精品解析：广东省肇庆市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

保密★启用前 肇庆市2023-2024学年第二学期高二年级期末教学质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数（为自然对数的底数），则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知某独立性检验中，由计算出，若将列联表中的数据分别变成，计算出的，则（ ） A. B. C. D. 3. 求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个数为（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 4. 已知函数，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，若方差，则值为（ ） A. B. C. D. 6. 直线与曲线相切于点，则值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. 4048 B. C. 1 D. 8. 已知函数，且，为自然对数的底数恰有两个极值点，，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于一元线性回归的叙述正确的有（ ） A. 若相关系数，则与的相关程度很强 B. 残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用模型比较合适 C. 决定系数越大，模型的拟合效果越差 D. 经验回归直线经过所有样本点 10. 已知是互不相等的正数，随机变量的分布列如下表所示， 若既成等差数列也成等比数列，的期望和方差分别为和，则（ ） A. B. C. D. 11. 微分方程（由导函数求原函数）是微积分的重要分支，例如根据导函数，逆用复合函数的求导法则得（为常数）．已知函数的导函数满足，且，则下列说法正确的有（ ） A B. 若，则（为常数） C. 是函数的极值点 D. 函数在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量服从正态分布，且，则______． 13. 用模型拟合一组数据，令，将模型转化为经验回归方程，则______． 14. 抛掷一校质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则______，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性． 16. 小华同学设置手机密码的六位数字时，准备将的前6位数字（1，1，3，4，5，9）按照一定的顺序进行设置． （1）记事件：相同的数字相邻，求事件发生的概率； （2）记事件：相同的数字不相邻，求事件发生的概率； （3）记事件：相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，求在事件发生的条件下，事件发生的概率． 17. 如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为． （1）求和的值； （2）推测与的关系，并求出的表达式． 18. 已知函数（是自然对数底数）． （1）设直线为曲线的切线，记直线的斜率的最大值为，求的最大值； （2）已知，设，求证：． 19. 某省高考自2024年起数学考试多选题（题号9~11）的计分标准是：每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分（若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分），错选或不选得0分．每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项．统计规律显示：多选题正确答案是“选两项”的概率是，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错． （1）假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题（满分18分）所有可能总得分的中位数； （2）假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项（既没空选也没选四项，所有选法等可能），求乙第10题得0分的概率； （3）第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 保密★启用前 肇庆市2023-2024学年第二学期高二年级期末教学质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数（为自然对数的底数），则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，再赋值求得结果. 【详解】函数，求导得，所以. 故选：B 2. 已知某独立性检验中，由计算出，若将列联表中的数据分别变成，计算出的，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据卡方公式代入计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 3. 求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个数为（ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】因为，结合题意分析求解即可. 【详解】因为， 由题意可知：500的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可， 所以500的正整数因数的个数为. 故选：A. 4. 已知函数，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，根据对数函数的性质比较自变量的大小，再根据的单调性即可求解. 【详解】， 所以在上单调递减. 因为， 所以，所以，即. 故选：B. 5. 已知随机变量，若方差，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式求出，再求出的值. 【详解】由，得，解得或， 所以. 故选：D 6. 直线与曲线相切于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意即可求出，再根据求出，即可得解. 【详解】因为，所以， 依题意，解得， ，解得， 所以. 故选：C 7. 若，则（ ） A. 4048 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过赋值法令即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为， 结合，知均为负值， ， 令，得， 故， 故选：D. 8. 已知函数，且，为自然对数的底数恰有两个极值点，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得方程有两个不相等的实数根，令，则的图象与直线有两个不同的交点，设过原点的切线的切点为，利用导数的几何意义表示出切线法方程，从而得到，即可得到切线斜率，再分、两种情况讨论，分别求出的取值范围. 【详解】因为，所以，因为函数恰有两个极值点、， 所以有两个变号零点， 即方程有两个不相等实数根， 令，则的图象与直线有两个不同的交点， 因为，设过原点的切线的切点为， 则切线方程为， 则，所以，即， 所以切线斜率， 当时，则，解得； 当时，则，解得 综上可得实数的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为的图象与直线有两个不同的交点，求出过原点的切线方程，从而得到关于的不等式，解得即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于一元线性回归的叙述正确的有（ ） A. 若相关系数，则与的相关程度很强 B. 残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用模型比较合适 C. 决定系数越大，模型的拟合效果越差 D. 经验回归直线经过所有样本点 【答案】AB 【解析】 【分析】利用相关系数、残差图、决定系数、经验回归直线的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，越接近于1，相关性越强，A正确； 对于B，残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内， 拟合效果较好，选用模型比较合适，B正确； 对于C，决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，样本点分布在经验回归直线附近，D错误. 故选：AB 10. 已知是互不相等的正数，随机变量的分布列如下表所示， 若既成等差数列也成等比数列，的期望和方差分别为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意先推理得到，再分别运用随机变量的数学期望、方差公式计算化简，比较即得，. 【详解】因既成等差数列也成等比数列，则有， 将①代入②中，化简整理得，，则有， 回代入①，可得，由分布列可知，故得， 依题意，，, 故，故A正确，B错误； ， 而 可得，，则得,故D正确，C错误. 故选：AD. 11. 微分方程（由导函数求原函数）是微积分的重要分支，例如根据导函数，逆用复合函数的求导法则得（为常数）．已知函数的导函数满足，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则（为常数） C. 是函数的极值点 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入计算判断A；利用复合函数求导法则求导判断B；求出函数。利用导数探讨单调性判断CD. 【详解】对于A，由，当时，，而，则，A正确； 对于B，，且（为常数），B正确； 对于CD，由选项B知，，又，则， ，求导得，当且仅当时取等号， 因此函数在上单调递减，无极值点，C错误，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量服从正态分布，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 则，且， 所以. 故答案为：. 13. 用模型拟合一组数据，令，将模型转化为经验回归方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将两边取自然对数，再结合题意得到，，即可求出. 【详解】因为，两边取自然对数可得， 令，可得，又， 所以，，所以， 所以. 故答案为： 14. 抛掷一校质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则______，______. 【答案】 ① ## ②. 【解析】 【分析】根据次独立重复实验事件发生的概率为，构造二项式应用赋值法分别计算即可. 【详解】抛掷1次后事件A发生奇数次，只能是发生1次，； 抛掷n次后事件A发生， 抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为 当为偶数时，， 当为奇数时，， 构造二项式 ， 令， ， 令， ， 两式做差得， 可得， 因为，所以. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：根据题干得出的表达式，再构造二项式应用赋值法分别计算即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）的极大值为，无极小值 （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）当时，则，利用导数求的单调性和极值； （2）求导，分和两种情况，利用导数求函数单调性. 【小问1详解】 当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由题意可知：的定义域为，且， 若，则，可知在内单调递减； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在内单调递减； 若，内单调递增，在内单调递减. 16. 小华同学设置手机密码的六位数字时，准备将的前6位数字（1，1，3，4，5，9）按照一定的顺序进行设置． （1）记事件：相同的数字相邻，求事件发生的概率； （2）记事件：相同的数字不相邻，求事件发生的概率； （3）记事件：相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，求在事件发生的条件下，事件发生的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）采用“捆绑法”处理元素相邻问题即得； （2）采用“插空法”处理元素不相邻问题即得； （3）先在3，4，5，9中 选出一个数字放在两个1之间，再“捆绑”后与另外三个数字全排，即得排法，最后运用条件概率公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，在事件中，要求两个1需相邻，故只需要将其看成一个元素与另外四个数字全排即可， 有种方法，由古典概型概率公式可得： 【小问2详解】 在事件中，要求两个1不能相邻，故只需先将这两个1对另外4个数字产生的5个空中进行插空， 再对这四个数字进行全排即可，有种方法，由古典概型概率公式可得：； 小问3详解】 在事件中，要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字， 故只需先在3，4，5，9中选出1个数字放在两个1之间，再看成1个元素，与另外3个元素共4个元素全排即可， 有种方法，由古典概型概率公式可得：, 由条件概率公式可得，. 17. 如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为． （1）求和的值； （2）推测与的关系，并求出的表达式． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率求出，根据相互事件及互斥事件的概率公式求出； （2）依题意可得，即可得到，从而得到是以，公比为的等比数列，即可求出. 【小问1详解】 依题意第一秒灯点等可能的在顶点、、处，其中在底面上的顶点为、， 所以， 第一秒灯点在顶点为、处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为； 第一秒灯点在顶点为处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为； 所以第二秒灯点在底面上的概率； 【小问2详解】 第秒亮灯点在底面上的概率为， 在底面上的概率为， 所以， 所以，所以是以，公比为的等比数列， 所以，则. 18. 已知函数（是自然对数的底数）． （1）设直线为曲线的切线，记直线的斜率的最大值为，求的最大值； （2）已知，设，求证：． 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，令，利用导数求的单调性和最值，即可得，进而可得最值； （2）根据（1）中的单调性求集合，进而分析包含关系即可证明. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 令，则的定义域为，且， 因为，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则的最大值为， 可知，且在内单调递减， 所以的最大值为. 【小问2详解】 由已知，则， 由（1）可知：在内单调递增， 且， 可知； 又因为在内单调递减，且， 可知； 且， 令，则， 可知在内单调递减，则， 即，所以. 【点睛】关键点点睛：对于第二问，常常利用作差法比较大小，并构建函数结合函数单调性比较大小. 19. 某省高考自2024年起数学考试多选题（题号9~11）的计分标准是：每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分（若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分），错选或不选得0分．每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项．统计规律显示：多选题正确答案是“选两项”的概率是，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错． （1）假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题（满分18分）所有可能总得分的中位数； （2）假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项（既没空选也没选四项，所有选法等可能），求乙第10题得0分的概率； （3）第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值的大小． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用列举法来解决问题； （2）利用分类思想来得到不得分的可能性，即可求解概率； （3）利用概率及期望思想来解决实际问题. 【小问1详解】 因为第9题得6分，第10题得分可能是0，4，6分，第11题得分可能是0，2，3分， 因此总得分可能有以下情形：6+0+0=6，6+0+2=8，6+0+3=9，6+4+0=10，6+4+2=12， 6+6+0=12，6+4+3=13，6+6+2=14，6+6+3=15， 故总得分只有：6，8，9，10，12，13，14，15共8个得分， 所以总得分的中位数是; 【小问2详解】 因为乙同学既没空选也没选四项，则选一项且不得分有种选法， 选两项且不得分有种选法，选三项且不得分有种选法， 这道题的总选法有：种， 所以； 【小问3详解】 若第11题正确答案是“选两项”，则的取值为0，3，的取值为0，6， 且，，，； 若第11题正确答案是“选三项”，则的取值为0，2，的取值为0，4， 且，，，； 记“选两项”和“选三项”时，与的平均值分别为和， 则 因为第11题正确答案是“选两项”的概率是，所以正确答案是“选三项”的概率也是， 所以， 故. 【点睛】方法点睛：关键是利用分类讨论，分类列举思想，把复杂问题化为简单问题来进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$