精品解析：黑龙江省鸡西市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（二）

2023—2024年八年级下学期综合练习（二） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 三条线段首尾相连，不能围成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 直线y=2x-1不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 甲、乙、丙三个旅游团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个旅游团游客年龄的方差分别是，，．导游小方最喜欢带游客年龄相近的旅游团，若在这三个旅游团中选择一个，则他应选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 哪一个都可以 5. 如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知点，是一次函数的图象上的两个点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 7. 如下图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，在注水的过程中，下列图像能大致反映水面高度h随注水时间t变化的规律的是（） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 12 9. 如图，在等边中，边在轴上，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向右平移3个单位，当点恰好落在直线上时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列四个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 化简二次根式的结果为______． 12. 函数自变量x的取值范围是 _____. 13. 将直线y＝2x+3向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为 ___________． 14. 如图，中，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为则线段的长为_______． 15. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是_______分． 16. 如图，在中，，，点D在边上，以为边作，则的长度为______． 17. 关于的二元一次方程组的解为，则一次函数的图像和一次函数的图像交点坐标是______． 18. 如图，为矩形的边上一动点，为的中点，连接，，若，，则的最小值为______． 19. 在中，，，．以为边作周长为18的矩形，，分别为，的中点，连接，则线段的长为________． 20. 如图，在正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形；延长交直线于点，作正方形；延长交直线于点，作正方形依此规律，则的长为______． 三、解答题（满分60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，且这两条直线交于点． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）这两条直线交点的坐标为______； （3）求出的面积； （4）直线写出使函数的值大于的值时自变量的取值范围． 24. 为了加强对青少年防溺水安全教育，4月初某校开展了主题为“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．学校从参赛学生中随机收集了20名学生的成绩（单位：分），并进行了整理和分析． 整理数据： 成绩/分 86 87 89 91 95 96 97 99 100 学生人数 2 2 2 4 1 3 3 2 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 93 解决问题： （1）直接写出：上面表格中的 ， ； （2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，则“优秀”等级所占的百分率为 ； （3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数． 25. 淄博烧烤凭实力火爆出圈，“进淄赶烤”成为今年五一黄金周期间旅游的新热潮，更推动了当地其他旅游行业的经济发展．某旅游纪念品商店销售，两种伴手礼，已知销售一件种伴手礼可获利60元，销售一件种伴手礼可获利80元．该旅游纪念品商店计划一次性购进，两种伴手礼共40件，将其全部销售完可获总利润为元，设购进种伴手礼件． （1）求与的函数关系式； （2）若本次购进种伴手礼的数量不超过种伴手礼的3倍，当购进种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 26. 甲、乙两车在依次有三地的公路上行驶，甲车从地出发，匀速向地行驶，途中到达地，并在地停留后以原速驶向地，乙车在甲车出发后，从地出发匀速驶向地，到达地后立即掉头原路原速返回地（掉头时间忽略不计）．甲、乙两车距各自出发地的路程（单位：）与甲车行驶时间（单位：）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，回答下列问题： （1）甲车的速度是 ，，两地的路程是 ； （2）求甲车从地到地行驶过程中的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）乙车出发多少小时，两车距地的路程和为？请直接写出答案． 27. ，，垂足为，点在直线上，，，，垂足为． （1）当点在直线与之间时，如图①，求证：； （2）当点在直线上方时，如图②，当点在直线下方时，如图③，请分别写出线段，与之间的数量关系，不需要证明． 28. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点，连接． （1）菱形的边长为 ； （2）求直线的解析式； （3）动点从点出发，沿折线以1个单位长度/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒． ①求与之间的函数关系式； ②在点的运动过程中，当时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024年八年级下学期综合练习（二） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除，熟练掌握二次根式的加减乘除法则是解题关键． 2. 三条线段首尾相连，不能围成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可求解． 【详解】解：A、因为 ，所以，，能围成直角三角形，故本选项不符合题意； B、因为 ，所以，，能围成直角三角形，故本选项不符合题意； C、因为 ，所以，，能围成直角三角形，故本选项不符合题意； D、因为 ，所以，，不能围成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 3. 直线y=2x-1不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：一次函数的一次项系数，常数项， 直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键． 4. 甲、乙、丙三个旅游团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是35岁，这三个旅游团游客年龄的方差分别是，，．导游小方最喜欢带游客年龄相近的旅游团，若在这三个旅游团中选择一个，则他应选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 哪一个都可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴最小， ∴若在这三个旅游团中选择一个，则他应选甲， 故选：A． 5. 如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，，， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 6. 已知点，是一次函数的图象上的两个点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数性质，，，则y 随 x的增大而增大． 【详解】解：∵ ∴． 故选：C 【点睛】本题考查一次函数的性质；理解一次函数的增减性性质是解题的关键． 7. 如下图，匀速地向此容器内注水，直到把容器注满，在注水的过程中，下列图像能大致反映水面高度h随注水时间t变化的规律的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析: 由于三个容器的高度相同,粗细不同,那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段. 详解: 最下面的容器最小，用时最短，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器较粗，那么用时较短． 故选B． 点睛: 此题主要考查了函数图象,解决本题的关键是根据容器的高度相同, 每部分的粗细不同得到用时的不同. 8. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质可得，再根据三角形中位线定理即可得． 【详解】解：在菱形中，周长为24， ， 为边的中点， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 9. 如图，在等边中，边在轴上，点的坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向右平移3个单位，当点恰好落在直线上时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质求得B点坐标，然后根据平移的性质求得B′坐标，代入解析式求解． 【详解】解：过点B作BE⊥x轴， ∴在等边△ABC中，点的坐标为 ∴，， ∴B点坐标为，点的对应点的坐标为 将代入中， ，解得： ∴的坐标为 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，掌握一次函数图像特点及等边三角形的性质，利用数形结合思想解题是关键． 10. 如图，是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列四个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④．其中结论正确的序号是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，延长交于点，延长交于，证明，得出，，即可判断①；得出，即可判断④；求出即可判断②，根据当时或，是等腰三角形，即可判断③． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∴，故④正确； ∵，， ∴，即，故②正确； ∵是正方形的对角线上一点，， ∴当时或，是等腰三角形，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 化简二次根式的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的化简公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟记化简方法是解题关键． 12. 函数自变量x的取值范围是 _____. 【答案】x≥1且x≠3 【解析】 【分析】根据分式成立的条件，二次根式成立的条件列不等式组，从而求解. 【详解】解：根据题意得：， 解得x≥1，且x≠3， 即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3． 故答案为x≥1且x≠3． 【点睛】本题考查函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件． 13. 将直线y＝2x+3向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为 ___________． 【答案】 【解析】 【详解】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可. 【解答】解：将直线y＝2x+3向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为y＝2x+3﹣4，即y＝2x﹣1. 故答案为：y＝2x﹣1. 【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”. 14. 如图，中，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为则线段的长为_______． 【答案】8. 【解析】 【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18−x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18−x， ∵D是BC的中点， ∴BD＝6． 在Rt△NBD中，由勾股定理得：x2＋62＝（18−x）2， 解得x＝8． 即BN＝8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据翻折性质找出线段之间的关系，并结合勾股定理建立方程，综合性较强． 15. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是_______分． 【答案】78 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数的求法，掌握加权平均数公式是解题关键．本问题是求小红三项成绩的加权平均数，利用加权平均数的计算公式，列式算出答案即可． 【详解】解：小红的平均成绩为：（分） 故答案为：78． 16. 如图，在中，，，点D在边上，以为边作，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据平行四边形对边相等即可得到答案 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟知平行四边形对边相等是解题的关键． 17. 关于的二元一次方程组的解为，则一次函数的图像和一次函数的图像交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，掌握两条直线的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解是解题的关键．根据二元一次方程组的解即为两条直线的交点的横纵坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为， 即次方程组的解为， ∴一次函数的图像和一次函数的图像交点坐标是； 故答案为：． 18. 如图，为矩形的边上一动点，为的中点，连接，，若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、矩形的性质、勾股定理，作点关于的对称点，连接，则，，从而得出，，连接交于，当、、在同一直线上时，的值最小，为，再由矩形的性质结合勾股定理求出即可得解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ， 则，， ∴，， 连接交于， ∴当、、在同一直线上时，的值最小，为， ∵四边形为矩形，为的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 19. 在中，，，．以为边作周长为18的矩形，，分别为，的中点，连接，则线段的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意得中BC边上的高为2，矩形BE=3，分类讨论：①当矩形BCDE和在BC同侧时，过点A作，垂足为F，反向延长AF，与ED交于点G，连接AD，则，，，即AG=1，在中，根据勾股定理得，，根据M，N分别为AC和CD的中点，得；②当矩形BCDE和在BC异侧时，过点A作，垂足为F，反向延长AF，与ED交于点G，连接AD，则，，F为ED的中点，即，，在中，根据勾股定理得，，根据M，N分别为AC和CD的中点，得，综上，即可得． 【详解】解：∵，， ∴中BC边上的高为：， ∵矩形BCDE的周长为18，， ∴， ①当矩形BCDE和在BC同侧时， 如图所示，过点A作，垂足为F，反向延长AF，与ED交于点G，连接AD， 则，，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∵M，N分别为AC和CD的中点， ∴； ②当矩形BCDE和在BC异侧时， 如图所示，过点A作，垂足为F，反向延长AF，与ED交于点G，连接AD， 则，，F为ED的中点， ∴，， 在中，根据勾股定理得， ， ∵M，N分别为AC和CD的中点， ∴， 综上，MN的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形，矩形，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点和分类讨论． 20. 如图，在正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形；延长交直线于点，作正方形；延长交直线于点，作正方形依此规律，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、图形类变化规律，由正方形的性质得出，，，从而得出，由含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，推出，从而得出规律，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， …， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（满分60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算方法与运算顺序是解此题的关键． （1）先计算乘方、算术平方根、零指数幂、二次根式的乘法，再计算加减即可得出答案； （2）先求算术平方根、绝对值，利用平方差公式计算，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】将被除数中分子因式分解，括号里先通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，然后约分，得到最简结果，代入x的值计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 当时，原式． 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应先将多项式因式分解后再约分． 23. 如图，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，且这两条直线交于点． （1）点的坐标为______，点的坐标为______； （2）这两条直线交点的坐标为______； （3）求出的面积； （4）直线写出使函数的值大于的值时自变量的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征列式求解即可； （2）解析式联立组成二元一次方程组，解方程组即可； （3）根据三角形面积公式计算即可； （4）根据函数值的大小比较，找到两直线的交点坐标，即可求得． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 即； 在中，当时，, 即 ； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由题意联立方程组： ， 解得： ∴； 故答案为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴ ， ∴， 故的面积； 【小问4详解】 解：由图象可知，使函数的值大于函数的值的自变量x的取值范围为． 【点睛】本题考查两条直线平行或相交问题、一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标． 24. 为了加强对青少年防溺水安全教育，4月初某校开展了主题为“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．学校从参赛学生中随机收集了20名学生的成绩（单位：分），并进行了整理和分析． 整理数据： 成绩/分 86 87 89 91 95 96 97 99 100 学生人数 2 2 2 4 1 3 3 2 1 分析数据： 平均数 众数 中位数 93 解决问题： （1）直接写出：上面表格中的 ， ； （2）若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，则“优秀”等级所占的百分率为 ； （3）请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数． 【答案】（1）91；93 （2） （3）750人 【解析】 【分析】本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键． （1）根据众数的定义求出a，根据中位数的定义求出b； （2）根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率； （3）根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数． 【小问1详解】 解：∵分数为91分的人数最多， ∴众数为91，即， 把20名学生的成绩从小到大排列后位于第10位和11位的分别为91，95， ∴中位数，即； 故答案为：91；93 【小问2详解】 解：， 即“优秀”等级所占的百分率为； 故答案为： 【小问3详解】 解：人， 即该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数750人． 25. 淄博烧烤凭实力火爆出圈，“进淄赶烤”成为今年五一黄金周期间旅游的新热潮，更推动了当地其他旅游行业的经济发展．某旅游纪念品商店销售，两种伴手礼，已知销售一件种伴手礼可获利60元，销售一件种伴手礼可获利80元．该旅游纪念品商店计划一次性购进，两种伴手礼共40件，将其全部销售完可获总利润为元，设购进种伴手礼件． （1）求与的函数关系式； （2）若本次购进种伴手礼的数量不超过种伴手礼的3倍，当购进种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式； （2）根据本次购进种伴手礼的数量不超过种伴手礼的3倍，可以得到x的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到如何购进A、B两种纪念品使得所需总费用最低； 【小问1详解】 由题意得： ∴ 【小问2详解】 由题意得： 解得 由（1）可知， ∵ ∴随的减小而增大， ∵ ∴当时，有最大值 ∴ 答：当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式，利用一次函数的性质求最值 26. 甲、乙两车在依次有三地的公路上行驶，甲车从地出发，匀速向地行驶，途中到达地，并在地停留后以原速驶向地，乙车在甲车出发后，从地出发匀速驶向地，到达地后立即掉头原路原速返回地（掉头时间忽略不计）．甲、乙两车距各自出发地的路程（单位：）与甲车行驶时间（单位：）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，回答下列问题： （1）甲车的速度是 ，，两地的路程是 ； （2）求甲车从地到地行驶过程中的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）乙车出发多少小时，两车距地的路程和为？请直接写出答案． 【答案】（1）， （2） （3）当乙车出发或或小时，两车距地的路程和为 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、求一次函数解析式、一元一次方程的应用，采用数形结合和分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象结合速度路程时间，计算即可得出甲车的速度，再由路程速度时间即可得出，两地的路程； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出乙车的速度，设乙车出发小时，两车距地的路程和为，分三种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图可得： 甲车的速度是， ，两地的路程是； 【小问2详解】 解：由题意可得：、两地的路程为， 设甲车从地到地行驶过程中的函数解析式为， 将，代入函数解析式得：， 解得：， ∴甲车从地到地行驶过程中的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由图可得：乙车的速度为：， 设乙车出发小时，两车距地的路程和为， 当甲未到达地前， 由题意得：， 解得：， 当甲到达地时，由图象可得，当时，两车距地的路程和为； 当甲到达地后再次出发时， 由题意得：， 解得：； 综上所述，当乙车出发或或小时，两车距地的路程和为． 27. ，，垂足为，点在直线上，，，，垂足为． （1）当点在直线与之间时，如图①，求证：； （2）当点在直线上方时，如图②，当点在直线下方时，如图③，请分别写出线段，与之间的数量关系，不需要证明． 【答案】（1） 证明：延长交于点F，如图所示： ∵， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． （2）； 【解析】 【分析】（1）延长交于点F，证明，可得，再由四边形是矩形，可得，即可求解； （2）如图②延长交于点F，证明，可得，再由四边形是矩形，可得，即可求解；如图③设交于点F，证明，可得，再由四边形是矩形，可得，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图②结论：；理由如下： 延长交于点F，如图所示： ∵， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 图③结论：；理由如下： 设交于点F，如图所示： ∵， ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点，连接． （1）菱形的边长为 ； （2）求直线的解析式； （3）动点从点出发，沿折线以1个单位长度/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒． ①求与之间的函数关系式； ②在点的运动过程中，当时，请直接写出的值． 【答案】（1）5 （2） （3）①；②1或 【解析】 【分析】（1）在中利用勾股定理即可求得菱形的边长； （2）根据（1）即可求的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线的解析式； （3）①根据求得M到直线的距离为h，然后分成P在上和在上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解；②代入，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴轴，， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 即菱形的边长为5； 故答案为：5 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：①设M到直线的距离为h， 对于， 当时，， ∴点M的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 当点P在边上时，，此时， ∴； 当点P在边上时，，此时， ； 综上所述，与之间的函数关系式为； ②∵， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，t的值为1或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及菱形的性质，根据三角形的面积关系求得M到直线的距离h是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $