于点， ∴由图象可得，当或时，函数图象在函数图象上面 ∴的解集为或． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点，点直线上运动． （1）求直线的解析式． （2）是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． （3）若点在轴上，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）存在，或 （3）存在，，，， 【解析】 【分析】本题主要考查求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、菱形的性质等知识点，掌握数形结合思想和分类讨论思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得的面积，进而求得，设，然后根据三角形面积公式列绝对值方程求得a，进而确定点M的坐标； （3）分是菱形的一条边、是菱形的一条对角线两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 则有：，解得：， ∴直线解析式为 【小问2详解】 解：∵直线的解析式为， ∴,, ∵点， ∴，即， 设， ∴，解得：或1， ∴或 【小问3详解】 解：存在， ∵直线的解析式为， ∴,， ∴； ①当是菱形的一条边时， 当点与点B关于x轴对称时，则点是点A关于y轴的对称点，四边形是菱形； 当点Q在x轴上方，菱形为时，则，即点； 同理：当菱形为时，点； ②当是菱形的对角线时， 设点，点， ∴的中点即为的中点，且（即：）， ∴，，， ∴， ∴； 综上，点Q坐标为，，， 24. 已知直线过正方形的顶点，与直线交于一点，与关于直线对称，连接，过点作于点，过点作于点． （1）如图1，当交点在线段上时，_______，，与之间大小关系为：_______． （2）如图，当交点在线段右侧上时，（）中的结论还成立吗？并说明理由． （3）当交点在线段左侧上时，请直接写出结论． 【答案】（1）， （2）不成立，，．理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）过点作，连接，由正方形的性质得，，进而根据同角的余角相等证明，根据对称性得垂直平分，，从而证明点，，三点共线，又证四边形是矩形，得，，再证（），得，即，从而可得，再利用三角形的内角和可得； （2）过点作，连接，由（）得点，，三点共线，四边形是矩形，（），从而，，，，即，于是可得，再由，得，从而得； （3）过点作，连接，由（）得点，，三点共线，，四边形是矩形，，，，，再证（），得，即，从而得，． 【小问1详解】 解：如图，过点作，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ∴垂直平分，， ∵， ∴点，，三点共线， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， 在和中， ∴（）， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（）中的结论不成立，，，理由如下： 如图，过点作，连接， 由（）得点，，三点共线，四边形是矩形，（）， ∴，，，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（）中的结论不成立，，； 【小问3详解】 解：，，理由如下： 如图，过点作，连接， 由（）得点，，三点共线，，四边形是矩形，，，，， ∴，，， ∴， ∴在和中， ∴（）， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$