精品解析：贵州省遵义市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试题

遵义市2023~2024学年度第二学期期末质量监测 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，向量，，，则向量可以表示为（ ） A. B. C. D. 4 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（ ） A. 82.4 B. 82.7 C. 83.4 D. 83.5 6. 已知，，，则三角形的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 7. 遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C、D两观测点，且C、D与“大吉他”建筑的底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A的仰角分别为，，测得，则“大吉他”建筑的估计高度为多少米（ ） A. 米 B. 34米 C. 米 D. 30米 8. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 函数在单调递减 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（是虚数单位），则下列正确的是（ ） A. B. z的虚部是3 C. 若是实数，则 D. 复数z的共轭复数为 10. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若，则事件A与相互独立 C. 若A与B互斥，则 D. 若B发生时A一定发生，则 11. 将函数图象上所有点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列关于说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为1 B. 在上增函数 C. 对于任意都有 D. 若方程在上有且仅有4个根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边经过点，则的值为____________． 13. 若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为_______． 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为4，P是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量， （1）求； （2）若向量，向量与向量共线，求m值． 16. 2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数； （2）若在抽取80名学生中，从成绩在，，中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率． 17. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角B； （2）若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 18. 已知函数 （1）求函数的最小值，以及取得最小值时x的集合； （2）已知，，，求的值． 19. 若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）； （2）证明，上是上凸函数； （3）若A、B、C、，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 遵义市2023~2024学年度第二学期期末质量监测 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集和补集含义即可得到答案. 【详解】由题意得，则. 故选：C. 2. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据正弦定理即可得到答案. 【详解】根据正弦定理有，即，解得. 故选：D. 3. 如图，向量，，，则向量可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用图形结合向量线性运算即可. 【详解】. 故选：A. 4 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再利用二倍角正弦公式即可. 【详解】因为，，则， 则. 故选：B. 5. 某中学高一年级甲、乙两班参加了物理科的调研考试，其中甲班40人，乙班35人，甲班的平均成绩为82分，乙班的平均成绩为85分，那么甲、乙两班全部75名学生的平均成绩是多少分（ ） A. 82.4 B. 82.7 C. 83.4 D. 83.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数计算公式直接求解即可. 【详解】全班名学生的平均成绩. 故选：C. 6. 已知，，，则三角形的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 7. 遵义市正安县被誉为“中国吉他之乡”，正安县地标性建筑“大吉他”位于正安县吉他广场的中心，现某中学数学兴趣小组准备在吉他广场上对正安“大吉他”建筑的高度进行测量，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距30米的C、D两观测点，且C、D与“大吉他”建筑的底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得“大吉他”建筑顶部A的仰角分别为，，测得，则“大吉他”建筑的估计高度为多少米（ ） A. 米 B. 34米 C. 米 D. 30米 【答案】D 【解析】 【分析】根据仰角可得，，在三角形利用余弦定理即可求解. 【详解】设教学楼的高度为， 在直角三角形中，因为，所以， 在直角三角形中，因为，所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 代入数值可得， 解得或（舍）， 故选：D. 8. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 函数在单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断. 【详解】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（是虚数单位），则下列正确的是（ ） A. B. z的虚部是3 C. 若是实数，则 D. 复数z的共轭复数为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，根据复数的模的计算公式即可判断；对B，根据复数虚部的定义即可判断；对C，根据复数的分类可判断；对D，根据共轭复数的定义即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，复数的虚部为3，故B正确； 对于C，因为是实数，则，即，故C错误； 对于D，复数的共轭复数为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若，则事件A与相互独立 C. 若A与B互斥，则 D. 若B发生时A一定发生，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B相互独立，则， 所以，故A对； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若A与B互斥，则，故C错； 对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对． 故选：ABD 11. 将函数图象上所有的点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列关于说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为1 B. 在上为增函数 C. 对于任意都有 D. 若方程在上有且仅有4个根，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象变换得到的解析式，进而可判断A，B，C选项；对D，题意转化为在上有且仅有4个根，根据正弦函数的性质求解判断. 【详解】把函数图象上所有的点向左平移个单位，可得， 再把所得各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到函数， 对于A，周期，故A正确； 对于B，令，，即，， 所以函数的单调递增区间为，，故B错误； 对于C， .故C正确； 对于D，根据题意方程即在上有且仅有4个根， ， 由正弦函数性质得，解得，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边经过点，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：． 考点：三角函数的定义 13. 若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象求得，得到，再由和题设条件，求得，即可求得函数的解析式. 【详解】由函数的图象可得， 所以，即， 又由，即，可得， 即， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为4，P是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解. 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设， 则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量， （1）求； （2）若向量，向量与向量共线，求m的值． 【答案】（1）5 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，向量模的公式运算得解； （2）根据向量的坐标运算求得和坐标，再由向量共线即可计算出的值. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，， 又与共线，所以， 所以，解得或. 所以的值为或. 16. 2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场成功发射，这是我国航天器继嫦娥五号之后，第二次实现月球轨道交会对接，为普及探月知识，某校开展了“探月科普知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“探月达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数； （2）若在抽取的80名学生中，从成绩在，，中采用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中选择2人，求被选中的2人均为“探月达人”的概率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，结合分位数的意义列式计算即得. （2）求出抽取的6人中，“探月达人”人数，再利用列举法求出概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，成绩在内的频率依次为： ，则成绩在80分以下的频率为，成绩在90分以下频率为， 因此参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为，由，解得， 所以参加这次竞赛的学生成绩的75百分位数为. 【小问2详解】 由于， 则6人中，成绩在内的学生分别为3人，2人，1人， 其中有3人为“探月达人”，设为，，，有3人不是“探月达人”，设为， 则从6人中选择2人作为学生代表，有，共15种， 其中2人均为“探月达人”为，共3种， 所以被选中的2人均为“探月达人”的概率为. 17. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角B； （2）若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理即可得到答案； （2）根据面积法得，再利用乘“1”法即可得到最小值. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得，即， 又因为，则， 因为，所以. 【小问2详解】 因为 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当时，取得最小值. 18. 已知函数 （1）求函数的最小值，以及取得最小值时x的集合； （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）最小值为，集合为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得，则得到其最小值和此时所对应的的集合； （2）首先求出，再计算出，，，最后化简为繁，利用两角和的余弦公式即可得到答案. 【小问1详解】 当，即时，取得最小值， 此时的集合为. 【小问2详解】 ， 则，因为，所以， 又因为，所以，所以， 因为， 所以， 因为，所以， . 19. 若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题： （1）判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）； （2）证明，上是上凸函数； （3）若A、B、C、，且，求的最大值． 【答案】（1）下凸函数，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作差，化简即可证明； （2）任意取，作差，再分析其符号即可； （3）根据（2）中结论得，代入计算即可得到答案. 【小问1详解】 下凸函数，理由如下：任意取， 因为 即，当且仅当时等号成立， 故下凸函数. 【小问2详解】 任意取，不妨设， ， 由于，根据在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以，即函数是上凸函数. 【小问3详解】 当，且， 由（2）知是上凸函数， 所以， 故 所以当且仅当时等号成立， 即的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是作差因式分解得，再分析其正负即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$