精品解析：四川省绵阳市2023-2024学年高二下学期期末教学质量测试数学试题

高中2022级第二学年末教学质量测试 数 学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由选择题和非选择题组成，共4页;答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案;非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后将答题卡收回. 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知首项为的数列，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件递推公式，求出的值即可逐一判断 【详解】由题意，又， 所以， 所以，， 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. 32 B. 64 C. 127 D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】令计算可得. 【详解】因为， 令可得. 故选：D 3. 现有名学生，每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中选择一种进行阅读，每人选择互不影响，则不同的选择方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用分步计数原理，即可求出结果. 【详解】每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中选择一种进行阅读有种选择， 根据分步计数原理可知，名学生进行选择，共有种选择方式， 故选：B. 4. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 32 B. 64 C. 84 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】因为， 又，即，解得， 所以. 故选：C 5. 已知为函数的导函数，如图所示，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数正负确定函数的单调性排除B,再根据导数的大小变化确定选项即可. 【详解】因为，所以单调递增，B选项错误； 又因为在单调递减，可以得出的切线斜率逐渐变小，A,C选项错误；D选项正确. 故选：D. 6. 某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用二项分布知识求解即可 【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则. 根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为. 故选：D. 7. 某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】先安排甲乙，共有3种安排，剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，第二类是三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，然后用分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可得解. 【详解】因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有3种选法； 剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有种安排方法；第二类三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，所以共有种安排方法； 所以共有不同的安排方案有种， 故选：B. 8. 已知函数，图象与x轴至少有一个公共点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对分类讨论，分离参数求出的范围，最后去并集即可求解. 【详解】当时，若，显然，否则若，就有，矛盾， 所以，而函数的值域为， 所以若方程有解，则的范围为， 当时，若，则， 设，则， 当时，，当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，，当时，， 而， 从而的值域为， 而至少有一个零点，所以所求范围即为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：由函数的零点、图象的交点求参数的值（或取值范围）问题，往往需要对参数分类讨论，如何划分讨论的区间是思维的难点．由于这类问题涉及函数的单调区间，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数的符号是确定的. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 赓续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，绵阳市开展双拥百日宣传活动.某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位:分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（ ） A. 随机取1篇征文，则评分在内的概率为 B. 已知优秀率为，则 C. 越大，的值越小. D. 越小，评分在的概率越大 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态分布的图象及性质即可逐一判断求解. 【详解】对于A，由题意可知，，有对称性可知，，故A正确； 对于B，由题意可知，， 因为，所以，故B正确； 对于C，因为是该正态分布图象的对称轴，所以， 不会随的变化而变化，故C错误； 对于D，由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”， 因此在区间对应图象的面积变大，所以评分在的概率越大， 故D正确； 故选：ABD. 10. 已知、分别为随机事件、的对立事件，，， 则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用条件概率公式一一判断即可. 【详解】对于A：因为，， 若，则，所以，则， 但是不一定为，即不一定为，所以A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：因为，所以， 所以，故C正确； 对于D：因为，，所以， 所以，即，故D正确； 故选：CD 11. 已知数列的前项和为，首项， 且满足， 下列结论正确的（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，根据条件得到当为偶数时，，当为奇数时，，再利用，即可求解；选项B，利用条件得到，即可判断出选项B的正误；选项C，利用选项B中的结果，得到，进而可得到，即可求解；选项D，根据选项C中的结果，作差比较，即可求解. 【详解】因为， 所以当为偶数时，， 当为奇数时，， 对于选项A，因为，所以，，故选项A正确， 对于选项B，当，因为， 得到，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故选项B正确， 对于选项C，由选项B可得，即， 所以，故选项C正确， 对于选项D，因为，由选项C知， 得到，所以选项D错误， 故选：ABC. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用余弦函数的周期，得到当为偶数时，，当为奇数时，，即可求解. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为_______. 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式，令的指数为，得到即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 令，， 故答案为：. 13. 已知随机变量的分布列如表: 1 2 若，则___ 【答案】 【解析】 【分析】根分布列的性质求出、，从而求出，再根据方差的性质求出，即可求出. 【详解】依题意，解得， 所以， 所以，则. 故答案为： 14. 若存在非负实数满足 （e为自然对数的底数），则的值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】将不等式两边取对数，并化简，得到，再根据基本不等式，得到，构造函数，，求出函数的最小值，根据的最小值为，得到，得到，再结合，最后解方程即可得解. 【详解】由题意，，两边同时取以为底的对数， 得，可得， 因为都是非负实数， 所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以，， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 又，所以， 此时，又，可得， 所以. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹雳舞舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X. （1）求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种? （2）求X的分布列及均值. 【答案】（1）31 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）分高二年级有2名，3名，4名同学入学校队可求总的方法数； （2）随机变量X的取值为0，1，2，3，利用超几何分布的概率公式可求分布列与数学期望. 【小问1详解】 高二年级至少2名同学入选校队包括以下情况： 高二年级仅2名同学入选校队有种； 高二年级仅3名同学入选校队有种； 高二年级4名同学入选校队有种； 高二年级至少2名同学入选校队共有18+12+1=31种选法． 【小问2详解】 由题意可知，随机变量X的取值为0，1，2，3， 校队由0个女生4个男生组成时，， 校队由1个女生3个男生组成时，， 校队由2个女生2个男生组成时，， 校队由3个女生1个男生组成时，， 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 随机变量X的均值为：． 16. 已知函数. （1）讨论的极值点； （2）当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案见解析 （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）求导后得到两个导函数零点，然后根据参数进行分类讨论，分三类讨论，然后列表即可求得极值； （2）结合第（1）题的结论，即可求出的最小值，建立关于a的方程，解方程的a的值，然后验证即可. 【小问1详解】 ，令，则，， ①当a=0时，，所以为增函数，故无极值点； ②当a>0时，当x变化时，及变化如下表： x −a + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知的极值小点为，其极大值点−a； ③当a<0时，当x变化时，及变化如下表： x −a + 0 − 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知的极值小点为−a，其极大值点． 综上所述，当a=0时，无极值点；当a>0时，的极值小点为，极大值点 −a；当a<0时，的极值小点为−a，其极大值点． 【小问2详解】 方法一：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1， 则[0，1]，； 由已知可得，，则， 由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴， ∴， ∵，，则成立，解得：， ∵， ∴当时，，即的最大值为， 综上所述，满足题意的． 方法二：假设存在实数a，使得在区间[0，1]的最小值为0，且最大值为1， 则[0，1]，； 由已知可得，，则， 由（1）②可知，在区间[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴， ∴， ∵，， 令，则的零点为，且在上单调 递增， ∵，则， ∴当时，则成立，则，即的最大值为 ，符合题意， 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：第（1）问的关键是，找准参数的分类标准，进行列表求最值；第（2）问的关键，借助第一问的结论，可以求出最小值，列出方程，即可求出a的值，再进一步验证所求参数值是否满足题意即可. 17. 已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有. （1）求数列， 的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用递推式可得，利用“累加法”可得； （2）利用“错位相减法”，结合等比数列前项和公式即可求解. 【小问1详解】 由，可知当时，； 当时，因为， 所以， 两式相减得，， 即， 因为也满足上式， 所以； 又数列满足，且， 当时，可得 ， 当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 18. 已知函数. （1）若， 求曲线在点处的切线方程; （2）若无零点，求实数的取值范围; （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）方法一：求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，结合零点存在性定理说明即可；方法二：依题意可得，设，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，依题意与无交点，即可求出的取值范围； （3）令，求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性，求出函数的最值，即可得解. 【小问1详解】 当时，则， ∴切线斜率为，又， ∴所求切线方程为； 【小问2详解】 方法一：函数的定义域是， ∴， ①若，则，在上单调递增， ，， ∵，，，则， 则仅有一个零点，且零点位于； ②当，则当时，当时， 所以在上单调递减，在单调递增； 因为的最小值为， 若时，，此时无零点； 若时，，此时仅有一个零点； 若时，，，此时至少有一个零点； 综上所述，． 方法二：令，则， 设，则， 所以当时，当时， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值为，且当趋于时趋于， 依题意与无交点，所以， ∴要使在定义域上无零点，则． 【小问3详解】 因为， 所以问题转化为在区间有解， 令，即， 则 ①当时，，∴时，，在上单调递减， 此时，，不符合题意； ②当时， ∴时，，在上单调递减， ∴，即时，，符合题意； ③当时， ∴时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， ∴，，符合题意； 综上所述，． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19. 已知新同学小王每天中午会在自己学校提供的A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复. （1）求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率; （2）求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率； （3）已知:若随机变量服从两点分布，且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求. 【答案】（1）0.6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用条件概率和全概率求解即可； （2）运用全概率结合数列构造知识求解即可； （3）运用离散型随机变量分布列知识，结合等比数列求和公式可解. 【小问1详解】 设事件：第天中午去A餐厅用餐， 事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中， 则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：. 【小问2详解】 设，依题可知，，， ∵如果小王第1天中午去A餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8， 即，而， ∴， ∵如果第1天中午去B餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4， ∴. 由全概率公式可知，即， ∴，而， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴，即； 【小问3详解】 设王某第天去B餐厅的次数为，则的所有可能取值为0，1， 当时表示王某第天没去B餐厅，当时表示王某第i天去B餐厅， ∵，， ∴， ∵，， ∴当 时，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中2022级第二学年末教学质量测试 数 学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由选择题和非选择题组成，共4页;答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案;非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后将答题卡收回. 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知首项为的数列，满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 32 B. 64 C. 127 D. 128 3. 现有名学生，每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中选择一种进行阅读，每人选择互不影响，则不同的选择方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 32 B. 64 C. 84 D. 108 5. 已知为函数的导函数，如图所示，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 18种 8. 已知函数，图象与x轴至少有一个公共点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 赓续绵延鱼水情，军民携手谱新篇，绵阳市开展双拥百日宣传活动.某中学向全校学生征集“拥军优属，拥政爱民”主题作文，共收到500篇作品，由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位:分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（ ） A. 随机取1篇征文，则评分在内的概率为 B. 已知优秀率为，则 C. 越大，的值越小. D. 越小，评分在的概率越大 10. 已知、分别为随机事件、的对立事件，，， 则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 11. 已知数列的前项和为，首项， 且满足， 下列结论正确的（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为_______. 13. 已知随机变量的分布列如表: 1 2 若，则___ 14. 若存在非负实数满足 （e为自然对数的底数），则的值为__________. 四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2024年7月将在法国巴黎举行第33届夏季奥林匹克运动会，首次把霹雳舞、冲浪、滑板和竞技攀岩列入比赛项目，其中霹雳舞舞是一种节奏感强烈、动作炫酷的舞蹈.已知某校高一年级有2名女生1名男生、高二年级有1名女生3名男生擅长霹雳舞，实力相当，学校随机从中选取4人组建校队参加市级比赛、设校队中女生人数为X. （1）求校队中至少有2名高二年级同学的选法有多少种? （2）求X的分布列及均值. 16. 已知函数. （1）讨论的极值点； （2）当时，是否存在实数a，使得在区间的最小值为0，且最大值为1?若存在，求出a的所有值；若不存在，请说明理由. 17. 已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有. （1）求数列， 的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）若， 求曲线在点处的切线方程; （2）若无零点，求实数的取值范围; （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 已知新同学小王每天中午会在自己学校提供的A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复. （1）求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率; （2）求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率； （3）已知:若随机变量服从两点分布，且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $